2. PENDAHULUAN
• Diferensial mempelajari pengaruh peruabahan suatu
variable terhadap variable yang lain.
• Penerapan konsep diferensial dalam bidang ekonomi
dan bisnis biasanya untuk membandingkan
perubahan dari suatu keseimbangan lama ke
keseimbangan yang baru.
3. • Jika y = f(x) dan terdapat tambahan variable x sebesa Δx,
bentuk persamaannya dapat ditulis menjadi
• Y = f(x)
• y + Δy = f(x + Δx)
• Δy = f(x + Δx) – y
• Δy = f(x + Δx) – f(x)
• Δx adalah tambahan x dan Δy adalah tambahan y sebagai
akibat adanya tambahan x. jada Δy adalah karena adanya Δx.
• Jika ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan diatas dibagi
dengan Δx, diperoleh
4. •
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓 𝑥+ ∆𝑥 −𝑓(𝑥)
∆𝑥
bentuk
∆𝑦
∆𝑥
inilah yang disebut dengan
hasil bagi perbedaan atau kuosien diferensiasi (difference
quotient)
• Kuosien diferensiasi memperlihatkan tingkat perubahan
rata-rata variable teikat y terhadap variable bebas x.
• Proses penurunan sebuah fungsi, disebut juga
pendiferensiasian atau diferensiasi, pada dasarnya
merupakan penentuan limit suatu kuosien diferensiasi
dalam hal pertambahan variable bebasnya sangat kecil
atau mendekati nol.
5. • Hasil yang diperoleh dari proses diferensiasi tersebut
dinamakan turunan atau derivative (derivative),
• Dengan demikian jika y = f(x) maka koesion
diferensiasinya adalah :
•
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓 𝑥+ ∆𝑥 −𝑓(𝑥)
∆𝑥
dan turunan fungsinya adalah
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥+ ∆𝑥 −𝑓(𝑥)
∆𝑥
6. KAIDAH DIFERENSIAL
Derivatif pertama dari suatu fungsi y = f(x) adalah limit bagi
perbedaan diman Δx 0. Oleh karena itu, nilai dari
derivative suatu fungsi dapat ditentukan dengan dua cara,
antar lain :
1. Menentukan hasil bagi perbedaan dari fungsi tersebut,
seperti pada metode laju perubahan fungsi.
2. Mencari nilai limit dari hasil bagi perbedaan tersebut
ketika delta x (jarak perubahan dari x mendekati nol
(Δx 0)
•
7. 1.Diferensiasis Konstanta : y = k
• Untuk suatu fungsi konstanta y = k, k konstanta
turunan pertama dari fungsi tersebut adalah nol (0),
seperti telah diungkapkan sebelumnya pada metode
laju perubahan fungsi :
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
8. Comtoh
a. y = 7 maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
b. y = log 10 maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
c. y = ln e, maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
d. y =
1
x4 , maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −4𝑥−5 = -
4
𝑥5
e. y = √𝑥= 𝑥1/2, 𝑚𝑎𝑘𝑎
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
𝑥−1/2=
1
2√𝑥
9. 2.Diferensiasis Fungsi Pangkat f(x) = 𝑥 𝑛
• Untuk suatu fungsi pangkat y = 𝑥 𝑛
secara
umum derivative (turunan pertama) dari
fungsi dinyatakan sebagai :
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= n.𝑥 𝑛−1
10. Contoh
a. Y = 𝑥10
amaka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 10𝑥9
b. Y = 𝑥8
amaka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 8𝑥7
c. 𝑥21
amaka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 21𝑥20
11. 3.Diferensiasis Perkalian konstanta dengan
fungsi y= k. f(x)
• Untuk suatu fungsi y = k.u diamana u
adalah fungsi dari x dan k konstanta,
secara umum derivative (turunan
pertama) dari fungsi dinyatakan sebagai :
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= k.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
12. Contoh
a. Y = a𝑥 𝑛
maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= a(n)𝑥 𝑛−1
= an𝑥 𝑛−1
b. Y = 3𝑥9
maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3(9)𝑥9−1
= 27𝑥8
c. Y = 10𝑥−3
maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 10(−3)𝑥−3−1
= -
30𝑥−4
d. Y = 2𝑥8 = maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥
8
2 = 8𝑥3
Type equation here.
