Dimensi Tiga ( Proyeksi & Sudut )
Setelah menyaksikan  tayangan ini anda dapat Menentukan proyeksi dan  besar sudut dalam ruang dimensi tiga
<ul><li>Proyeksi Pada Bangun Ruang : </li></ul><ul><li>proyeksi titik pada garis </li></ul><ul><li>proyeksi titik pada bid...
<ul><li>Proyeksi titik pada garis </li></ul><ul><li>Dari titik P </li></ul><ul><li>ditarik garis  m   garis  k </li></ul>...
<ul><li>Contoh </li></ul><ul><li>Diketahui  </li></ul><ul><li>kubus ABCD.EFGH </li></ul><ul><li>Tentukan proyeksi </li></u...
<ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>Proyeksi titik A pada </li></ul><ul><li>a. BC adalah titik </li></ul><ul><li>b. BD ad...
<ul><li>Proyeksi Titik pada Bidang </li></ul>Dari titik P di luar bidang H ditarik garis  g     H.  Garis  g  menembus  b...
<ul><li>Contoh </li></ul><ul><li>Diketahui kubus </li></ul><ul><li>ABCD.EFGH </li></ul><ul><li>a. Proyeksi titik E </li></...
<ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>a. Proyeksi titik E </li></ul><ul><li>pada bidang ABCD </li></ul><ul><li>adalah </li>...
<ul><li>Proyeksi garis pada bidang </li></ul>Proyeksi sebuah garis ke sebuah bidang dapat diperoleh  dengan memproyek- sik...
<ul><li>Fakta-fakta </li></ul><ul><li>1.  Proyeksi garis  pada bidang </li></ul><ul><li>  umumnya  berupa garis </li></ul>...
<ul><li>Contoh 1 </li></ul><ul><li>Diketahui kubus </li></ul><ul><li>ABCD.EFGH </li></ul><ul><li>a. Proyeksi garis EF </li...
<ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>a. Proyeksi garis EF </li></ul><ul><li>pada bidang ABCD </li></ul><ul><li>berarti men...
<ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>b. Proyeksi garis CG </li></ul><ul><li>pada bidang BDG </li></ul><ul><li>berarti mene...
• Panjang proyeksi CG  pada BDG adalah  panjang garis  PG . • PG =  ⅔.GR  = ⅔.½a√6  = ⅓a√6 = ⅓.6√6 P R • Jadi  panjang  pr...
<ul><li>Contoh 2 </li></ul><ul><li>Diketahui limas </li></ul><ul><li>beraturanT.ABCD </li></ul><ul><li>dengan panjang AB <...
<ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>Proyeksi TA </li></ul><ul><li>pada bidang ABCD </li></ul><ul><li>adalah AT’. </li></u...
<ul><li>Sudut Pada Bangun Ruang : </li></ul><ul><li>Sudut antara dua garis </li></ul><ul><li>Sudut antara garis dan bidang...
<ul><li>Sudut antara Dua Garis </li></ul><ul><li>Yang dimaksud dengan  </li></ul><ul><li>besar sudut antara  </li></ul><ul...
<ul><li>Contoh </li></ul><ul><li>Diketahui  </li></ul><ul><li>kubus ABCD.EFGH  </li></ul><ul><li>Besar sudut antara </li><...
<ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>Besar sudut antara </li></ul><ul><li>garis-garis: </li></ul><ul><li>a. AB dengan BG <...
<ul><li>Sudut antara  </li></ul><ul><li>Garis dan Bidang </li></ul><ul><li>Sudut antara  </li></ul><ul><li>garis a dan bid...
<ul><li>Contoh 1 </li></ul><ul><li>Diketahui  </li></ul><ul><li>kubus ABCD.EFGH </li></ul><ul><li>panjang rusuk 6 cm.  </l...
<ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>Proyeksi garis BG </li></ul><ul><li>pada bidang ACGE </li></ul><ul><li>adalah garis K...
<ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>BG = 6 √2 cm </li></ul><ul><li>BK = ½BD </li></ul><ul><li>= ½.6√2 </li></ul><ul><li>=...
<ul><li>Contoh 2 </li></ul><ul><li>Diketahui  </li></ul><ul><li>kubus ABCD.EFGH </li></ul><ul><li>panjang rusuk 8 cm.  </l...
<ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>tan  (CG,AFH)  </li></ul><ul><li>= tan   (PQ,AP) </li></ul><ul><li>= tan   APQ </l...
