Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Pencerminan geser fix

35,865 views

Published on

Rangkuman materi pencerminan geser

Published in: Education
  • Be the first to comment

Pencerminan geser fix

  1. 1. RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN BAB XII PENCERMINAN GESER (REFLEXI GESER) disusun guna melengkapi tugas mata kuliah GeometriTransformasi Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd Oleh Niamatus Saadah 1201125122 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA 2015
  2. 2. PENCERMINAN GESER (REFLEXI GESER) 12.1 Ketentuan dan beberapa siifat reflexi geser Telah diketahui hingga sekarang fakta-fakta berikut: 1. Hasilkali (produk) dua translasi adalah sebuah translasi. 2. Hasilkali dua reflexi pada dua garis adalah sebuah rotasi atau sebuah translasi. 3. Hasilklali dua rotasi adalah sebuah rotasi atau sebuah translasi. Teorema 12.1 Hasilkali sebuah rotasi dan sebuah translasi adalah sebuah rotasi yang sudutnya sama dengan sudut rotasi yang diketahui. Bukti: Diketahui: rotasi 𝑅 𝐴,πœ‘ dan translasi 𝐺 𝐡𝐢 ruas garis 𝐡𝐢̅̅̅̅ Adb : kasus 1 : 𝐺 𝐡𝐢 𝑅 𝐴,πœ‘ = 𝑅 𝐸,πœ‘ kasus 2 : 𝑅 𝐴,πœ‘ 𝐺 𝐡𝐢 = 𝑅 𝐸,πœ‘ Bukti: Kasus 1 οƒ˜ Membuat ruas garis 𝐡𝐢̅̅̅̅ οƒ˜ Membuat dua garis sejajar s dan t yang berpotongan tegak lurus dengan 𝐡𝐢̅̅̅̅ οƒ˜ Tarik garis 𝑃𝑄̅̅̅̅ yang sejajar 𝐡𝐢̅̅̅̅ memotong garis s di P dan memotong garis t di Q, sedemikian hingga 𝑃𝑄̅̅̅̅ = 1 2 𝐡𝐢̅̅̅̅ οƒ˜ Menarik garis r memotong garis s dititik A dan besarnya sudut r ke s adalah 1 2 Ο† οƒ˜ Perpanjang garis r sehingga memotong garis t dititik E Jelas diperoleh sudut dari r ke t adalah 1 2 Ο†
  3. 3. t Q A E P B C r s Menurut teorema 10.3 𝐺 𝐡𝐢 = 𝑀𝑑 𝑀𝑠 dan menurut teorema 11.2 𝑅 𝐴,πœ‘ = 𝑀𝑠 π‘€π‘Ÿ Sehinga diperoleh: 𝐺 𝐡𝐢 𝑅 𝐴,πœ‘ = 𝑀𝑑 𝑀𝑠 𝑀𝑠 π‘€π‘Ÿ = 𝑀𝑑 . I . π‘€π‘Ÿ = 𝑀𝑑 π‘€π‘Ÿ = 𝑅 𝐸,πœ‘ …..(1) Kasus 2 οƒ˜ Membuat ruas garis 𝐡𝐢̅̅̅̅ οƒ˜ Membuat dua garis sejajar t dan s yang berpotongan tegak lurus dengan 𝐡𝐢̅̅̅̅ οƒ˜ Tarik garis 𝑃𝑄̅̅̅̅yang sejajar 𝐡𝐢̅̅̅̅memotong garis t di P dan memotong garis s di Q, sedemikian hingga 𝑃𝑄̅̅̅̅ = 1 2 𝐡𝐢̅̅̅̅ οƒ˜ Menarik garis r memotong garis t dititik E dan besarnya sudut t ke r adalah 1 2 Ο† οƒ˜ Perpanjang garis r sehingga memotong garis s dititik A Jelas diperoleh sudut dari s ke r adalah 1 2 Ο† 1 2 πœ‘ 1 2 πœ‘
