Modul ini memberikan informasi dan petunjuk penggunaan modul matematika kelas 11. Terdapat tiga KD yang dibahas yaitu logika matematika, geometri tiga dimensi, dan transformasi geometri. Pada bagian transformasi geometri dijelaskan pengertian translasi, refleksi, dan contoh soalnya.

1. Modul Matemaika Kelas 11 | 1

2. Modul Matemaika Kelas 11 | 2
INFORMASI DAN PETUNJUK PENGGUNAAN
1. Pelajari materi terlebih dahulu dari berbagai sumber yang ada
2. Jangan jadikan modul ini sebagai satu-satunya sumber belajar agar mendapatkan variasi penyelesaian soal
3. Kerjakan setiap latihan soal yang ada di setiap KD
4. Kumpulkan setiap latihan soal setelah selesai dikerjakan
5. Di akhir modul terdapat soal evaluasi sebagai pengganti nilai ulangan harian
6. Tidak mengumpulkan tugas sama dengan tidak memiliki nilai untuk KD tersebut.
Pertanyaan dan pengumpulan tugas dapat dikirim via
WA, E_mail dan atau link sekolah
Alamat E_mail: ic_diq@yahoo.com

3. Modul Matemaika Kelas 11 | 3
KOMPETENSI DASAR
3.22 Menentukan masalah kontekstual yang berkaitan dengan logika matematika (pernyataan sederhana, negasi
pernyataan sederhana, pernyataan majemuk , negasi pernyataan majemuk dan penarikan kesimpulan).
3.23 Menganalisis titik, garis dan bidang pada geometri dimensi tiga
3.24 Menentukan masalah kontekstual yang berkaitan dengan transformasi geometri

4. Modul Matemaika Kelas 11 | 4
KD.3.24
TRANSFORMASI GEOMETRI
A. PENGERTIAN
- Transformasi geometri merupakan perubahan suatu bidang geometri yang meliputi posisi, besar dan bentuknya
sendiri.
- Transformasi Isometri merupakan salah satu jenis trnasformati geometri dengan hasil transformasinya kongruen
dengan bangun yang ditransformasikan.
Bentuk-bentuk transformasi geometri yang akan kita bahas pada pembahasan kali ini meliputi:
1. Translasi (Pergeseran)
2. Refleksi (Pencerminan)
3. Rotasi (Perputaran)
4. Dilatasi (Perbesaran)
Untuk memperjelas pengertian masing-masing, berikut pembahasan satu-persatu dari bentuk transformasi geometri
B. BENTUK TRANSFORMASI GEOMETRI
1. TRANSLASI (GESERAN)
Translasi merupakan bentuk pergeseran seluruh objek geometri sejauh dan dengan arah yang sama.
Jika diketahui objek geometri ditranslasikan dengan 𝑻 = (
𝒂
𝒃
), maka bayangan dari objek tersebut diberlakukan
aturan sebagai berikut:
Jenis
Translasi
Posisi Awal Bayangan Ilustrasi
Titik 𝐴(𝑥, 𝑦) 𝐴’(𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏)
Garis 𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑐 𝑚(𝑥′ − 𝑎) + 𝑛(𝑦′ − 𝑏) = 𝑐
Jika diperhatikan panjang garis tidak berubah,
yang berubah hanya posisi bias dilihat segitiga
yang terbentuk saling kongruen.
Kurva 𝑦 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑦′
− 𝑏 = 𝑎(𝑥 − 𝑎)2
+ 𝑏(𝑥 − 𝑏) + 𝑐
Y
X
A(x,y)
𝑻 = (
𝒂
𝒃
)
𝐴’(𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏)
x
y
x+a
y+b
a
b
Y
X
𝑚(𝑥 + 𝑎) + 𝑛(𝑦 + 𝑏) = 𝑐
𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑐

5. Modul Matemaika Kelas 11 | 5
Contoh 1:
Tentukan bayangan titik 𝐴(−1,4) dan titik 𝐵(5, −1) oleh translasi 𝑻 = (
𝟑
−𝟐
)
Penyelesaian:
𝐴(−1,4)
𝑻=(
𝟑
−𝟐
)
→ 𝐴′(−1 + 3,4 + (−2))𝐴′(2,2)
𝐵(5, −1)
𝑻=(
𝟑
−𝟐
)
→ 𝐵′(5 + 3, −1 + (−2))𝐵′(8, −3)
Contoh 2:
Tentukan bayangan garis 3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 oleh translasi 𝑻 = (
−𝟐
𝟏
)
Penyelesaian:
3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0
𝑻=(
−𝟐
𝟏
)
→ 3(𝑥′
− (−2)) − 2(𝑦′
− 1) − 5 = 0
3(𝑥′
+ 2) − 2(𝑦′
− 1) − 5 = 0
3𝑥′
+ 6 − 2𝑦′
+ 2 − 5 = 0
3𝑥′
− 2𝑦′
+ 3 = 0
Jadi bayangan garis 3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 adalah 3𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0
Contoh 3:
Tentukan bayangan garis 𝑦 = 2𝑥2
− 𝑥 + 4 oleh translasi 𝑻 = (
𝟐
−𝟐
)
Penyelesaian:
𝑦 = 2𝑥2
− 𝑥 + 4
𝑻=(
𝟐
−𝟐
)
→ 𝑦′
− (−2) = 2(𝑥′
− 2)2
− (𝑥′ − 2) + 4
𝑦′
+ 2 = 2((𝑥′)2
− 4𝑥′
+ 4) − 𝑥′
+ 2 + 4
𝑦′
+ 2 = 2(𝑥′)2
− 8𝑥′
+ 8 − 𝑥′
+ 6
𝑦′
+ 2 = 2(𝑥′)2
− 9𝑥′
+ 14
𝑦′
= 2(𝑥′)2
− 9𝑥′
+ 14 − 2
𝑦′
= 2(𝑥′)2
− 9𝑥′
+ 12
Jadi bayangan garis 𝑦 = 2𝑥2
− 𝑥 + 4 adalah 𝑦 = 2𝑥2
− 9𝑥 + 12
LATIHAN 1
a. Tentukan bayangan titik 𝑃(0,7) dan titik 𝑄(−9,11) oleh translasi 𝑻 = (
−𝟕
𝟎
)
b. Tentukan bayangan garis 𝑥 + 3𝑦 = 7 oleh translasi 𝑻 = (
𝟏
−𝟑
)
c. Tentukan bayangan garis 𝑦 = −3𝑥2
+ 2𝑥 − 2 oleh translasi 𝑻 = (
𝟏
𝟐
)
2. REFLEKSI (PENCERMINAN)
Refleksi atau pencerminan adalah suatu transformasi yang memindahkan/menggeser setiap titik pada objek
geometri dengan menggunakan sifat bayangan cermin. Adapun sifat bayangan cermin adalah sebagai berikut:
- Jarak setiap titik dengan cermin sama dengan jarak bayangan titik dengan cermin
- Objek geometri yang dicerminkan berhadapan dengan hasil bayangannya

6. Modul Matemaika Kelas 11 | 6
Ilustrasi konsep pencerminan
Berikut jenis-jenis refleksi:
Jenis
Refleksi
Posisi Awal Bayangan Matrik yang sesuai Ilustrasi
terhadap
sumbu 𝑥
atau
𝑦 = 0
𝐴(𝑥, 𝑦) 𝐴’(𝑥, −𝑦) (
𝑥′
𝑦′
) = (
1 0
0 −1
) (
𝑥
𝑦)
terhadap
sumbu 𝒚
atau
𝒙 = 𝟎
𝐴(𝑥, 𝑦) 𝐴′(−𝑥, 𝑦) (
𝑥′
𝑦′
) = (
−1 0
0 1
) (
𝑥
𝑦)
terhadap
garis
𝒙 = 𝒉
𝐴(𝑥, 𝑦) 𝐴′(2ℎ − 𝑥, 𝑦) (
𝑥′
𝑦′
) = (
−1 0
0 1
) (
𝑥
𝑦) + (
2ℎ
0
)
Y
X
𝐴(𝑥, 𝑦) 𝐴′(2ℎ − 𝑥, 𝑦)
𝑥 = ℎ
ℎ
A A’
cermin
Y
X
𝐴(𝑥, 𝑦)
𝐴′(𝑥,−𝑦)
Y
X
𝐴(𝑥, 𝑦)
𝐴′(−𝑥, 𝑦)