<ul><li>Contoh 3 </li></ul><ul><li>Pada limas </li></ul><ul><li>segiempat beraturan  </li></ul><ul><li>T.ABCD yang semua <...
<ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>•  TA = TB = a cm </li></ul><ul><li>•  AC = a√2  ( diagonal </li></ul><ul><li>persegi...
<ul><li>Sudut antara  </li></ul><ul><li>Bidang dan Bidang </li></ul><ul><li>Sudut antara  </li></ul><ul><li>bidang    dan...
<ul><li>Contoh 1 </li></ul><ul><li>Diketahui kubus </li></ul><ul><li>ABCD.EFGH </li></ul><ul><li>a. Gambarlah sudut </li><...
<ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>a.   (BDG,ABCD) </li></ul><ul><li>•  garis potong BDG </li></ul><ul><li>dan ABCD   ...
<ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>b. sin  (BDG,ABCD) </li></ul><ul><li>= sin   GPC </li></ul><ul><li>= </li></ul><ul>...
<ul><li>Contoh 2 </li></ul><ul><li>Limas beraturan  </li></ul><ul><li>T.ABC, panjang </li></ul><ul><li>rusuk alas 6 cm dan...
<ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>• sin  (TAB,ABC) </li></ul><ul><li>= sin  (TP,PC) </li></ul><ul><li>= sin  TPC </l...
•  Lihat  ∆ TPC PT = 6√2, PC = 3√3 Aturan cosinus TC 2  = TP 2  + PC 2  – 2TP.TC.cos  TPC 81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cos  ...
•  Lihat  ∆ TPC cos  P = Maka diperoleh Sin   P = Jadi sinus   (TAB,ABC) =  12 √ 6 P
<ul><li>Contoh 3 </li></ul><ul><li>Diketahui kubus </li></ul><ul><li>ABCD.EFGH, pan- </li></ul><ul><li>jang rusuk 4 cm </l...
<ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>•   (FHQP,AFH) </li></ul><ul><li>=   (KL,KA) </li></ul><ul><li>=   AKL =   </li><...
<ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>•  AK = 2√6 , AL = √2 </li></ul><ul><li>KL = 3√2 </li></ul><ul><li>Aturan Cosinus: </...
<ul><li>SELAMAT BELAJAR </li></ul>
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Dimensi Tiga Proyeksi Sudut

43,865 views

Published on

proyeksi sudut

Published in: Education, Business

Dimensi Tiga Proyeksi Sudut

  1. 1. Dimensi Tiga ( Proyeksi & Sudut )
  2. 2. Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan proyeksi dan besar sudut dalam ruang dimensi tiga
  3. 3. <ul><li>Proyeksi Pada Bangun Ruang : </li></ul><ul><li>proyeksi titik pada garis </li></ul><ul><li>proyeksi titik pada bidang </li></ul><ul><li>proyeksi garis pada bidang </li></ul>
  4. 4. <ul><li>Proyeksi titik pada garis </li></ul><ul><li>Dari titik P </li></ul><ul><li>ditarik garis m  garis k </li></ul><ul><li>garis m memotong k di Q, </li></ul><ul><li>titik Q adalah </li></ul><ul><li>hasil proyeksi </li></ul><ul><li>titik P pada k </li></ul>P Q k m
  5. 5. <ul><li>Contoh </li></ul><ul><li>Diketahui </li></ul><ul><li>kubus ABCD.EFGH </li></ul><ul><li>Tentukan proyeksi </li></ul><ul><li>titik A pada garis </li></ul><ul><li>a. BC b.BD </li></ul><ul><li>c. ET </li></ul><ul><li>(T perpotongan </li></ul><ul><li>AC dan BD). </li></ul>T A B C D H E F G
  6. 6. <ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>Proyeksi titik A pada </li></ul><ul><li>a. BC adalah titik </li></ul><ul><li>b. BD adalah titik </li></ul><ul><li>c. ET adalah titik </li></ul>B T A’ A’ (AC  ET) (AB  BC) (AC  BD) A B C D H E F G T
  7. 7. <ul><li>Proyeksi Titik pada Bidang </li></ul>Dari titik P di luar bidang H ditarik garis g  H. Garis g menembus bidang H di titik P’. Titik P’ adalah proyeksi titik P di bidang H P P’ g H
