Dimensi tiga-proyeksi-sudut

3,587 views

Published on

media presentasi matematika

Published in: Education
2 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
3,587
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
18
Actions
Shares
0
Downloads
205
Comments
2
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Dimensi tiga-proyeksi-sudut

  1. 1. 1<br />Dimensi Tiga<br />(Proyeksi & Sudut)<br />
  2. 2. 2<br />Setelah menyaksikan <br />tayangan ini anda dapat<br />Menentukan<br />proyeksi dan besar sudut dalam<br />ruang dimensi tiga<br />
  3. 3. 3<br />Proyeksi Pada Bangun Ruang:<br /> proyeksi titik pada garis<br /> proyeksi titik pada bidang<br /> proyeksi garis pada bidang<br />
  4. 4. 4<br />Proyeksi titik pada garis<br />Dari titik P<br />ditarik garis m garis k<br />garis m memotong k di Q,<br />titik Q adalah <br />hasil proyeksi <br />titik P pada k<br />P<br />m<br />k<br />Q<br />
  5. 5. 5<br />H<br />G<br />E<br />F<br />D<br />C<br />A<br />B<br />Contoh<br />Diketahui <br />kubus ABCD.EFGH<br />Tentukan proyeksi<br />titik A pada garis <br />a. BC b.BD<br />c. ET<br /> (T perpotongan<br /> AC dan BD).<br />T<br />
  6. 6. 6<br />H<br />G<br />E<br />F<br />D<br />T<br />C<br />A<br />B<br />Pembahasan<br />Proyeksi titik A pada<br />a. BC adalah titik<br />b. BD adalah titik<br />c. ET adalah titik <br />B<br />(AB  BC)<br />A’<br />T<br />(AC  BD)<br />A’<br />(AC  ET)<br />
  7. 7. 7<br />H<br />Proyeksi Titik pada Bidang<br />Dari titik P<br />di luar bidang H<br />ditarik garis g H. <br />Garis g menembus<br />bidang H di titik P’.<br />Titik P’ adalah<br />proyeksi titik P <br />di bidang H<br />P<br />g<br />P’<br />
  8. 8. 8<br />H<br />G<br />E<br />F<br />D<br />C<br />A<br />B<br />Contoh<br /> Diketahui kubus<br /> ABCD.EFGH<br />a. Proyeksi titik E<br /> pada bidang ABCD<br /> adalah….<br />b. Proyeksi titik C<br /> pada bidang BDG<br /> adalah….<br />
  9. 9. 9<br />H<br />G<br />E<br />F<br />D<br />C<br />A<br />B<br />Pembahasan<br />a. Proyeksi titik E<br /> pada bidang ABCD<br /> adalah<br />b. Proyeksi titik C<br /> pada bidang BDG<br /> adalah<br /> CE  BDG<br />A<br />P<br />(EA  ABCD)<br />P<br />
  10. 10. 10<br />H<br />Proyeksi garis pada bidang<br />Proyeksi sebuah garis<br />ke sebuah bidang<br />dapat diperoleh <br />dengan memproyek-<br />sikan titik-titik yang<br />terletak pada garis itu<br />ke bidang.<br />A<br />B<br />g<br />A’<br />g’<br />B’<br />Jadi proyeksi garis g pada bidang H <br />adalahg’<br />
  11. 11. 11<br />Fakta-fakta<br />1. Proyeksi garis pada bidang<br /> umumnya berupa garis<br />2. Jika garis h  maka<br /> proyeksi garis h pada bidang <br /> berupa titik.<br />3. Jika garis g// bidang  maka<br /> g’ yaitu proyeksi garis g pada<br /> dan sejajar garis g<br />
  12. 12. 12<br />H<br />G<br />E<br />F<br />D<br />C<br />A<br />B<br />Contoh 1<br /> Diketahui kubus<br /> ABCD.EFGH<br />a. Proyeksi garis EF<br /> pada bidang ABCD<br /> adalah….<br />b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm,<br />Panjang proyeksi garis CG<br /> pada bidang BDG adalah….<br />
  13. 13. 13<br />H<br />G<br />E<br />F<br />D<br />C<br />A<br />B<br />Pembahasan<br />a. Proyeksi garis EF<br /> pada bidang ABCD<br /> berarti menentukan<br /> proyeksi titik E dan F<br /> pada bidang ABCD,<br /> yaitu titik A dan B<br />Jadi proyeksi EF pada ABCD <br />adalah garis AB<br />