7. Modul Matemaika Kelas 11 | 7
Jenis
Refleksi
Posisi Awal Bayangan Matrik yang sesuai Ilustrasi
terhadap
garis
𝒚 = 𝒌
𝐴(𝑥, 𝑦) 𝐴′(𝑥, 2𝑘 − 𝑦) (
𝑥′
𝑦′
) = (
1 0
0 −1
) (
𝑥
𝑦) + (
0
2𝑘
)
x
𝐴(𝑥, 𝑦)
𝐴′(𝑥, 2𝑘 − 𝑦)
𝑦 = 𝑘𝑘
terhadap
garis
𝒚 = 𝒙
atau
𝒙 = 𝒚
𝐴(𝑥, 𝑦) 𝐴′(𝑦, 𝑥) (
𝑥′
𝑦′
) = (
0 1
1 0
) (
𝑥
𝑦)
x
y
𝐴(𝑥, 𝑦)
𝐴′(𝑦, 𝑥)
𝑦 = −𝑥
terhadap
garis
𝒚 = −𝒙
atau
𝒙 = −𝒚
𝐴(𝑥, 𝑦) 𝐴′(−𝑦, −𝑥) (
𝑥′
𝑦′
) = (
0 −1
−1 0
) (
𝑥
𝑦)
terhadap
titik
pangkal
𝑶(𝟎, 𝟎)
𝐴(𝑥, 𝑦) 𝐴′(−𝑥, −𝑦) (
𝑥′
𝑦′
) = (
−1 0
0 −1
) (
𝑥
𝑦)
terhadap
titik
pangkal
𝑷(𝒂, 𝒃)
𝐴(𝑥, 𝑦) 𝐴′(2𝑎 − 𝑥, 2𝑏 − 𝑦) (
𝑥′
𝑦′
) = (
−1 0
0 −1
) (
𝑥
𝑦) + (
2𝑎
2𝑏
)
x
y
𝐴(𝑥, 𝑦)
𝐴′(2𝑎 − 𝑥, 2𝑏 − 𝑦)
𝑃(𝑎, 𝑏)
x
y
𝐴(𝑥, 𝑦)
𝐴′
(−𝑦,−𝑥)
𝑦 = 𝑥
x
y
𝐴(𝑥, 𝑦)
𝐴′(−𝑥, −𝑦)
𝑂(0,0)