  4. 4. Menurut teorema 10.3 𝐺 𝐡𝐢 = 𝑀𝑠 𝑀𝑑 dan menurut teorema 11.2 𝑅 𝐴,πœ‘ = π‘€π‘Ÿ 𝑀𝑠 Sehinga diperoleh: 𝑅 𝐴,πœ‘ 𝐺 𝐡𝐢 = π‘€π‘Ÿ 𝑀𝑠 𝑀𝑠 𝑀𝑑 = π‘€π‘Ÿ . I . 𝑀𝑑 = π‘€π‘Ÿ 𝑀𝑑 = 𝑅 𝐸,πœ‘ ….(2) Jadi, terbukti bahwa 𝐺 𝐡𝐢 𝑅 𝐴,πœ‘ = 𝑅 𝐴,πœ‘ 𝐺 𝐡𝐢 = 𝑅 𝐸,πœ‘ Akibat : himpunan translasi dan rotasi membentuk grup dengan operasi hasilkali Andaikan diketahui rotasi 𝑅 𝐴,πœ‘ dan reflexi 𝑀𝑠. Apabila A ∈ s maka 𝑅 𝐴,πœ‘ = 𝑀𝑑 𝑀𝑠, t adalah sebuah garis melalui A sehingga sudut dari s ke t adalah 1 2 πœ‘ 1. Apabila A ∈ s, adb 𝑹 𝑨,𝝋 = 𝑴𝒕 𝑴 𝒔 Dipunyai s sebuah garis A ∈ s 1 2 πœ‘ t A S x s A t r Q s A B t C P 1 2 πœ‘ 1 2 πœ‘ E
  5. 5. οƒ˜ Tarik garis t melalui A sehingga sudut antara s ke t adalah 1 2 Ο† Jadi, 𝑅 𝐴,πœ‘ 𝑀𝑠 = (𝑀𝑑 𝑀𝑠) 𝑀𝑠 = 𝑀𝑑 (𝑀𝑠 𝑀𝑠) = 𝑀𝑑 . I = 𝑀𝑑 2. Andaikan A βˆ‰ s Bukti: Dipunyai s sebuah garis A βˆ‰ s οƒ˜ Tarik garis t tegak lurus s melalui A οƒ˜ Tarik garis r melalui A sehingga sudut antara r ke t adalah 1 2 Ο†, maka 𝑅 𝐴,πœ‘ 𝑀𝑠 = (π‘€π‘Ÿ 𝑀𝑑) 𝑀𝑠 = π‘€π‘Ÿ (𝑀𝑑 𝑀𝑠) = π‘€π‘Ÿ 𝑆 𝐡 (Teorema 7.1) .......................1) Dengan {B} = t ∩ s οƒ˜ Andaikan v sebuah garis melalui B dan tegak lurus r οƒ˜ Andaikan w sebuah garis melalui B yang sejajar r Maka 𝑆 𝐡 = 𝑀 𝑀 𝑀𝑣 (Teorema 7.1), sehingga w B S x t v r c A s t vw r 1 2 πœ‘ B A C
  6. 6. 𝑅 𝐴,πœ‘ 𝑀𝑠 = π‘€π‘Ÿ 𝑆 𝐡 .......................1) = π‘€π‘Ÿ (𝑀 𝑀 𝑀𝑣) = (π‘€π‘Ÿ 𝑀 𝑀) 𝑀𝑣 Karena w sejajar r maka π‘€π‘Ÿ 𝑀 𝑀 merupakan sebuah translasi (Menurut teorema 10.1), sehingga diperoleh: 𝑅 𝐴,πœ‘ 𝑀𝑠 = 𝐺 𝐡𝐢 𝑀𝑣 Dengan {C} = v ∩ r Jadi, transformasi tersebut adalah hasilkali sebuah reflexi pada v dan sebuah translasi sejajar v. Hasilkali demikian dinamakan reflexi geser Definisi: Sebuah transformasi R dinamakan reflexi geser apabila ada garis g dan sebuah ruas garis berarah 𝐴𝐡̅̅̅̅ yang sejajar g sehingga R = 𝐺 𝐴𝐡 𝑀𝑔. Garis g ini dinamakan sumbu reflexi geser Oleh karena setiap translasi dapat diuraikan menjadi hasilkali dua reflexi garis, maka suatu reflexi geser dapat ditulis sebagai hasilkali tiga reflexi garis. Di atas telah diperlihatkan bahwa 𝑅 𝐴,πœ‘ 𝑀𝑠 adalah suatu reflexi geser; dengan cara yang serupa dapat dibuktikan bahwa 𝑀𝑠 𝑅 𝐴,πœ‘ adalah suatu reflexi geser. Jadi diperoleh teorema berikut: Teorema 12.2 Setiap hasil kali sebuah reflexi pada sebuah garis dengan sebuah rotasi mengelilingi suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tersebut adalah suatu reflexi geser. Bukti : Diketahui reflexi 𝑀𝑠 dan rotasi 𝑅 𝐴,πœ‘ andaikan t sebarang garis melalui s dan r garis melalui A sehingga besarnya sudut adalah 1 2 Ο† Maka 𝑅 𝐴,πœ‘ = 𝑀𝑠 π‘€π‘Ÿ Sehingga 𝑀𝑠 𝑅 𝐴,πœ‘ = 𝑀𝑠 𝑀𝑑 π‘€π‘Ÿ
