METODE NEWTON

1. METODE NEWTON
Dalam analisis numerik, metode Newton (juga dikenal sebagai metode Newton-
Raphson), yang mendapat nama dari Isaac Newton dan Joseph Raphson, merupakan metode
yang paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi riil. Metode Newton-
Raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik, dimana
fungsi f(x) mempunyai turunan.
Metode ini dianggap lebih mudah dari Metode Bagi-Dua (Bisection Method) karena
metode ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal. Semakin dekat titik awal yang
kita pilih dengan akar sebenarnya, maka semakin cepat konvergen ke akarnya. Metode Newton
merupakan metode iterasi untuk menyelesaikan persamaan f(x) = 0 dengan mengasumsikan f
mempunyai turunan kontinu f’. Metode ini menggunakan garis lurus sebagai hampiran fungsi
pada suatu selang. Tapi garis lurus yang digunakan adalah garis singgung.
Metode Newton-Raphson dapat diturunkan berdasarkan interpretasi geometrik ( sebuah
metode alternatif yang didasarkan pada Deret Taylor ). Seperti pada gambar, turunan pertama
pada xn adalah ekuivalen terhadap kemiringan :
𝑓′(𝑥 𝑛) =
𝑓(𝑥 𝑛) − 0
𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛+1
yang dapat diatur kembali menjadi :
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 −
𝑓(𝑥 𝑛)
𝑓′(𝑥 𝑛)
yang dinamakan formula Newton-Raphson.
Penjelasan: Garis singgung terhadap fungsi pada 𝑥 𝑛 [ yakni 𝑓′(𝑥 𝑛)] diekstrapolasikan kebawah
terhadap sumbu x untuk mem,berikan sebuah taksiran akar pada 𝑥 𝑛+1.

2. Gagasan dasar dari metode ini adalah grafik f dihampiri oleh garis-garis singgung yang
sesuai. Dengan menggunakan 𝑥0 sebagai aproksimasi pertama terhadap akar ( diperoleh dari
lokalisasi akar-akar dari f(x) = 0 ), tetapkan 𝑥1 sebagai absis titik potong antara sumbu x dan
garis singgung pada kurva f yang melalui ( 𝑥0, 𝑓(𝑥0)). Nilai 𝑥1 tersebut merupakan aproksimasi
kedua dari akar f (x) yang lebih baik dari aproksimasi pertama. Maka 𝑓′(𝑥0) =
𝑓(𝑥0)
𝑥0−𝑥1
, sehingga
diperoleh 𝑥1 = 𝑥0 −
𝑓(𝑥0)
𝑓′(𝑥0)
. Langkah kedua adalah menghitung 𝑥2 dari 𝑥1, yaitu diperoleh 𝑥2 =
𝑥1 −
𝑓(𝑥1)
𝑓′(𝑥1)
dengan menggunakan 𝑓′(𝑥1) =
𝑓(𝑥1)
𝑥1−𝑥2
. Langkah ketiga menghitung 𝑥3 dari 𝑥2, dan
seterusnya sehingga diperoleh aproksimasi yang lebih baik.
Iterasi dihentikan jika dua iterasi berurutan menghasilkan hampiran akar yang sama.
Dalam rumus iterasi tesebut terdapat pembagian dengan 𝑓′(𝑥 𝑛). Dengan demikian agar metode
berhasil maka selama proses iterasi 𝑓′(𝑥 𝑛) tidak boleh sama dengan nol.
TEOREMA:
Misalkan f dapat dideferensialkan dua kali pada suatu I, dan r adalah akar dari f(x) pada selang I.
Asumsikan terdapat bilangan positif m dan M sedemikian sehingga │𝑓′(𝑥)│≥ m dan │𝑓′
′(𝑥)│≤
M pada I. Jika 𝑥1 berada dalam I dan cukup dekat ke │𝑥1 − 𝑟│< 2
m
𝑀
maka │𝑥 𝑛+1 − 𝑟│≤
𝑀
2𝑚
(𝑥 𝑛 − 𝑟)2
dan 𝑥 𝑛 konvergen ke r untuk n →∞.
Contoh :
Tentukan akar dari persamaan 4𝑥3
–15𝑥2
+ 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Newton Raphson.
Penyelesaian :
f (x) = 4𝑥3
–15𝑥2
+ 17x – 6
f’(x) = 12𝑥2
− 30𝑥 + 17
iterasi 1 :
ambil titik awal x0 = 3
f (3) = 4(3)3
–15(3)2
+ 17(3) – 6 = 18
f’(3) = 12(3)2
− 30(3) + 17 = 35
x1 = 3 – 18/35 = 2.48571
iterasi 2 :
f(2.48571) = 4(2.48571)3
–15(2.48571)2
+ 17(2.48571) – 6 = 5.01019
f’(2.48571) = 12(2.48571)2
− 30(2.48571) + 17 = 16.57388
x2 = 2.48571 – 5.01019/16.57388 = 2.18342
iterasi 3 :
f (2.18342) = 4(2.18342)3
–15(2.18342)2
+ 17(2.18342) – 6 = 1.24457

3. f’(2.18342) = 12(2.18342)2
− 30(2.18342) + 17 = 8.70527
x3 = 2.18342 – 1.24457/8.70527 = 2.04045
iterasi 4 :
f (2.04045) = 4(2.04045)3
–15(2.04045)2
+ 17(2.04045) – 6 = 0.21726
f’(2.04045) = 12(2.04045)2
− 30(2.04045) + 17 = 5.74778
x4 = 2.04045 – 0.21726/5.74778 = 2.00265
iterasi 5 :
f (3) = 4(2.00265)3
–15(2.00265)2
+ 17(2.00265) – 6 = 0.01334
f’(2.00265) = 12(2.00265)2
− 30(2.00265) + 17 = 5.04787
x5 = 2.00265 – 0.01334/5.04787 = 2.00001
iterasi 6 :
f (2.00001) = 4(2.00001)3
–15(2.00001)2
+ 17(2.00001) – 6 = 0.00006
f’(2.00001) = 12(2.00001)2
− 30(2.00001) + 17 = 5.00023
x6 = 2.00001 – 0.00006/5.00023 = 2.00000
iterasi 7 :
f(2) = 4(2)3
–15(2)2
+ 17(2) – 6 = 0
jika disajikan dalam tabel, maka seperti tabel dibawah ini.
karena pada iteasi ketujuh f(x6) = 0 maka akar dari persamaan tersebut adalah x = 2.

4. DAFTAR PUSTAKA
Chaptra, Steven C. dan Canale, Raymond P. 1991. Metode Numerik Untuk Teknik.. UI
Press:Jakarta.
http://darkzone7.blogspot.com/2013/04/pengertian-metode-newton-raphson.html
http://fairuzelsaid.wordpress.com/2010/11/21/penyelesaian-persamaan-non-linier-menggunakan-
metode-newton-raphson/
http://muhammadagungsantoso.wordpress.com/tag/metode-iterasi/
Subarinah, Sri. 2006. Metode Numerik. FKIP Press:Mataram.

5. METODE NEWTON
OLEH
KELOMPOK 4 :
1. APRIYANA SUSENO ( E1R 112 006 )
2. MILA KAMALASARI ( E1R 112 042 )
3. ST. ZULVA RAHMATIA ( E1R 112 074 )
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MATARAM
2014