8. Modul Matemaika Kelas 11 | 8
Contoh.1.
Tentukan bayangan titik 𝑃(−4, −1) setelah direfleksikan terhadap sumbu 𝑥!
Penyelesaian
Dengan menggunakan aturan refleksi terhadap sumbu x diperoleh:
𝑃(−4, −1)
𝒔𝒃.𝒙
→ 𝑃′(𝑥, −𝑦)𝑃′(−4, −(−1))𝑃′(−4,1)
Contoh.2.
Tentukan bayangan titik 𝑃(5, −7) setelah direfleksikan terhadap sumbu 𝑦!
Penyelesaian
Dengan menggunakan aturan refleksi terhadap sumbu x diperoleh:
𝑃(5, −7)
𝒔𝒃.𝒚
→ 𝑃′(−𝑥, 𝑦)𝑃′(−5, −7)
Contoh.3.
Tentukan bayangan garis 𝑦 = 5𝑥 + 3 setelah direfleksikan terhadap sumbu 𝑥!
Penyelesaian
Coba perhatikan aturan refleksi terhadap sumbu 𝑥
𝑃(𝑥, 𝑦)
𝒔𝒃.𝒙
→ 𝑃′(𝑥, −𝑦)
Jika diperhatikan setelah direfleksikan terhadap sumbu 𝑥 kita peroleh nilai 𝑥 = 𝑥’ dan 𝑦 = −𝑦’, sehingga bayangan
garis 𝑦 = 5𝑥 + 3 dapat dicari dengan cara mensubstitusikan nilai 𝑥 dan 𝑦 tersebut.
𝑦 = 5𝑥 + 3
𝒔𝒃.𝒙
→ −𝑦′
= 5𝑥′
+ 3
𝑦′
= −5𝑥′
− 3
Jadi bayangan garisnya adalah 𝑦 = −5𝑥 − 3
Contoh.4.
Tentukan bayangan titik 𝑃(2, −3) setelah direfleksikan terhadap garis 𝑥 = −2!
Penyelesaian
Dengan menggunakan aturan refleksi terhadap garis 𝑥 = −2 diperoleh:
𝑃(2, −3)
𝒙=−𝟐
→ 𝑃′(2ℎ − 𝑥, 𝑦)𝑃′(2(−2) − 2, −3)𝑃′(−6, −3)
Contoh.5.
Tentukan bayangan titik 𝑃(−5, −1) setelah direfleksikan terhadap garis 𝑦 = 3!
Penyelesaian
Dengan menggunakan aturan refleksi terhadap garis 𝑥 = −2 diperoleh:
𝑃(−5, −1)
𝒚=𝟑
→ 𝑃′(𝑥, 2𝑘 − 𝑦)𝑃′(−5,2(3) − (−1))𝑃′(−5,7)
Contoh.6.
Tentukan bayangan titik 𝐴(−5, −1) setelah direfleksikan terhadap titik pusat 𝑂(0,0) dan titik 𝑃(3,1) !
Penyelesaian
Dengan menggunakan aturan refleksi terhadap titik pusat 𝑂(0,0) diperoleh:
𝐴(−5,1)
𝑶(𝟎,𝟎)
→ 𝐴′(−𝑥, −𝑦)𝐴′(−(−5), −1)𝐴′(5, −1)
Dengan menggunakan aturan refleksi terhadap titik pusat 𝑃(𝑎, 𝑏) diperoleh:
𝐴(−5,1)
𝑷(𝒂,𝒃)
→ 𝐴′(2𝑎 − 𝑥, 2𝑏 − 𝑦)𝐴′(2(3) − (−5),2(1) − 1)𝐴′(6 + 5,2 − 1)𝐴′(11,1)

