Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Turunan1

1,115 views

Published on

Published in: Education
  • Login to see the comments

  • Be the first to like this

Turunan1

  1. 1. TURUNAN/DIFFERENSIAL Mat (3-0)
  2. 2. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah Standar Kompetensi Kompetensi dasar Indikator Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi 1. Menghitung fungsi yang mengarah ke konsep turunan 2. Menjelaskan arti fisis (sebagai laju perubahan) dan arti geometri turunan di satu titik. 3. Menghitung turunan fungsi yang sederhana dengan menggu nakan defenisi turunan. 4. Menentukan sifat-sifat turunan fungsi 5. Menentukan turunan fungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat turunan 6. Menentukan turunan fungsi komposisi dengan aturan rantai
  3. 3. h xfhxf mPQ )()( −+ = h f(x)h)f(x m h −+ = →0 lim Turunan di satu titik Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : x f(x) P X+h f(x+h) Q h f(x+h)-f(x) Jika x+h  x , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan
  4. 4. • b. Kecepatan Sesaat Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h). h cfhcf v ratarata )()( −+ =− c c+h Perubahan waktu Perubahan posisi s f(c) f(c+h) •Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah
  5. 5. Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c : Untuk kecepatan sesaat di sembarang tempat dapat Dituliskan sebagai berikut Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan : Definisi :Turunan pertama fungsi f(x) dinotasikan dengan lambang f’(x) dan didefinisikan sebagai berikut : h cfhcf vv h ratarata h )()( limlim 00 −+ == → − → h f(x)h)f(x xf h −+ = →0 lim)(' h xfhxf vv h ratarata h )()( limlim 00 −+ == → − →
  6. 6. Notasi dari turunan fungsi f(x) : )(),(', )( Leibnitzasidisebutnot dx dy bentuk dx dy xy dx xdf 0)(lim )()( lim 00 = − = −+ →→ h cc h xfhxf hh 1)(lim )()( lim 00 = −+ = −+ →→ h xhx h xfhxf hh ) )( (lim )()( lim 22 00 h xhx h xfhxf hh −+ = −+ →→ x h hxh h xhxhx hh 2 )2( lim )2( lim 0 222 0 = + = −++ = →→ -. f(x) = x2 Jawab : f’(x) = Contoh : Diketahui f(x) tentukan f’(x) jika : -. f(x) = x Jawab : f’(x) = -. f(x) = C Jawab : f’(x) =
  7. 7. -. f(x) = x3 Jawab : f’(x) = h xhx it h xfhxf it hh ))( lim )()( lim 33 00 −+ = −+ →→ 2 22 0 33223 0 3 33( lim 33 lim x h hxhxh it h xhxhhxx it hh = ++ = −+++ = −→ -. f(x) = xn Jawab : f’(x) = h xhx it h xfhxf it nn hh ))( lim )()( lim 00 −+ = −+ →→ h xhhhnxx it nnnn h −++++ = − → ...(...) lim 21 0 1 11 0 )...(...)( lim − −− → = +++ = n nn h nx h hhnxh it
  8. 8. 1 23 2 )(')( 3)(')( 2)(')( 1)(')( 0)(')( − =→= =→= =→= =→= =→= nn nxxfxxf xxfxxf xxfxxf xfxxf xfcxf  1 )(')( − =→= nn naxxfaxxf Secara umum dapat dirumuskan jika : Untuk :