  14. 14. 14<br />H<br />G<br />E<br />F<br />D<br />C<br />A<br />B<br />Pembahasan<br />b. Proyeksi garis CG<br /> pada bidang BDG<br /> berarti menentukan<br /> proyeksi titik C <br /> dan titik G<br /> pada bidang BDG,<br /> yaitu titik P dan G<br />P<br />6 cm<br />Jadi proyeksi CG pada BDG <br />adalah garis PG dan panjangnya?<br />
  15. 15. 15<br />H<br />G<br />E<br />F<br />D<br />C<br />A<br />B<br />•Panjang proyeksi CG <br /> pada BDG adalah <br /> panjang garis PG.<br />•PG = ⅔.GR <br /> = ⅔.½a√6 <br /> = ⅓a√6 = ⅓.6√6<br />P<br />R<br />6 cm<br />•Jadi panjang proyeksi garis CG<br /> pada bidang BDG adalah 2√6 cm<br />
  16. 16. 16<br />T<br />D<br />C<br />A<br />B<br />Contoh 2<br />Diketahui limas<br />beraturanT.ABCD<br />dengan panjang AB<br />= 16 cm, TA = 18 cm<br />Panjang proyeksi TA<br />pada bidang ABCD<br />adalah….<br />18 cm<br />16 cm<br />
  17. 17. 17<br />T<br />D<br />C<br />A<br />B<br />Pembahasan<br />Proyeksi TA<br />pada bidang ABCD<br />adalah AT’.<br />Panjang AT’= ½AC<br /> = ½.16√2<br /> = 8√2 <br />18 cm<br />T’<br />16 cm<br />Jadi panjang proyeksi TA pada<br />bidang ABCD adalah 8√2 cm<br />
  18. 18. 18<br />Sudut Pada Bangun Ruang:<br /> Sudut antara dua garis<br /> Sudut antara garis dan bidang<br /> Sudut antara bidang dan bidang<br />
  19. 19. 19<br />Sudut antara Dua Garis<br />Yang dimaksud dengan <br />besar sudut antara <br />dua garis adalah<br />besar sudut terkecil<br />yang dibentuk <br />oleh kedua<br />garis tersebut<br />m<br />k<br />
  20. 20. 20<br />H<br />G<br />E<br />F<br />D<br />C<br />A<br />B<br /> Contoh<br />Diketahui <br />kubus ABCD.EFGH <br />Besar sudut antara<br />garis-garis:<br />a. AB dengan BG<br />b. AH dengan AF <br />c. BE dengan DF<br />
  21. 21. 21<br />H<br />G<br />E<br />F<br />D<br />C<br />A<br />B<br /> Pembahasan<br />Besar sudut antara<br />garis-garis:<br />a. AB dengan BG<br /> = 900<br />b. AH dengan AF<br /> = 600 (∆ AFH smss)<br />c. BE dengan DF<br /> = 900 (BE  DF)<br />
  22. 22. 22<br />P<br />Q<br />V<br />Sudut antara <br />Garis dan Bidang<br />Sudut antara <br />garis a dan bidang <br />dilambangkan (a,)<br />adalah sudut antara<br />garis a dan <br />proyeksinya pada .<br />Sudut antara garis PQ dengan V <br /> = sudut antara PQ dengan P’Q<br /> = PQP’<br />P’<br />
  23. 23. 23<br />H<br />G<br />E<br />F<br />D<br />C<br />A<br />B<br />Contoh 1<br />Diketahui <br />kubus ABCD.EFGH<br />panjang rusuk 6 cm. <br />Gambarlah sudut<br />antara garis BG<br /> dengan ACGE,<br />6 cm<br />Kemudian hitunglah besar sudutnya!<br />
  24. 24. 24<br />H<br />G<br />E<br />F<br />D<br />C <br />A<br />B<br />Pembahasan<br />Proyeksi garis BG<br />pada bidang ACGE<br />adalah garis KG<br />(K = titik potong <br />AC dan BD)<br />K<br />6 cm<br />Jadi (BG,ACGE) = (BG,KG)<br /> = BGK<br />
  25. 25. 25<br />H<br />G<br />E<br />F<br />D<br />C <br />A<br />B<br />Pembahasan<br />BG = 6√2 cm<br /> BK = ½BD<br /> = ½.6√2<br /> = 3√2 cm<br />∆BKG siku-siku di K<br />K<br />6 cm<br />sinBGK =<br />Jadi, besar BGK = 300<br />
  26. 26. 26<br />H<br />G<br />E<br />F<br />D<br />C<br />A<br />B<br />Contoh 2<br />Diketahui <br />kubus ABCD.EFGH<br />panjang rusuk 8 cm. <br />8 cm<br />Nilai tangens sudut antara garis CG<br />dan bidang AFH adalah….<br />
  27. 27. 27<br />H<br />G<br />E<br />F<br />D<br />C<br />A<br />B<br />Pembahasan<br />tan(CG,AFH) <br /> = tan (PQ,AP)<br /> = tan APQ<br /> =<br /> = <br />P<br />Q<br />8 cm<br />Nilai tangens sudut antara garis CG<br />dan bidang AFH adalah ½√2<br />