9. Modul Matemaika Kelas 11 | 9
LATIHAN 2
a. Tentukan bayangan Segitiga ABC dengan titik 𝐴(1,3), 𝐵(3,4) dan 𝐶(8,2) yang direfleksikan
terhadap garis 𝑥 = −2
b. Tentukan bayangan titik 𝑀(8,4) yang direfleksikan terhadap titik 𝑃(2,2)!
c. Gambarkan pada bidang kartesius kedua refleksi diatas!
3. ROTASI (PUTARAN)
Rotasi (putaran) adalah perpindahan seluruh objek geometri dengan pusat tertentu, sudut dan arah tertentu. Ada
dua jenis rotasi jika dibedakan berdasarkan arahnya yakni rotasi serah jarum jam dan berlawanan arah jarum jam.
a. Rotasi titik P(x,y) terhadap pusat 𝑶(𝟎, 𝟎), sebesar 𝜽 dan berlawanan arah jarum jam
Perhatikan gambar disamping. Titik 𝑃(𝑥, 𝑦)
dirotasikan terhadap pusat 𝑂(0,0) sebesar 𝜃
berlawanan arah putaran jarum jam, maka bayangan
titiknya adalah sebagai berikut:
𝑥′
= 𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 sin 𝜃
𝑦′
= 𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃
Atau jika dituliskan dalam titik koordinat
bayangan P adalah sebagai berikut:
𝑃′(𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 sin 𝜃 , 𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃)
Sedangkan matriks yang bersesuaian dengan rotasi
terhadap pusat 𝑂(0,0) sebesar 𝜃 berlawanan arah
putaran jarum jam adalah
(
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
)
Dinotasikan
𝑃(𝑥, 𝑦)
𝑂(0,0)
→ 𝑃′(𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 sin 𝜃 , 𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃)
Untuk beberapa sudut dapat langsung ditentukan, sebagaimana pada table berikut:
PUSAT
ARAH TERHADAP
JARUM JAM
BESAR SUDUT TITIK AWAL BAYANGAN
𝑂(0,0)
Searah −900
𝐴(𝑥, 𝑦) 𝐴′(𝑦, −𝑥)
berlawanan 900
𝐴(𝑥, 𝑦) 𝐴′(−𝑦, 𝑥)
Searah −1800
𝐴(𝑥, 𝑦) 𝐴′(−𝑥, −𝑦)
berlawanan 1800
𝐴(𝑥, 𝑦) 𝐴′(−𝑥, −𝑦)
b. Rotasi titik P(x,y) terhadap pusat 𝑷(𝒂, 𝒃), sebesar 𝜽 dan berlawanan arah jarum jam
Titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dirotasikan terhadap pusat 𝑃(𝑎, 𝑏) sebesar 𝜃 berlawanan arah putaran jarum jam, maka
bayangan titiknya adalah sebagai berikut:
𝑥′
= (𝑥 − 𝑎) cos 𝜃 − (𝑦 − 𝑏) sin 𝜃
𝑦′
= (𝑥 − 𝑎) sin 𝜃 + (𝑦 − 𝑏) cos 𝜃
Atau jika dituliskan dalam titik koordinat bayangan A adalah sebagai berikut:
𝐴′
((𝑥 − 𝑎) cos 𝜃 − (𝑦 − 𝑏) sin 𝜃 , (𝑥 − 𝑎) sin 𝜃 + (𝑦 − 𝑏) cos 𝜃)
Y
X
𝑃(𝑥, 𝑦)
𝑃′(𝑥′
, 𝑦′
)
O
r
r
𝜃
𝛼

10. Modul Matemaika Kelas 11 | 10
Dengan bayangan titik 𝐴(𝑥, 𝑦) yang dirotasikan terhadap pusat 𝑃(𝑎, 𝑏) sebesar 𝜃 berlawanan arah putaran
jarum jam adalah 𝐴′(𝑥′, 𝑦′) dengan
{
𝑥′
− 𝑎 = (𝑥 − 𝑎) cos 𝜃 − (𝑦 − 𝑏) sin 𝜃
𝑦′
− 𝑏 = (𝑥 − 𝑎) sin 𝜃 + (𝑦 − 𝑏) cos 𝜃
Dinotasikan 𝑃(𝑥, 𝑦)
𝑃(𝑎,𝑏)
→ 𝑃′
((𝑥 − 𝑎) cos 𝜃 − (𝑦 − 𝑏) sin 𝜃 , (𝑥 − 𝑎) sin 𝜃 + (𝑦 − 𝑏) cos 𝜃)
Berikut adalah gambar ilustrasi rotasinya.
Y
X
𝐴(𝑥, 𝑦)
𝐴′(𝑥′
, 𝑦′
)
O
r
r
𝜃
𝛼
𝑃(𝑎, 𝑏) x-a
𝑦 − 𝑏
Contoh.1. :
Tentukan matriks yang bersesuaian dengan rotasi terhadap pusat 𝑂(0,0) sebesar 600
searah putaran jarum jam.
Penyelesaian
Rotasi sebesar 600
searah putaran jarum jam adalah ⟺ 𝜃 = −600
Matriks yang bersesuaian dengan rotasi terhadap pusat 𝑂(0,0) sebesar 600
berlawanan arah putaran jarum jam
adalah
(
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
) = (
cos(−600) − sin(−600)
sin(−600) cos(−600)
) = (
1
2
1
2
√3
−
1
2
√3
1
2
)
Contoh.2.
Tentukan bayangan garis dengan persamaan 3𝑦 + 2𝑥 = 4 yang dirotasi terhadap pusat 𝑂(0,0) sebesar 900
berlawanan arah putaran jarum jam.
Penyelesaian
Rotasi sebesar 900
berlawanan arah putaran jarum jam ⟺ 𝜃 = 900
(
𝑥′
𝑦′
) = (
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
) (
𝑥
𝑦)
= (cos 900
− sin 900
sin 900
cos 900 ) (
𝑥
𝑦)
= (
0 −1
1 0
) (
𝑥
𝑦)
= (
−𝑦
𝑥
)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
−𝑦
𝑥
)
Substitusikan 𝑥 = 𝑦′ dan 𝑦 = −𝑥′ ke persamaan 3𝑦 + 2𝑥 = 4
3𝑦 + 2𝑥 = 4
3(−𝑥′) + 2𝑦′ = 4
−3𝑥′ + 2𝑦′ = 4
3𝑥′
− 2𝑦′
= −4
Jadi, bayangannya adalah 3𝑥 − 2𝑦 = −4 atau −3𝑥 + 2𝑦 = 4