  7. 7. Akibat 1: Apabila ada ruas garis berarah 𝐴𝐡̅̅̅̅ tidak tegak lurus pada garis s, maka hasil kali suatu geseran GAB dengan reflexi 𝑀𝑠 adalah sebuah reflexi geser. Bukti : Tentukan titik C sedemikian sehingga 𝐴𝐢̅̅̅̅ tegak lurus s dan 𝐢𝐡̅̅̅̅ sejajar s Maka 𝐴𝐡̅̅̅̅ = 𝐴𝐢̅̅̅̅ + 𝐢𝐡̅̅̅̅ 𝐺 𝐴𝐡 𝑀𝑠 = 𝐺 𝐢𝐡.𝐺 𝐴𝐢 𝑀𝑠 (Teorema 10.7) = 𝐺 𝐢𝐡 (π‘€π‘Ÿ 𝑀𝑠) 𝑀𝑠dengan r // s, dan jarak r,s) = 1 2 AC(teorema 10.3) = 𝐺 𝐢𝐡 π‘€π‘Ÿ (𝑀𝑠 𝑀𝑠) = 𝐺 𝐢𝐡 π‘€π‘Ÿ I = 𝐺 𝐢𝐡 π‘€π‘Ÿ = R ( suatu pencerminan geser kerena r // CB) Akibat 2: Apabila ada garis r, s dan t tidak berpotongan pada satu titik dan tidak ada pasangan yang sejajar, maka setiap hasilkali reflexi-reflexi π‘€π‘Ÿ, 𝑀𝑠 dan 𝑀𝑑 adalah suatu reflexi geser. Bukti: Dipunyai garis r, s, dan t tidak berpotongan pada satu titik dan tidak ada pasangan yang // Misalakan perpotongan garis t dan s adalah A, perpotongan garis r dan s adalah B, dan perpotongan garis t dan r adalah C A C B r s
  8. 8. Reflexikan A terhadap garis r, s, dan t yaitu MrMtMs dan diperoleh A’ Reflexikan C terhadap garis r, s, dan t yaitu MsMtMr dan diperoleh C’ Hubungkan AA’ dan CC’ Bagi garis AA’ menjadi dua bagian yang sama panjang dan titik tengahnya M Bagi garis CC’ menjadi dua bagian yang sama panjang dan titik tengahnya N Hubungkan titik tengah garis M dan N sehingga diperoleh sumbu reflexi geser U Reflexikan A terhadap U sehingga diperoleh A” Reflexikan C terhadap U sehingga diperoleh C” Hubungkan AA” dan CC” dan diperoleh panjang AA” = CC” Jadi, hasilkali reflexi-reflexi π‘€π‘Ÿ, 𝑀𝑠 dan 𝑀𝑑 adalah suatu reflexi geser. r s t A C B N C’ U A’ C M A” C”
  9. 9. P o Q P’ B A P” Tugas 1. Diketahui titik –titik A, B, P, Q setiap tiga titik tidak ada yang kolinear. apabila s = 𝐴𝐡⃑ , lukislah a. P’ = GAB Ms (P) b. P”= Ms GAB(P) c. R sehingga GAB Ms (R) = Q Penyelesaian: 1. (a) P’ = GABMS(P) ● Po = MS(P) P1 = Mt (Po ) = MtMs(P) P’ = Mr (P1) = MrMtMs (P) = GABMS(P) (b) P” = MSGAB(P) ● rt P1 P’ P0 A B s P P Po r r t s Q
  10. 10. rt R r A o A o Po = Mt (P) P’ = Mr (Po ) = MrMt(P) P” = Ms(P’) = Ms MrMt(P) = MSGAB(P) (c) R sehingga GABMS(R) = Q MrMtMs (R) =Q R = MsMtMr (Q) ● ● ● ● Qo = Mr (Q) Q’ = Mt (Qo) =Mt Mr (Q) R = Ms(Q’) = Ms Mt Mr (Q) 2. Diketahui tiga garis r, s, t tidak melalui satu titik dan tidak ada pasangan yang sejajar jika r ∩ s= { C}, r ∩ t ={A}, s ∩ t ={B} lukiskan: a. A’= Mt Ms Mr (A) b. Sumbu reflexi geser R = Mt Ms Mr Penyelesaian: (a) A’ = MtMsMr(A) A Qo Q Q’ P B R s A Ao s t r C B
  11. 11. s A B C r A o A ’ C ’ B ” B o B ’ R (b) Sumbu refleksi geser R = MtMsMr 3. Diketahui Ξ”ABC β‰… Ξ”XYZ, lukislah sumbu s dan ruas garis berarah 𝐴𝐡̅̅̅̅ sehingga reflexi geser GAB Ms memetakan Ξ”ABC pada Ξ”XYZ. Penyelesaian: Diketahui : οƒ˜  ABC   XYZ οƒ˜ Ruas garis berarah BA Ditanya : Lukis sumbu S sehingga R = GAB MS Memetakan  ABC pada  XYZ! s t C A’ B A’ r C’ Ao A B’ B’’ R B0