  9. 9. Contoh Soal : Tentukan turunan dari f(x) jika : a. f(x) = 2x2 + 3x - 5 b. f(x) = 1 52 3 2 +−+ xx x 23 54 3 xx +−= Jawab : a. f(x) = 2x2 + 3x - 5 f’(x) = 4x + 3 b. f(x) = 1523 12 +−+= −− xxx f(x) = 3 – 4x-3 +5x-2 1 52 3 2 +−+ xx x
  10. 10. Soal Tentukan Turunan dari fungsi f(x) di bawah ini : 1. f(x) = 5x4 +2x2 -3x +6 2. f(x) = 2x7 + 5x 3. f(x) = 3x-2 + 4x-3 + 4 4. f(x) = 5. f(x) = ( 2x + 3 )2 6. f(x) = 7. f(x) = 7 3 23 23 32 4 ++−+ xx xx 2 2 ) 1 2( x + 3 3 2 223 3 2 −+++ x xxx
  11. 11. Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan sebagai berikut : 1. 2. 3. dengan g(x) ≠ 0. ( ) (x)g(x)f dx g(x)f(x)d '' += + ( ) )()()()( )()( '' xgxfxgxf dx xgxfd += ( ) )( )()()()( 2 '' )( )( xg xgxfxgxf dx d xg xf − =
  12. 12. Bukti aturan ke-2 Misal u(x) = f(x).g(x) h xuhxu xu h )()( lim)(' 0 −+ = → h xgxfhxghxf h )()()()( lim 0 −++ = → h xgxfxghxfxghxfhxghxf h )()()()()()()()( lim 0 −+++−++ = →       −+ + −+ += → h xfhxf xg h xghxg hxf h )()( )( )()( )(lim 0 h xfhxf xg h xghxg hxf hhhh )()( lim)(lim )()( lim)(lim 0000 −+ + −+ += →→→→ )(')()(')( xfxgxgxf += )(')()()(' xgxfxgxf +=
  13. 13. 1 3 )( 2 + + = x x xf 22 22 1 261 )x( xxx + −−+ =22 2 1 3211 )x( )x(x)x.( )x('f + +−+ = 3.Tentukan turunan pertama dari Contoh 1. Tentukan turunan pertama dari 43)( 23 ++= xxxf Jawab : 02.33)(' 2 ++= xxxf xx 63 2 += 2. Tentukan turunan pertama dari )32)(1()( 23 +++= xxxxf Jawab : )22)(1()32(3)(' 322 +++++= xxxxxxf 2222963 34234 ++++++= xxxxxx 22985 234 ++++= xxxx Jawab :
  14. 14. Tentukan fungsi turunan pertama dari )12()1()( 3 +++= xxxxf 1 1 )( − + = x x xf 1 )( 2 − = x x xf 1 1 )( 2 2 + − = x x xf 1)( 3 22/1 ++= xxxf1. 2. 3. 4. 5.
  15. 15. AO B C D θ OC= cos θ ; CB= sin θ Perhatikan gambar di samping. Misalkan θ=∠AOB adalah sudut pusat lingkaran dengan jari jari =1. Sektor COD ≤▲COB ≤ sektor AOB Sehingga ½ θ cos2 θ ≤ ½ sin θ cos θ ≤ ½ θ .1 Bagi dengan ½ θ cos θ > 0 diperoleh; θθ θ θ cos 1sin cos ≤≤ Jika θ→0 maka cos θ→1 sehingga : 1 sin lim1 0 ≤≤ → θ θ θ it Sehingga : 1 sin lim 0 = → θ θ θ it
  16. 16. xxfxxfa cos)('sin)(. =→= xxfxxfb sin)('cos)(. −=→= h xhx xf h sin)sin( lim)(' 0 −+ = → h hh x h ) 2 sin(). 2 cos(2 lim 0 + = → .cos 1.cos x x = = Bukti: a. Misal f(x) = sin x maka ) 2 ) 2 sin( ).( 2 cos(lim 0 h h h x h += →
  17. 17. b. Misal f(x) = cos x maka h xhx xf h cos)cos( lim)(' 0 −+ = → h xhxhx h cossin.sincoscos lim 0 −− = → h hxhx h sinsin)1(coscos lim 0 −− = → h h x h h x h sin sin ) 2 sin(cos lim 2 0 − − = → ) sin sin 4)2/( ) 2 sin(cos (lim 2 2 0 h h x h h h x h − − = → h h x h h h x hh sin limsin 42/ )2/sin( limcos 0 2 0)2/( →→ −      −= x xx sin 1.sin0.cos −= −=