  8. 8. <ul><li>Contoh </li></ul><ul><li>Diketahui kubus </li></ul><ul><li>ABCD.EFGH </li></ul><ul><li>a. Proyeksi titik E </li></ul><ul><li>pada bidang ABCD </li></ul><ul><li>adalah…. </li></ul><ul><li>b. Proyeksi titik C </li></ul><ul><li>pada bidang BDG </li></ul><ul><li>adalah…. </li></ul>A B C D H E F G
  9. 9. <ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>a. Proyeksi titik E </li></ul><ul><li>pada bidang ABCD </li></ul><ul><li>adalah </li></ul><ul><li>b. Proyeksi titik C </li></ul><ul><li>pada bidang BDG </li></ul><ul><li>adalah </li></ul><ul><li>CE  BDG </li></ul>(EA  ABCD) A P P A B C D H E F G
  10. 10. <ul><li>Proyeksi garis pada bidang </li></ul>Proyeksi sebuah garis ke sebuah bidang dapat diperoleh dengan memproyek- sikan titik-titik yang terletak pada garis itu ke bidang. A A’ g Jadi proyeksi garis g pada bidang H adalah g’ B B’ g’ H
  11. 11. <ul><li>Fakta-fakta </li></ul><ul><li>1. Proyeksi garis pada bidang </li></ul><ul><li> umumnya berupa garis </li></ul><ul><li>2. Jika garis h   maka </li></ul><ul><li> proyeksi garis h pada bidang  </li></ul><ul><li> berupa titik. </li></ul><ul><li>3. Jika garis g // bidang  maka </li></ul><ul><li> g’ yaitu proyeksi garis g pada  </li></ul><ul><li> dan sejajar garis g </li></ul>
  12. 12. <ul><li>Contoh 1 </li></ul><ul><li>Diketahui kubus </li></ul><ul><li>ABCD.EFGH </li></ul><ul><li>a. Proyeksi garis EF </li></ul><ul><li>pada bidang ABCD </li></ul><ul><li>adalah…. </li></ul>b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm, Panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah…. A B C D H E F G
  13. 13. <ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>a. Proyeksi garis EF </li></ul><ul><li>pada bidang ABCD </li></ul><ul><li>berarti menentukan </li></ul><ul><li>proyeksi titik E dan F </li></ul><ul><li>pada bidang ABCD, </li></ul><ul><li>yaitu titik A dan B </li></ul>Jadi proyeksi EF pada ABCD adalah garis AB A B C D H E F G
  14. 14. <ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>b. Proyeksi garis CG </li></ul><ul><li>pada bidang BDG </li></ul><ul><li>berarti menentukan </li></ul><ul><li>proyeksi titik C </li></ul><ul><li>dan titik G </li></ul><ul><li>pada bidang BDG, </li></ul><ul><li>yaitu titik P dan G </li></ul>Jadi proyeksi CG pada BDG adalah garis PG dan panjangnya? P 6 cm A B C D H E F G
  15. 15. • Panjang proyeksi CG pada BDG adalah panjang garis PG . • PG = ⅔.GR = ⅔.½a√6 = ⅓a√6 = ⅓.6√6 P R • Jadi panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah 2√6 cm 6 cm A B C D H E F G
  16. 16. <ul><li>Contoh 2 </li></ul><ul><li>Diketahui limas </li></ul><ul><li>beraturanT.ABCD </li></ul><ul><li>dengan panjang AB </li></ul><ul><li>= 16 cm, TA = 18 cm </li></ul><ul><li>Panjang proyeksi TA </li></ul><ul><li>pada bidang ABCD </li></ul><ul><li>adalah…. </li></ul>16 cm 18 cm T A D C B
  17. 17. <ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>Proyeksi TA </li></ul><ul><li>pada bidang ABCD </li></ul><ul><li>adalah AT’. </li></ul><ul><li>Panjang AT’= ½AC </li></ul><ul><li>= ½.16√2 </li></ul><ul><li>= 8√2 </li></ul>16 cm 18 cm T’ Jadi panjang proyeksi TA pada bidang ABCD adalah 8 √2 cm T A D C B
  18. 18. <ul><li>Sudut Pada Bangun Ruang : </li></ul><ul><li>Sudut antara dua garis </li></ul><ul><li>Sudut antara garis dan bidang </li></ul><ul><li>Sudut antara bidang dan bidang </li></ul>