  12. 12. Jawab : Ket : AB = Β½ MN 2 MN R = GAB MS = Mq Mp Ms 4. Diketahui garis s, titik A dan Ξ”DEF. Garis s tidak memotong Ξ”DEF dan A ada di dalam Ξ”DEF. a. Lukislah Ξ”D’E’F’ = Ms SA(Ξ”DEF) b. Apabila Ms SA suatu reflexi geser lukislah sumbu reflexi geser tersebut Penyelesaian: Diketahui : - garis S - titik A - ADEF Ditanya : a. Lukis  D' E' F' = MS SA ( DEF) b. Apabila MS SA suatu refleksi geser lukislah sumbu refleksi geser tersebut. C A B X Y ZC ' M N p q S A B X C Y Z s N qp M C’ E ' D ' F ' D E F D o E o F o . S t F ED Do Fo Eo t s F’ E’ D’
  13. 13. 5. Diketahui garis s dan titik A tidak pada garis s. lukislah sumbu reflexi geser Ms RA,90β—¦ Penyelesaian: Diket : garis S dan titik A tidak pada garis S Ditanya : lukislah sumbu refleksi geser Ms RA,go 0 Jawab: 6. Jika A = (0,0), B= (2,1), dan C=(2,5), titik- titik yang diketahui a. Tentukanlah koordinat pusat rotasi dari transformasi RA,90β—¦ GBC b. Jika P= (x,y) tentukan P’= RA,90β—¦ GBC Penyelesaian: Diket : A=(0,0), B= (2,1), C =(2,5) titik ang diketahui Ditanya : a. tentukanlah koordinat pusat rotasi dari transformasi RA,go ,Gbc b. jika P= (x,y) tentukan p’= RA,go GBC (P) Jawab: RA,go GBC = Mk Mg Ml = Mk . I. Ml = Mk . Ml 0 A D t LA 0 K t Ao O AD s L ● ● ● ● ● B’ C’ Co C Bo 5 k 2 -1 -5
  14. 14. 7. Buktikan teorema berikut: 1) Apabila R suatu reflexi geser, maka R2 suatu translasi 2) Apabila R suatu reflexi geser, maka R tidak memiliki titik- titik invariant (titik tetap) Bukti: 1) Dipunyai sebuah reflexi Mg dan sebuah translasi GAB Maka R = GAB Mg Sehingga R2 = R R = GAB Mg GAB Mg = GAB Mg Mg GAB = GAB I GAB = GAB GAB = GCD 8. Jika t sumbu x sebuah sistem koordinat orthogonal, A= (2,30) , B= (1,6) titik yang diketahui. Tentukan peta- peta titik tersebut oleh suatu reflexi geser Mt GAB. Tentukan pula persamaan sumbu reflexi geser tersebut. Penyelesaian: Diketahui : t sumbu X sistem koordinat orthogonal A(2,3) dan B(1,6) Ditanya : tentukan peta titik A dan B oleh reflexi geser Mt.GAB Tentukan persamaan reflekksi geser tersebut Jawab: 1. Lukis titik A(2,3) dan B(1,6) 2. Misal garis g melalui C dan tegak lurus 𝐴𝐡⃐ , garis h melalui D dan sejajar garis g sehingga AB = 2CD GAB = MhMg 3. Lukis A’ = MhMg (A) dan B’ = MhMg (B) 4. Reflexikan A’ dan B’ terhadap garis t sehingga diperoleh A” dan B”

Γ—