11. Modul Matemaika Kelas 11 | 11
Contoh.3.
Tentukan bayangan titik 𝐴(2, −3) setelah dirotasikan terhadap pusat 𝑃(1, −6) sebesar 900
berlawanan arah
putaran jarum jam.
penyelesaian
Rotasi sebesar 900
berlawanan arah putaran jarum jam ⟺ 𝜃 = 900
Titik 𝐴(2, −3); berarti 𝑥 = 2 dan 𝑦 = −3
Titik pusat 𝑃(1, −6); berarti 𝑎 = 1 dan 𝑏 = −6
𝑥′
− 𝑎 = (𝑥 − 𝑎) cos 𝜃 − (𝑦 − 𝑏) sin 𝜃
⟺ 𝑥′
− 1 = (2 − 1) cos 900
− (−3 − (−6)) sin 900
⟺ 𝑥′
− 1 = 1 cos 900
− 3 sin 900
⟺ 𝑥′
− 1 = 1(0) − 3(1)
⟺ 𝑥′
− 1 = 0 − 3
⟺ 𝑥′
= −2
𝑦′
− 𝑏 = (𝑥 − 𝑎) 𝑠𝑖𝑛 𝜃 + (𝑦 − 𝑏) 𝑐𝑜𝑠 𝜃
⟺ 𝑦′
− (−6) = (2 − 1) sin 900
+ (−3 − (−6)) cos 900
⟺ 𝑦′
+ 6 = 1 sin 900
+ 3 cos 900
⟺ 𝑦′
+ 6 = 1(1) + 3(0)
⟺ 𝑦′
+ 6 = 1 + 0
⟺ 𝑦′
= −5
Jadi, koordinat bayangannya adalah 𝐴′(−2, −5)
LATIHAN 3
a. Tentukan bayangan Segitiga ABC dengan titik 𝐴(1,3), 𝐵(3,4) dan 𝐶(8,2) yang dirotasikan terhadap
pusat 𝑂(0,0) sejauh 900
dan berlawanan arah jarum jam.
b. Tentukan bayangan Segitiga ABC dengan titik 𝐴(1,3), 𝐵(3,4) dan 𝐶(8,2) yang dirotasikan terhadap
pusat 𝑂(0,0) sejauh 900
dan searah jarum jam.
c. Gambarkan pada bidang kartesius kedua refleksi diatas!
A. DILATASI
Dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangunan, tetapi
tidak mengubah bentuk bangunan. Suatu dilatasi ditentukan oleh pusat dilatasi dan factor dilatasi atau factor skala.
Gambar konsep dilatasi titik garis dan bidang
Y
X
O
A
B
C
A’
B’ C’

