Dokumen tersebut membahas tentang bukti matematis bahwa perkalian dua bilangan negatif akan menghasilkan bilangan positif. Bukti tersebut dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat dasar operasi bilangan seperti distributivitas, komutativitas, dan kebalikan bilangan. Contoh-contoh sederhana juga diberikan untuk membuktikan setiap kasus perkalian dua bilangan.

2. MENGAPA NEGATIF KALI
NEGATIF ADALAH POSITIF ?

3. Menurut sisi kebenaran dalan kehidupan dapat
didefinisikan bahwa :
+ × + = + (Benar dibenarkan maka benar)
− × + = − (Salah dibenarkan maka salah)
+ × − = − (Benar disalahkan maka salah)
− × − = + (Salah disalahkan maka benar)

4. Menurut definisi perkalian dua bilangan dikatakan bahwa jika :
𝑎 × 𝑏 = 𝑏 + 𝑏 + 𝑏 + ⋯ + 𝑏
𝑎
Maka :
• + × + = +
3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6
• − × + = −
−3 × 2 = 2 × −3 = −3 + −3 = −6
• + × − = −
2 × −3 = −3 + −3 = −6
• − × − = +
Do you know…?

5. + × + = +
• 2 × 6 = 12
• 2 × 5 = 10
• 2 × 4 = 8
• 2 × 3 = 6
• 2 × 2 = ⋯ ?
12, 10, 8, 6, …
𝐵𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖
𝑝𝑜𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑛𝑗𝑢𝑡𝑛𝑦𝑎 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖𝑙𝑎ℎ
𝑏𝑒𝑟𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 4 (𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓)
+× − = −
• 2 × 6 = 12
• 2 × 5 =10
• 2 × 4 = 8
• 2 × 3 = 6
• 2 × 2 = 4
• 2 × 0 = 0
• 2 × −1 = ⋯?
12, 10, 8, 6, 4, 2, 0, …
𝐵𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖
𝑝𝑜𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑛𝑗𝑢𝑡𝑛𝑦𝑎 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖𝑙𝑎ℎ
𝑏𝑒𝑟𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 − 2 (𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓)

6. −× + = −
• 3 × 3 = 9
• 2 × 3 = 6
• 1 × 3 = 3
• 0 × 3 = 0
• −1 × 3 = ⋯?
9, 6, 3, 0, …
𝐵𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖
𝑝𝑜𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑛𝑗𝑢𝑡𝑛𝑦𝑎 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖𝑙𝑎ℎ
𝑏𝑒𝑟𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 − 3 (𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓)
−× − = +
• 3 × −3 = −9
• 2 × −3 = −6
• 1 × −3 = −3
• 0 × (−3) = 0
• −1 × (−3) = ⋯
−9, −6, −3, 0, …
𝐵𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖
𝑝𝑜𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑛𝑗𝑢𝑡𝑛𝑦𝑎 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑖𝑙𝑎ℎ
𝑏𝑒𝑟𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 3 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓

7. + × + = +
Contoh :
3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6
Jika diperhatikan jaraknya ke angka nol maka angka 2
setelah dikalikan dengan 3 maka akan menjauh dari 0
senbanyak 3 kali, satu langkah nya bernilai 2.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

8. −× + = −
Contoh :
−2 × 3 = 3 × −2 = 𝑏𝑒𝑟𝑙𝑎𝑘𝑢 𝑘𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑓
(−𝑎) × 𝑏 berarti 𝑏 menjauh sebanyak 𝑎 kali lipat
dengan arah berlawanan dengan arah 𝑏. Karena 3
berada di sebelah kanan, maka -2 bergeser ke sebelah
kiri sebanyak 3 langkah satu langkahnya bernilai -2.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

9. + × − = −
• Contoh :
3 × −2 = (−2) + (−2) + (−2) = −6
Bilangan -2 setelah dikali dengan 3 akan menjauhi dari
0 sebanyak 3 kali, sehingga diperoleh -6 karena -2
berada di sebelah kiri 0, maka menjauhi 3 kali, artinya
semakin ke kiri sejauh 3 langkah.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

10. −× − = +
• Contoh :
(−3) × −2 = 6
Karena -2 mengarah ke kiri, berdasarkan kesimpulan di
atas maka hasilnya harus mengarah ke kanan, artinya
positif. Jadi :
(−3) × −2 = 6
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

11. Ada beberapa ketentuan matematika yang dapat
membuktikan perkalian dua bilangan. Ketentuan
tersebut adalah sebagai berikut :
• Bilangan apapun dan berapapun, jika dikalikan
dengan 0, hasilnya adalah 0.
Contoh : 5 × 0 = 0
• Bilangan apapun dan berapapun, jika dijumlahkan
dengan invers nya, maka hasilnya adalah 0.
Contoh : 5 + −5 = 0, -5 adalah lawan dari 5.
• Berlaku sifat distributuf pada perkalian terhadap
penjumlahan termasuk di dalamnya perkalian
bilangan negative.

12. Untuk membuktikan ketentuan di atas, akan dijelaskan sebagai berikut :
• + × + = +
Untuk bilangan positif dikali bilangan positif sudah jelas menghasilkan bilangan positif maka tidak perlu dibuktikan.
• +× − = −
Untuk membuktikan ketentuan diatas, maka diambil contoh sebagai berikut :
12−1
= −12
⇔ 12 + −12 = 0
• 𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛:
• 12 = 3 × 4, 𝑚𝑎𝑘𝑎:
• 3 × (4 + (−4) = 0
• 3 × 0 = 0, 𝑗𝑖𝑘𝑎 0 = (4 + −4 )
• ⇔ 3 × (4 + (−4) = 0
• ⇔ 3 × 4 + 3 × −4 = 0
• ⇔ 12 + 𝑝 = 0
• 𝑝 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ − 12 (𝑏𝑒𝑟𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓)
• "3 × −4 " adalah invers dari penjumlahan "3 × 4". Invers penjumlahan 12 adalah -12, maka pastilah bilangan positif
dikali negatif menghasilkan bilangan negatif.

13. • −× + = −
Untuk penjelasan bilangan positif dikali bilangan negatif berlaku komutatif dengan bilangan negative
dikali bilangan positif, maka hasilnya pun sudah pasti bilangan negative.
• −× − = +
Untuk membuktikan ketentuan diatas dapat diambil contoh sebagai berikut :
12−1
= −12
⇔ −12 + 12 = 0
• 𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛:
• −12 = −3 × 4, 𝑚𝑎𝑘𝑎:
• −3 × 0 = 0, 𝑗𝑖𝑘𝑎 0 = (4 + (−4))
• ⇔ −3 × (4 + (−4) = 0
• ⇔ −3 × 4 + (−3) × −4 = 0
• ⇔ −12 + 𝑝 = 0
• 𝑝 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 12 (𝑏𝑒𝑟𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓)
• " (−3) × −4 " adalah invers dari " − 3 × 4". Kita tahu " − 3 × 4 = −12", pastilah " −3 ×
−7 " bernilai positif, maka terbukti bilangan negatif dikali bilangan negatif bernilai positif.

14. KESIMPULAN
Dilihat dari beberapa definisi diatas, tentu sudah dapat dijelaskan
bahwa negatif dikali negatif bernilai positif. Filosofi kehidupan dapat
membuktikan, tetapi tidak dijabarkan dalam matematika. Maka
untuk meyakinkan kembali keempat definisi diatas dijabarkan agar
dapat dibuktikan secara matematis. Matematika merupakan ilmu
pasti, namun kepastian itu tidak selalu dijelaskan dengan satu hal.