Modul ini sebagai pendamping belajar dalam memahami konsep integral tak tentu aljabar

1. Page 1 of 9

2. Page 2 of 9
KATA MUTIARA
“kadang keberhasilan itu tidak bisa diraih bukan karena kita yang tidak mampu, tapi karena kita tidak mau
melangkah maju kedepan untuk meraihnya”
abu mumtaaz

3. Page 3 of 9
INFORMASI DAN PETUNJUK PENGGUNAAN
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut:
1. Pelajari materi secara berurutan terlebih dahulu dari berbagai sumber yang ada, karena materi yang mendahului merupakan
prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya
2. Jangan jadikan modul ini sebagai satu-satunya sumber belajar agar mendapatkan variasi penyelesaian soal dan variasi materi.
3. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada.
4. Jika mengalami kesulitan dalam mengerjakan soal latihan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru melalui grup WA atau
SMS
5. Kumpulkan setiap latihan soal setelah selesai dikerjakan melalui link yang disediakan
6. Penilaian ulangan harian akan dilaksanakan ketika selesai seluruh materi dalam satu KD
7. Tidak mengumpulkan tugas sama dengan tidak memiliki nilai untuk KD tersebut.
Pertanyaan dan pengumpulan tugas dapat dikirim via
WA, E_mail dan atau link sekolah
Alamat E_mail: ic_diq@yahoo.com

4. Page 4 of 9
MODUL MATEMATIKA INTEGRAL
KOMPETENSI DASAR
3.33 Menentukan nilai integral tak tentu dan tertentu fungsi aljabar
4.33 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu dan tertentu fungsi aljabar
INDIKATOR
3.33.1 Menentukan hasil integral tak tentu dari fungsi aljabar
3.33.2 Menentukan nilai integral tertentu dari fungsi aljabar
4.33.1 Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan integral tak tentu
4.33.2 Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan integral tertentu
TUJUAN MODUL
Membantu peserta didik untuk mampu :
 Mengamati dan mengidentifikasi fakta tentang nilai integral tak tentu dan tertentu aljabar
 Mengumpulkan dan mengolah informasi untuk membuat kesimpulan, serta menggunakan prosedur untuk menentukan
nilai integral tak tentu dan tertentu fungsi aljabar
 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu dan tertentu aljabar
 Menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu dan tertentu aljabar

5. Page 5 of 9
INTEGRAL
Pernahkah kalian memperhatikan ketika kalian jalan-jalan
ke kota besar? Atau pernahkan kalian melihat bentuk – bentuk
bangunan yang diluar normal?. Jika kalian diminta untuk
menghitung berapa luas penampang bangunan tersebut apakah
kalian bisa?. Itulah kenapa ada konsep integral.
Konsep integral dapat digunakan untuk menghitung luas
area yang sulit dihitung dengan menggunakan cara biasa. Sebagai
contoh untuk menghitung luas sawah dibatasi oleh sungai, jika dihitung menggunakan konsep luas biasa maka
akan mengalami kesulitan dikarenakan sisi yang tidak rata. Untuk bisa menghitung dapat digunakan konsep
integral. Apa itu integral dan bagaimana menyelesaikan masalah menggunakan konsep integral? Untuk lebih
jelasnya, yuk simak baik-baik ulasan di bawah ini:
A. Definisi Integral
Integral adalah kebalikan dari derivatif fungsi (turunan fungsi) sebagai hitung integral adalah
proses menentukan fungsi asal jika diketahui fungsi turunannya. Seluruh fungsi tersebut pada dasarnya
mempunyai konsep yang sama yakni konsep turunan.
Pada pembahasan kali ini kita akan membahas materi inti tentang:
1. Integral aljabar tak-tentu
2. Integral aljabar tentu
3. Aplikasi integral
Jika 𝐹(𝑥) adalah fungsi umum yang bersifat 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) , maka 𝐹(𝑥) , merupakan
antiturunan atau integral dari 𝑓(𝑥).
Pengintegralan fungsi 𝑓(𝑥) terhadap 𝑥 dinotasikan sebagai berikut.
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐
dengan:
∫ = notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman)
𝑓(𝑥) = fungsi integran
𝐹(𝑥) = fungsi integral umum yang bersifat
𝑐 = konstanta
B. Integral Tak Tentu Aljabar
Pada bagian sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa integral merupakan antiturunan. Jadi,
apabila terdapat fungsi 𝐹(𝑥) yang dapat didiferensialkan pada interval (𝑎, 𝑏) sedemikian hingga
𝑑(𝐹(𝑥)
𝑑(𝑥)
= 𝑓( 𝑥),maka antiturunan dari 𝑓(𝑥) adalah 𝐹(𝑥) + 𝑐.
Perhatikan ilustrasi berikut:
fungsi turunan integral
𝑓(𝑥) = 𝑥2
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 ∫ 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2
+ 𝑐
𝑓(𝑥) = 𝑥3
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 ∫ 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑥3
+ 𝑐
𝑓(𝑥) = 𝑥4
𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 ∫ 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 4𝑥3
𝑑𝑥 = 𝑥4
+ 𝑐