  19. 19. <ul><li>Sudut antara Dua Garis </li></ul><ul><li>Yang dimaksud dengan </li></ul><ul><li>besar sudut antara </li></ul><ul><li>dua garis adalah </li></ul><ul><li>besar sudut terkecil </li></ul><ul><li>yang dibentuk </li></ul><ul><li>oleh kedua </li></ul><ul><li>garis tersebut </li></ul>k m
  20. 20. <ul><li>Contoh </li></ul><ul><li>Diketahui </li></ul><ul><li>kubus ABCD.EFGH </li></ul><ul><li>Besar sudut antara </li></ul><ul><li>garis-garis: </li></ul><ul><li>a. AB dengan BG </li></ul><ul><li>b. AH dengan AF </li></ul><ul><li>c. BE dengan DF </li></ul>A B C D H E F G
  21. 21. <ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>Besar sudut antara </li></ul><ul><li>garis-garis: </li></ul><ul><li>a. AB dengan BG </li></ul><ul><li>= 90 0 </li></ul><ul><li>b. AH dengan AF </li></ul><ul><li>= 60 0 ( ∆ AFH smss) </li></ul><ul><li>c. BE dengan DF </li></ul><ul><li>= 90 0 (BE  DF) </li></ul>A B C D H E F G
  22. 22. <ul><li>Sudut antara </li></ul><ul><li>Garis dan Bidang </li></ul><ul><li>Sudut antara </li></ul><ul><li>garis a dan bidang  </li></ul><ul><li>dilambangkan (a,  ) </li></ul><ul><li>adalah sudut antara </li></ul><ul><li>garis a dan </li></ul><ul><li>proyeksinya pada  . </li></ul><ul><li>Sudut antara garis PQ dengan V </li></ul><ul><li>= sudut antara PQ dengan P’Q </li></ul><ul><li>=  PQP ’ </li></ul>P’ P Q V
  23. 23. <ul><li>Contoh 1 </li></ul><ul><li>Diketahui </li></ul><ul><li>kubus ABCD.EFGH </li></ul><ul><li>panjang rusuk 6 cm. </li></ul><ul><li>Gambarlah sudut </li></ul><ul><li>antara garis BG </li></ul><ul><li>dengan ACGE, </li></ul>6 cm Kemudian hitunglah besar sudutnya! A B C D H E F G
  24. 24. <ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>Proyeksi garis BG </li></ul><ul><li>pada bidang ACGE </li></ul><ul><li>adalah garis KG </li></ul><ul><li>(K = titik potong </li></ul><ul><li>AC dan BD) </li></ul>6 cm Jadi  (BG,ACGE) =  (BG,KG) =  BGK K A B C D H E F G
  25. 25. <ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>BG = 6 √2 cm </li></ul><ul><li>BK = ½BD </li></ul><ul><li>= ½.6√2 </li></ul><ul><li>= 3√2 cm </li></ul><ul><li>∆ BKG siku-siku di K </li></ul>6 cm sin  BGK = Jadi, besar  BGK = 30 0 K A B C D H E F G
  26. 26. <ul><li>Contoh 2 </li></ul><ul><li>Diketahui </li></ul><ul><li>kubus ABCD.EFGH </li></ul><ul><li>panjang rusuk 8 cm. </li></ul>8 cm Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang AFH adalah…. A B C D H E F G
  27. 27. <ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>tan  (CG,AFH) </li></ul><ul><li>= tan  (PQ,AP) </li></ul><ul><li>= tan  APQ </li></ul><ul><li>= </li></ul><ul><li>= </li></ul>8 cm P Q Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang AFH adalah ½√2 A B C D H E F G
  28. 28. <ul><li>Contoh 3 </li></ul><ul><li>Pada limas </li></ul><ul><li>segiempat beraturan </li></ul><ul><li>T.ABCD yang semua </li></ul><ul><li>rusuknya sama panjang, </li></ul>sudut antara TA dan bidang ABCD adalah…. T A B C D a cm a cm
  29. 29. <ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>• TA = TB = a cm </li></ul><ul><li>• AC = a√2 ( diagonal </li></ul><ul><li>persegi) </li></ul><ul><li>• ∆ TAC = ∆ siku-siku </li></ul><ul><li>samakaki </li></ul>sudut antara TA dan bidang ABCD adalah sudut antara TA dan AC yang besarnya 45 0 T A B C D a cm a cm