  28. 28. 28<br />T<br />a cm<br />D<br />C<br />A<br />B<br />a cm<br />Contoh 3<br />Pada limas<br />segiempat beraturan <br />T.ABCD yang semua<br />rusuknya sama panjang, <br />sudut antara TA dan bidang ABCD<br />adalah….<br />
  29. 29. 29<br />T<br />a cm<br />D<br />C<br />A<br />B<br />a cm<br />Pembahasan<br />• TA = TB = a cm<br />• AC = a√2 (diagonal<br /> persegi)<br />•∆TAC = ∆ siku-siku<br /> samakaki<br />sudut antara TA dan bidang ABCD<br />adalah sudut antara TA dan AC<br />yang besarnya 450<br />
  30. 30. 30<br />Sudut antara <br />Bidang dan Bidang<br />Sudut antara <br />bidang  dan bidang <br />adalah sudut antara<br />garis g dan h, dimana<br />g  (,) dan h  (,).<br />(,) garis potong bidang  dan <br /><br />h<br />(,)<br /><br />g<br />
  31. 31. 31<br />H<br />G<br />E<br />F<br />D<br />C<br />A<br />B<br />Contoh 1<br /> Diketahui kubus<br /> ABCD.EFGH<br />a. Gambarlah sudut<br /> antara bidang BDG<br /> dengan ABCD<br />b. Tentukan nilai sinus<br /> sudut antara BDG<br /> dan ABCD!<br />
  32. 32. 32<br />H<br />G<br />E<br />F<br />D<br />C<br />A<br />B<br />Pembahasan<br />a. (BDG,ABCD)<br />• garis potong BDG<br /> dan ABCD  BD<br /> • garis pada ABCD<br /> yang  BD  AC<br />• garis pada BDG<br /> yang  BD  GP<br />P<br />Jadi (BDG,ABCD) = (GP,PC)<br /> =GPC<br />
  33. 33. 33<br />H<br />G<br />E<br />F<br />D<br />C<br />A<br />B<br />Pembahasan<br />b. sin(BDG,ABCD)<br /> = sin GPC<br /> =<br /> =<br /> = ⅓√6<br />P<br />Jadi, sin(BDG,ABCD) = ⅓√6<br />
  34. 34. 34<br />T<br />9 cm<br />A<br />C<br />6 cm<br />B<br />Contoh 2<br />Limas beraturan <br />T.ABC, panjang<br />rusuk alas 6 cm dan<br />panjang rusuk tegak<br />9 cm. Nilai sinus sudut<br />antara bidang TAB<br />dengan bidang ABC<br />adalah….<br />
  35. 35. 35<br />T<br />9 cm<br />A<br />C<br />6 cm<br />B<br />Pembahasan<br />•sin(TAB,ABC)<br /> = sin(TP,PC)<br /> = sinTPC<br />•TC = 9 cm, BP = 3 cm<br />•PC =<br /> =<br />•PT =<br /> = <br />P<br />3<br />
  36. 36. 36<br />• Lihat ∆ TPC<br /> PT = 6√2, PC = 3√3<br />Aturan cosinus<br />TC2 = TP2 + PC2 – 2TP.TC.cosTPC<br />81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cosTPC<br />36√6.cosTPC = 99 – 81<br />36√6.cosTPC = 18 <br />cosTPC =<br /> = <br />T<br />9 cm<br />6√2<br />A<br />C<br />2<br />1<br />3√3<br />P<br />B<br />
  37. 37. 37<br />• Lihat ∆ TPC<br />cosP =<br />Maka diperoleh<br />Sin P =<br />Jadi sinus (TAB,ABC)<br /> = <br />12<br />P<br />√6<br />
  38. 38. 38<br />H<br />G<br />E<br />F<br />D<br />C<br />A<br />B<br />Contoh 3<br /> Diketahui kubus<br /> ABCD.EFGH, pan-<br /> jang rusuk 4 cm<br /> Titik P dan Q <br /> berturut-turut<br /> di tengah-tengah<br /> AB dan AD. <br />4 cm<br />Q<br />P<br />Sudut antara bidang FHQP dan bi-<br />dang AFH adalah . Nilai cos =…<br />
  39. 39. 39<br />H<br />G<br />E<br />F<br />D<br />C<br />A<br />B<br />Pembahasan<br />• (FHQP,AFH)<br /> = (KL,KA)<br /> = AKL = <br /> • AK = ½a√6 = 2√6<br /> • AL = LM = ¼ AC<br /> = ¼a√2 = √2<br /> • KL =<br /> =<br /> =3√2 <br />4 cm<br />K<br /><br />Q<br />L<br />M<br />P<br />
  40. 40. 40<br />Pembahasan<br />• AK = 2√6 , AL = √2<br /> KL = 3√2<br />Aturan Cosinus:<br />AL2 = AK2 + KL2 – 2AK.KLcos<br /> 2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cos<br />24√3.cos = 42 – 2 <br /> 24√3.cos = 40<br /> cos =<br />K<br /><br />M<br />L<br />A<br />Jadi nilai cos =<br />
  41. 41. 41<br />SELAMAT BELAJAR<br />

×