  18. 18. Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh Dengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v ( ) ( ) dx d dx xd c x x cos sin tan . = x xx 2 22 cos sincos + = x2 cos 1 = x2 sec= ( ) ( ) dx d dx xd d x x sin cos cot . = x xx 2 22 sin cossin −− = x2 sin 1− = x2 csc−= ( ) ( ) dx d dx xd e xcos 1 sec . = x x 2 cos sin = xx x cos 1 cos sin = xx sectan= ( ) ( ) dx d dx xd f xsin 1 csc . = x x 2 sin cos− = xx x sin 1 sin cos −= xxcotcsc−=
  19. 19. Soal Latihan Tentukan turunan dari fungsi f(x) berikut ini : a. f(x) = sin 3x + cos 2x b. f(x) = x2 sin 2x c. f(x) = sin2 x d. f(x) = 3 cos2 x e. f(x) = tgn x f. f(x) = tgn2 x g. f(x) = ½ tan x sin 2x
  20. 20. Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dx du du dy dx dy = du dy dx du dx dy )1sin( 2 += xy 12 += xu x dx du 2= uy sin= u du dy cos= )1cos(2 2 += xxxx dx dy 2)1cos( 2 += Karena dan ada , Contoh 1: Tentukan dari Jawab : Misal : sehingga bentuk diatas menjadi dan maka
  21. 21. Contoh 2 : Tentukan turunan dari : y = (3x2 +4)4 Jawab : Misal u=(3x2 +4) maka Dan y= u4 maka x dx du 6= 3 4u du dy = sehingga : dx du du dy dx dy .= = 6x.4u3 = 6x.4(3x2 +4)3 = 24x.(3x2 +4)3 adalah y’= 24x.(3x2 +4)3 Turunan dari y = (3x2+4)4 Jika f(x)= un maka f’(x)=nu’un-1
  22. 22. dx dv dv du du dy dx dy = → → Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan dx dv dv du du dy ,, Ada, maka Contoh 3: Tentukan dx dy )5( 34 += xSinydari 53 += xv 2 3x dx dv = Jawab : Misal → u = Sin v )5cos(cos 3 +== xv dv du 4 uy = )5(44 333 +== xSinu du dy sehingga )5()5(12.. 3332 ++== xCosxSinx dx dv dv du du dy dx dy
  23. 23. ( )y x= −2 3 10 y x= sin3 ( )xxy −= 24 4cos 2 1 1       − + = x x y A. Tentukan fungsi turunan pertama dari y = sin x tan [ x2 + 1 ] y x x x x = − + + − 2 2 2 5 2 3 1. 2. 3. 4. 5. 6. ( )y x= −sin 2 1 ( )y x= −2 3 4 y x x = + 1 ( )y x= cos2 π B. Tentukan turunan kedua dari 1. 2. 3. 4.
  24. 24. Untuk menentukan persamaan garis singgung pada kurva. Telah disinggung didepan bahwa gradien garis singgung pada suatu Kurva f(x) adalah turunan pertama dari fungsi terebut : m = f’(x) = dx dy π 3 1 Contoh Soal: Tentukan nilai gradien garis singgung pada kurva : a. y = x2 -3x +4 di titik A. ( 2,2 ) b. y = sin x untuk x = Jawab : a. y = x2 -3x +4 gradien m = y’ = 2x – 3 di titik ( 2,2 ) m = y’ = 2.2 – 3 = 1 a. y = sin x gradien m = y’ = cos x untuk x = m = cos = ½ π 3 1 π 3 1
  25. 25. Pemakaian Gradien untuk menentukan persamaan garis singgung Terhadap suatu kurva di titik tertentu . Misalkan titik P(x1,y1) terletak pada kurfa f(x), maka persamaan Garis singgung yang melalui titik P pada kurva f(x) dituliskan sbb: Y – y1 = f’(x) ( x – x1) Contoh soal : Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 – 2x + 3 Dititik P(2,7). Jawab : Gradien garis singgung = m = f’(x) = 3x2 – 2 di titik ( 2,7) maka m = f’(x) = 10 Persamaan garis singgungnya , Y – y1 = f’(x)(x-x1) yaitu y – 7 = 10 ( x – 2 ) y – 7 = 10 x – 20 y = 20 x - 13