13. 4.Diferensiasis Pembagian konstanta dengan
fungsi y=
𝑘
𝑓(𝑥)
• Jika y =
𝑘
𝑣
dimana v=f(x) maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= -
𝑘.𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑣2
• Contoh :
a. Y =
4
𝑥3 maka,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= -
4(3𝑥2)
( 𝑥3)2 = -
12𝑥2
𝑥6
b. Y =
5
𝑥4 maka,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= -
5(4𝑥3)
( 𝑥4)2 = -
20𝑥3
𝑥8
14. 5.Diferensiasis Penjumlahan (pengurangan)
fungsi y= 𝑢 ± 𝑣
• Turunan pertaman suatau penjumlahan,
y = 𝑢 ± 𝑣, dimana u = f(x) dan v = g(x),
dinyatakan sebagai :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
±
𝑑𝑣
𝑑𝑥
atau
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= u’ ± v’
15. Contoh
a. Y = 5x + 7 maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= u’+v’ = 5 + 0
b. Y = 4𝑥2
+10x + 3 maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= u’+v’= 8x +10 +0
c. Y = 5𝑥2
-7𝑥−3
maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 10x + 21𝑥−4
d. Y = 5𝑥 + 6 + (5𝑥3
+ 4x), maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= u’+v’
= (5) + (15𝑥2
+ 4)
16. 6.Diferensiasis Perkalian fungsi y= 𝑢. 𝑣
• Turunan pertaman suatau perkalian
fungsi y = 𝑢 . 𝑣, dimana u = f(x) dan v =
g(x), dinyatakan sebagai :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
.(v) +(u).
𝑑𝑣
𝑑𝑥
atau
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= u’.v + u. v’
20. 7.Diferensiasis Perkalian fungsi y=
𝑢
𝑣
• Turunan pertaman suatau perkalian fungsi y
=
𝑢
𝑣
dimana u = f(x) dan v = g(x), dinyatakan
sebagai :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑣 −𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑣2 atau dapat pula ditulis
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
𝑢′.𝑣−𝑢.𝑣′
𝑣2
24. Contoh
a. Y = a𝑥 𝑛
maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= a(n)𝑥 𝑛−1
= an𝑥 𝑛−1
b. Y = 3𝑥9
maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3(9)𝑥9−1
= 27𝑥8
c. Y = 10𝑥−3
maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 10(−3)𝑥−3−1
= -
30𝑥−4
d. Y = 2𝑥8 = maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥
8
2 = 8𝑥3
Type equation here.
25. 9.Diferensiasis Fungsi Komposit
• Jika y = f(u), sedangkan u=g(x), dengan kata lain
y=f{g(x)} maka,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Contoh :
a. F(x) = (5𝑥2
+ 5)
Misalkan, u = 5𝑥2
+ 5 diperoleh
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 6x
Misalkan pula, y=𝑢2, sehingga
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 2u
31. 10.Diferensiasis Fungsi berpangkat
• Jika y = 𝑢 𝑛 , dimana u=g(x), dan n adalah konstanta
maka,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑛𝑢 𝑛−1
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
• Kaidah ini mirip dengan kaidaha sebelumnya dan
merupakan kasus khusus dari kaidah fungsi
komposit. Untuk kaidah ini, terdapat pula sebuah
kasus khusus, yaitu jika u=f(x), sehingga y = 𝑢 𝑛= 𝑥 𝑛,
maka,
dy
dx
= 𝑛𝑢 𝑛−1