6. Page 6 of 9
Secara contoh diatas maka secara umum nilai integral dapat ditentukan dengan rumus:
∫ 𝒂𝒙 𝒏
𝒅𝒙 =
𝒂
𝒏 + 𝟏
𝒙 𝒏+𝟏
+ 𝒄
Untuk lebih memahami kembali perhatikan pembahasan tentang sifat-sifat integral tak tentu fungsi
aljabar berikut:
1. Sifat 1
∫ 𝒌 𝒅𝒙 = 𝒌𝒙 + 𝒄
Perhatikan contoh.1 berikut:
∎ ∫ 2 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑐
∎ ∫ −7 𝑑𝑥 = −7𝑥 + 𝑐
∎ ∫
1
4
𝑑𝑥 =
1
4
𝑥 + 𝑐
∎ ∫ −
2
5
𝑑𝑥 = −
2
5
𝑥 + 𝑐
∎ ∫ √3 𝑑𝑥 = √3𝑥 + 𝑐
∎ ∫ −2√7 𝑑𝑥 = −2√7𝑥 + 𝑐
2. Sifat 2
∫ 𝒌𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒌 ∫ 𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙
Sifat nomor dua dapat diturunkan kembali dalam beberapa bentuk yakni:
𝑎. ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥2
+ 𝑐
𝑏. ∫ 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
2
𝑥2
+ 𝑐
𝑐. ∫ 𝑎𝑥 𝑛
𝑑𝑥 =
𝑎
𝑛 + 1
𝑥 𝑛+1
+ 𝑐 → merupakan rumus dasar integral
Perhatikan contoh.2 berikut, sambil perhatikan angka yg diberi warna merah dan pahami:
∎ ∫ 5𝑥 𝑑𝑥 =
5
2
𝑥2
+ 𝑐
∎ ∫ −7𝑥2
𝑑𝑥 =
−7
2 + 1
𝑥2+1
+ 𝑐 = −
7
3
𝑥3
+ 𝑐,
∎ ∫ 9𝑥8
𝑑𝑥 =
9
8 + 1
𝑥8+1
+ 𝑐 =
9
9
𝑥9
+ 𝑐 = 𝑥9
+ 𝑐
∎ ∫
4
5
𝑥7
𝑑𝑥 =
4
5
∫ 𝑥7
𝑑𝑥 =
4
5
(
1
7 + 1
) 𝑥7+1
+ 𝑐 =
4
5
(
1
8
) 𝑥8
+ 𝑐 =
1
10
𝑥8
+ 𝑐
∎ ∫ 6𝑥
2
3 𝑑𝑥 =
6
2
3
+ 1
𝑥
2
3
+1
+ 𝑐 =
6
5
3
𝑥
5
3 + 𝑐 =
6 ∙ 3
5
𝑥
5
3 + 𝑐 =
18
5
𝑥
5
3 + 𝑐
∎ ∫ √16𝑥43
𝑑𝑥 = ∫ 4 𝑥
4
3 𝑑𝑥 =
4
4
3
+ 1
𝑥
4
3
+1
+ 𝑐 =
4
7
3
𝑥
7
3 + 𝑐 =
4 ∙ 3
7
𝑥
7
3 + 𝑐 =
12
7
𝑥
7
3 + 𝑐

7. Page 7 of 9
3. Sifat 3
𝒂. ∫ 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 + ∫ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙
𝒃. ∫ 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 − ∫ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙
Sifat nomor 3 ini memiliki arti bahwa untuk nilai integral dari berberapa fungsi di integralkan masing-
masing. Perhatikan contoh.3 berikut:
1. ∫ 5𝑥 + 1 𝑑𝑥 = ∫ 5𝑥𝑑𝑥 + ∫ 1𝑑𝑥
∫ 5𝑥 𝑑𝑥 =
5
2
𝑥2
+ 𝑐  lihat sifat 2.b
maka :
∫ 5𝑥 + 1 𝑑𝑥 = ∫ 5𝑥𝑑𝑥 + ∫ 1𝑑𝑥
=
5
2
𝑥2 + 𝑥 + 𝑐
∫ 1𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐
 lihat sifat 1
Jika dikerjakan secara langsung maka akan menjadi:
∫ 5𝑥 + 1 𝑑𝑥
 