  26. 26. Jika l1 garis yang memiliki gradien m1; dan l2 garis yang memiliki Gradien m2, maka hubungan antara m1 dan m2 terhadap kedudukan Garis l1 dan l2 adalah sebagai berikut : Jika l1 sejajar l2 maka nilai m1 = m2 dan Jika l1 tegak lurus l2 maka nilai m1.m2 = -1 Contoh soal : Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 – 3x + 2 Yang sejajar terhadap garis y= 3x + 4 Jawab : Gradien garis singgung = m = f’(x) = 2x – 3 sejajar garis y = 3x + 4 m1 = m2 = 3 maka 2x – 3 = 3 ; x = 3 untuk x = 3 nilai y = 32 – 3.3 + 2 = 2 maka titik singgungnya di ( 3,2) Persamaan garis singgung yang ditanyakan adalah : Y – 2 = 3 ( x – 3 ) Y = 3x – 11
  27. 27. Selain digunakan untuk menentukan gradien garis singgung, turunan Juga digunakan untuk menentukan kelajuan. Jika suau variabel x ada lah fungsi dari waktu laju perubahan x terhadap waktu dinyatakan Dalam dx/dt. Contoh soal : Mobil meluncur dengan membentuk fungsi S = 50 – 3t – 2t2 , tentukan Kecepatan mobil saat t=3. Jawab. Kecepatan = v = dS/dt = -3 – 4t saat t = 3 Maka v = -3 -4.3 = - 15
  28. 28. Contoh soal : Air mengalir keluar dari corong kerucut dengan kelajuan 5 cm3 s-1 Jari-jari dasar corong adalah 10 cm dan tingginya 20 cm. hitung kelajuan air saat ketinggian air turun berjarak 5 cm dari puncak. 10 20 r h O A B C D Segitiga OAB sebangun dengan segitiga OCD maka r/10 = h/20 sehingga r = ½ h hrv 2 3 1 π= Karena r = ½ h maka 3 12 1 hv π= Diketahui dv/dt = 5 cm3 s-1 dt dh h dt dv 2 4 1 π= dt dh h2 4 1 5 π= 2 20 hdt dh π = Air berjarak 5 cm dari puncak Maka air telah turun sejauh h = 20 – 5 = 15 cm Maka kelajuan air yang ditanyakan adalah : πππ .45 4 15.15. 5.4 15 20 2 === dt dh cm3 s-1
  29. 29. SOAL LATIHAN 1.Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x)= x4 + 12x – 5 Di titik ( 1, 11) 2.Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = 2x3 - 23x – 2 Yang sejajar dengan garis y = x - 7 3.Tentukan pesamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 – 6x + 4 Yang tegak lurus dengan garis y= ½ x - 5 4.Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berpusat di (0,0) yang berjari jari 5 dan melalui titik P(3,4). 5.Sebuah beban w diikatkan pada tali sepanjang 15m, yang melewati Katrol di p berjarak 6m di atas tanah,ujung lain diikatkan pada truk Dengan jarak 0.5 m dari atas tanah, jika truk bergerak dengan kela Juan 3ms-s, berapa cepat beban naik jika beban berada 2m diatas Tanah? Perhatikan gambar dibawah ini. 9-x y 6-x x 0.5

×