Dokumen tersebut membahas konsep algoritma Euclid untuk menemukan faktor persekutuan terbesar (fpb) dari dua bilangan bulat, beserta ilustrasinya dan latihan soal.

1. TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
POKOK
BAHASAN

2. TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
POKOK
BAHASAN
Oleh : Dr. Kusnandi, M.Si.

3. TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
POKOK
BAHASAN
Mahasiswa dapat memahami konsep Algoritma Euclid
dan menerapkannya dalam permasalahan matematika
yang relevan

4. TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
POKOK
BAHASAN Kita akan mencari fpb(90, 78) dengan tanpa mendaftar faktor-
faktornya.
Langkah 2: Terapkan Algoritma Pembagian pada 78 dan 12
Langkah 1: Terapkan Algoritma Pembagian pada 90 dan 78
Lakukan langkah di atas pada bilangan 756 dan 528
90 = 1 . 78 + 12 0 ≤ r < 78
78 = 6 . 12 + 6 0 ≤ r < 12
Langkah 3: Terapkan Algoritma Pembagian pada 12 dan 6
12 = 2 . 6 0 ≤ r < 6
Kita dapat memperoleh bahwa fpb(90, 78) = 6

5. TUJUAN
MATERI
ILUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
POKOK
BAHASAN Lemma : Jika a = qb + r, maka fpb(a, b) = fpb(b, r).
Pembuktian
Misalkan fpb(a, b) = d. Adb fpb(b, r) = d
(a) Karena fpb(a, b) = d, maka d|a dan d| b.
Dari sini kita memperoleh d | a dan d|qb.
Sehingga d|(a – qb) atau d|r
Dengan demikian, d|b dan d|r (1)
(b) Misalkan c|b dan c|r. Dari sini kita memperoleh c|qb.
Sehingga c|(qb + r) atau c|a.
Karena fpb(a, b) = d, maka untuk c|a dan c|b akan diperoleh
c ≤ d.
Jadi, jika c|b dan c|r maka c ≤ d (2)
Dari (1) dan (2) disimpulkan bahwa fpb(b, r) = d = fpb(a, b)

6. TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
POKOK
BAHASAN Kita akan mencari fpb(a, b) dengan tanpa mendaftar faktor-
faktornya.
Langkah 2: Terapkan Algoritma Pembagian pada b dan r1
Langkah 1: Terapkan Algoritma Pembagian pada a dan b
fpb(a, b) = fpb(b, r1) = . . . = fpb(rn-1 , rn ) = fpb(rn , 0) = rn
a = q1 . b + r1 0 ≤ r1 < b
b = q2 .r1 + r2 0 ≤ r2 < r1
Langkah 3: Terapkan Algoritma Pembagian pada r1 dan r2
r1 = q3 .r2 + r3 0 ≤ r3 < r2
Langkah n+1: Terapkan Algoritma Pembagian pada rn dan rn-1
rn-1 = q3 .rn 0 ≤ rn+1 < rn

7. TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
POKOK
BAHASAN Ilustrasi 1 : Carilah bilangan bulat x dan y sehingga
fpb(90, 78) = 90x + 78y
Pembahasan
90 = 1 . 78 + 12
78 = 6 . 12 + 6
12 = 2 . 6
fpb(90, 78) = 6 = 78 – 6 . 12
= 78 – 6. (90 – 1.78)
= 7.78 – 6.90
= 90 (–6) + 78(7)
Jadi, nilai x = -6 dan y = 7

8. TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
POKOK
BAHASAN
Illustrasi 2: Carilah fpb(1769, 2378). Kemudian carilah bilangan
bulat x dan y sehingga
fpb(1769, 2378) = 1769x + 2378y
Pembahasan
2378 = 1 . 1769 + 609 29 = 551 – 9.58
1769 = 2 . 609 + 551 = 551 – 9.(609 – 1.551)
609 = 1 . 551 + 58 = 10.551 – 9.609
551 = 9 . 58 + 29 = 10.(1769 – 2.609) – 9.609
58 = 2 . 29 = 10.1769 – 29.609
Jadi, fpb (1769, 2378) = 29 = 10.1769 – 29.(2378 – 1.1769)
= 1769(39) + 2378(–29)
Jadi nilai x = 39 dan y = –29

9. TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
POKOK
BAHASAN 1. Misalkan a, b bilangan bulat yang keduanya tidak sama dengan nol,
dan k > 0. Tunjukkan bahwa
fpb(ka, kb) = k fpb(a, b)
2. Misalkan a, b bilangan bulat yang keduanya tidak sama dengan nol,
dan k ≠ 0. Tunjukkan bahwa
fpb(ka, kb) = |k| fpb(a, b)
3. Carilah bilangan bulat x dan y sehingga
a. fpb(306, 657) = 306x + 657y
b. fpb(272, 1479) = 272x + 1479y
c. fpb(12378, 3054) = 12378x + 3054y
4. Misalkan fpb(a, b) = 1, buktikan pernyataan berikut ini:
a. fpb(a + b, a – b) = 1 atau 2
b. fpb(2a + b, a + 2b) = 1 atau 3
c. fpb(a + b, ab) = 1

10. TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
POKOK
BAHASAN 5. Misalkan a, b, c bilangan bulat yang dua diantaranya tidak sama
dengan nol. Kita akan memperoleh bahwa
fpb(a, b, c) = fpb(fpb(a, b), c) = fpb(a, fpb(b, c)) = fpb(fpb(a, c), b)
a. Periksa kebenaran pernyataan itu untuk fpb(108, 60, 72)
b. Carilah bilangan bulat x, y, dan z yang memenuhi
fpb(198, 288, 512) = 198x + 288y + 512
Petunjuk: Misalkan d = fpb(198, 288). Carilah bilangan bulat u dan
v sehingga fpb(d, 512) = du + 512v

11. TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
POKOK
BAHASAN
Terima kasih