5
2
𝑥2 + 𝑥 + 𝑐
2. ∫ −6𝑥2
− 8 𝑑𝑥 = ∫ −6𝑥2
𝑑𝑥 − ∫ 8 𝑑𝑥
Jika dikerjakan secara langsung tanpa dipisah maka akan menjadi:
∫ −6𝑥2
− 8 𝑑𝑥 =
−6
2 + 1
𝑥2+1
− 8𝑥 + 𝑐
=
−6
3
𝑥3
− 8𝑥 + 𝑐
= −2𝑥3
− 8𝑥 + 𝑐
 lihat sifat 2.c dan sifat 1
3. ∫ 12𝑥3
− 7𝑥2
+ 4𝑥 − 9 𝑑𝑥 = ⋯ . ?
Dengan menggunakan cara yang sama akan diperoleh:
∫ 12𝑥3
− 7𝑥2
+ 4𝑥 − 9 𝑑𝑥 =
12
3 + 1
𝑥3+1
−
7
2 + 1
𝑥2+1
−
4
2
𝑥2
− 9𝑥 + 𝑐
=
12
4
𝑥4
−
7
3
𝑥3
−
4
2
𝑥2
− 9𝑥 + 𝑐
= 3𝑥4
−
7
3
𝑥3
− 2𝑥2
− 9𝑥 + 𝑐
Konstanta C dapat ditentukan nilainya asalkan nilai variable x dan F(x) dari ∫ 𝐹′(𝑥)𝑑𝑥 diketahui.
Nilai C diperoleh dengan cara mensubstitusikan kedalam hasil pengintegralan. Perhatikan contoh.4
berikut:
∫ 5𝑥 + 1 𝑑𝑥 =
5
2
𝑥2 + 𝑥 + 𝑐
Hasilnya sama, maka dapat
disimpulkan bahwa:
Lihat sifat 2b dan sifat 1

8. Page 8 of 9
1. Diketahui turunan fungsi pertama F(x) adalah 𝐹′( 𝑥) = 6𝑥2
− 8𝑥 dan 𝐹(−1) = 5. Tentukan nilai
konstanta (c) hasil pengintegralannya!
Jawab:
𝐹(𝑥) = ∫ 𝐹′(𝑥) 𝑑𝑥
= ∫(6𝑥2
− 8𝑥)𝑑𝑥
= 2𝑥3
− 4𝑥2
+ 𝐶
𝐹(−1) = 5
2(−1)3
− 4(−1)2
+ 𝐶 = 5
2(−1) − 4(1) + 𝐶 = 5
−2 − 4 + 𝐶 = 5
−6 + 𝐶 = 5
𝐶 = 5 + 6
𝐶 = 11
Jadi nilai konstanta (C) adalah 11
2. Diketahui turunan fungsi pertama 𝐹(𝑥) adalah 𝐹′( 𝑥) = 36𝑥2
− 12𝑥 dan 𝐹(2) = 70. Tentukan
nilai fungsi 𝐹(𝑥)!
Jawab:
𝐹(𝑥) = ∫ 𝐹′(𝑥) 𝑑𝑥
= ∫(36𝑥2
− 12𝑥)𝑑𝑥
= 12𝑥3
− 6𝑥2
+ 𝐶
𝐹(2) = 70
12(2)3
− 6(2)2
+ 𝐶 = 70
12(8) − 6(4) + 𝐶 = 70
96 − 24 + 𝐶 = 70
72 + 𝐶 = 70
𝐶 = 70 − 72
𝐶 = −2
Dengan mensubstitusikan nilai 𝐶 = −2 kedalam fungsi 𝐹(𝑥), Maka fungsi 𝐹(𝑥) nya menjadi:
𝐹(𝑥) = 12𝑥3
− 6𝑥2
− 2.
Sifat - sifat integral aljabar tak tentu selanjutnya akan dibahas pada modul berikutnya. Jangan lupa
untuk selalu meningkatkan literasi kalian dengan mencoba mencari variasi soal dari modul-modul yang lain.
LATIHAN 1
Tentukan hasil integral berikut
1 ∫ 3𝑥6
− 2𝑥4
+ 7 𝑑𝑥
2 ∫ 3𝑥−3
− 2𝑥−2
− 17 𝑑𝑥
3 ∫ √81𝑥8 +
1
3
𝑥3
− 21𝑥
3
4 𝑑𝑥
4 ∫
3
4
𝑥5
−
5
3
𝑥3
− 12𝑥2
+ 19 𝑑𝑥
5 Diketahui turunan fungsi 𝐹(𝑥) adalah 𝐹′(𝑥) = 4𝑥3
− 2𝑥 + 3 dan 𝐹(−1) = 15.
Tentukan nilai konstanta (C) hasil integralnya.
SELAMAT MENGERJAKAN

9. Page 9 of 9
DAFTAR PUSTAKA
1. Kasmina, Dkk. 2019. “MATEMATIKA untuk SMK dan MAK Kelas XII”. Jakarta: Erlangga
2. Kasmina, Dkk. 2008.”Matematika TekInd SMK-MAK kelas XII”. Jakarta: Erlangga
3. Modul Matematika Kelas 12
4. Sumber lain yang relevan:
- mumtaaz1807.blogspot.com
- www.rumusbilangan.com
- www.mejakita.com
- http://www.konsep-matematika.com
- https://maths.id/
- https://www.wardayacollege.com/matematika/
- https://www.zenius.net
- http://tutorial.math.lamar.edu/problems/calci/indefiniteintegrals,aspx