  30. 30. <ul><li>Sudut antara </li></ul><ul><li>Bidang dan Bidang </li></ul><ul><li>Sudut antara </li></ul><ul><li>bidang  dan bidang  </li></ul><ul><li>adalah sudut antara </li></ul><ul><li>garis g dan h , dimana </li></ul><ul><li>g  (  ,  ) dan h  (  ,  ). </li></ul><ul><li>(  ,  ) garis potong bidang  dan  </li></ul>  (  ,  ) g h
  31. 31. <ul><li>Contoh 1 </li></ul><ul><li>Diketahui kubus </li></ul><ul><li>ABCD.EFGH </li></ul><ul><li>a. Gambarlah sudut </li></ul><ul><li>antara bidang BDG </li></ul><ul><li>dengan ABCD </li></ul><ul><li>b. Tentukan nilai sinus </li></ul><ul><li>sudut antara BDG </li></ul><ul><li>dan ABCD! </li></ul>A B C D H E F G
  32. 32. <ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>a.  (BDG,ABCD) </li></ul><ul><li>• garis potong BDG </li></ul><ul><li>dan ABCD  BD </li></ul><ul><li>• garis pada ABCD </li></ul><ul><li>yang  BD  AC </li></ul><ul><li>• garis pada BDG </li></ul><ul><li>yang  BD  GP </li></ul>Jadi  (BDG,ABCD) =  (GP,PC) =  GPC P A B C D H E F G
  33. 33. <ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>b. sin  (BDG,ABCD) </li></ul><ul><li>= sin  GPC </li></ul><ul><li>= </li></ul><ul><li>= </li></ul><ul><li>= ⅓√6 </li></ul>Jadi, sin  (BDG,ABCD) = ⅓√6 P A B C D H E F G
  34. 34. <ul><li>Contoh 2 </li></ul><ul><li>Limas beraturan </li></ul><ul><li>T.ABC, panjang </li></ul><ul><li>rusuk alas 6 cm dan </li></ul><ul><li>panjang rusuk tegak </li></ul><ul><li>9 cm. Nilai sinus sudut </li></ul><ul><li>antara bidang TAB </li></ul><ul><li>dengan bidang ABC </li></ul><ul><li>adalah…. </li></ul>A B C T 6 cm 9 cm
  35. 35. <ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>• sin  (TAB,ABC) </li></ul><ul><li>= sin  (TP,PC) </li></ul><ul><li>= sin  TPC </li></ul><ul><li>• TC = 9 cm, BP = 3 cm </li></ul><ul><li>• PC = </li></ul><ul><li>= </li></ul><ul><li>• PT = </li></ul><ul><li>= </li></ul>P 3 A B C T 6 cm 9 cm
  36. 36. • Lihat ∆ TPC PT = 6√2, PC = 3√3 Aturan cosinus TC 2 = TP 2 + PC 2 – 2TP.TC.cos  TPC 81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cos  TPC 36√6.cos  TPC = 99 – 81 36√6.cos  TPC = 18 cos  TPC = = A B C T 9 cm P 6 √2 3 √3 2 1
  37. 37. • Lihat ∆ TPC cos  P = Maka diperoleh Sin  P = Jadi sinus  (TAB,ABC) = 12 √ 6 P
  38. 38. <ul><li>Contoh 3 </li></ul><ul><li>Diketahui kubus </li></ul><ul><li>ABCD.EFGH, pan- </li></ul><ul><li>jang rusuk 4 cm </li></ul><ul><li>Titik P dan Q </li></ul><ul><li>berturut-turut </li></ul><ul><li>di tengah-tengah </li></ul><ul><li>AB dan AD. </li></ul>Sudut antara bidang FHQP dan bi- dang AFH adalah  . Nilai cos  =… 4 cm P Q A B C D H E F G
  39. 39. <ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>•  (FHQP,AFH) </li></ul><ul><li>=  (KL,KA) </li></ul><ul><li>=  AKL =  </li></ul><ul><li>• AK = ½a√6 = 2√6 </li></ul><ul><li>• AL = LM = ¼ AC </li></ul><ul><li>= ¼a√2 = √2 </li></ul><ul><li>• KL = </li></ul><ul><li>= </li></ul><ul><li>=3√2 </li></ul>4 cm P Q K L  M A B C D H E F G
  40. 40. <ul><li>Pembahasan </li></ul><ul><li>• AK = 2√6 , AL = √2 </li></ul><ul><li>KL = 3√2 </li></ul><ul><li>Aturan Cosinus: </li></ul><ul><li>AL 2 = AK 2 + KL 2 – 2AK.KLcos  </li></ul><ul><li>2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cos  </li></ul><ul><li>24√3.cos  = 42 – 2 </li></ul><ul><li>24√3.cos  = 40 </li></ul><ul><li>cos  = </li></ul>K L  M A Jadi nilai cos  =
  41. 41. <ul><li>SELAMAT BELAJAR </li></ul>

×