12. Modul Matemaika Kelas 11 | 12
Berikut adalah table konsep dilatasi dan ilustrasi gambarnya
PUSAT
FAKTOR
SKALA
TITIK AWAL BAYANGAN ILUSTRASI
𝑂(0,0) 𝑘 𝐴(𝑥, 𝑦) 𝐴′(𝑘𝑥, 𝑘𝑦)
𝐴′(𝑘𝑥, 𝑘𝑦)
Y
X
O A B
𝐴(𝑥, 𝑦)
𝑃(𝑎, 𝑏) 𝑘 𝐴(𝑥, 𝑦) 𝐴′(𝑘(𝑥 − 𝑎) + 𝑎, 𝑘(𝑦 − 𝑏) + 𝑏)
𝐴′(𝑘(𝑥 − 𝑎 + 𝑎, 𝑘(𝑦 − 𝑏) + 𝑏)
Y
X
O
Q R
𝐴(𝑥, 𝑦)
𝑃(𝑥, 𝑦)
x’-a
Contoh.1.
Tentukan bayangan 𝐴(−2,4) setelah didilatasikan terhadap pusat 𝑃(3, −1) dengan factor skala −3.
Penyelesaian:
Titik 𝐴(−2,4); berarti 𝑥 = −2 dan 𝑦 = 4
Titik pusat 𝑃(3, −1); berarti 𝑎 = 3 dan 𝑏 = −1
Factor skala −3; berarti 𝑘 = −3
𝑥′
− 𝑎 = 𝑘(𝑥 − 𝑎)
⟺ 𝑥′
− 3 = −3(−2 − 3)
⟺ 𝑥′
− 3 = −3(−5)
⟺ 𝑥′
− 3 = 15
⟺ 𝑥′
= 18
𝑦′
− 𝑏 = 𝑘(𝑦 − 𝑏)
⟺ 𝑦′
− (−1) = −3(4 − (−1))
⟺ 𝑦′
+ 1 = −3(5)
⟺ 𝑦′
+ 1 = −15
⟺ 𝑦′
= −16
Jadi, bayangannya adalah 𝐴′(18, −16)
Contoh.2.
Titik 𝐴(−1,5) dan 𝐵(4, −2) setelah didilatasikan terhadap pusat 𝑃(𝑎, 𝑏) dengan factor skala 𝑘 menjadi
𝐴′(−5,14) dan 𝐵′(5,0). Tentukan nilai 𝑘, 𝑎, dan 𝑏.
Penyelesaian:
Titik 𝐴(−1,5) dilatasi menjadi 𝐴′(−5,14)
x′
− a = k(x − a)
⟺ −5 − 𝑎 = 𝑘(−1 − 𝑎)
⟺ −5 − 𝑎 = −𝑘 − 𝑘𝑎

13. Modul Matemaika Kelas 11 | 13
⟺ −5 = −𝑘 − 𝑘𝑎 + 𝑎 … (1)
𝑦′
− 𝑏 = 𝑘(𝑦 − 𝑏)
⟺ 14 − 𝑏 = 𝑘(5 − 𝑏)
⟺ 14 − 𝑏 = 5𝑘 − 𝑘𝑏
⟺ 14 = 5𝑘 − 𝑘𝑏 + 𝑏 …(2)
Titik 𝐵(4, −2) dilatasi menjadi 𝐵′(5,0)
x′
− a = k(x − a)
⟺ 5 − 𝑎 = 𝑘(4 − 𝑎)
⟺ 5 − 𝑎 = 4𝑘 − 𝑘𝑎
⟺ 𝑐 … (3)
𝑦′
− 𝑏 = 𝑘(𝑦 − 𝑏)
⟺ 0 − 𝑏 = 𝑘(−2 − 𝑏)
⟺ 0 − 𝑏 = −2𝑘 − 𝑘𝑏
⟺ 0 = −2𝑘 − 𝑘𝑏 + 𝑏 …(4)
Eliminasi persamaan (1) dan (3)
−5 = −𝑘 − 𝑘𝑎 + 𝑎
5 = 4𝑘 − 𝑘𝑎 + 𝑎 −
−10 = −5𝑘
−10 = −5𝑘
𝑘 = 2
Substitusikan 𝑘 = 2 ke persamaan (1)
−5 = −𝑘 − 𝑘𝑎 + 𝑎
−5 = −2 − 2𝑎 + 𝑎
−5 = −2 − 𝑎
−5 + 2 = −𝑎
−3 = −𝑎
𝑎 = 3
Substitusikan 𝑘 = 2 ke persamaan (2)
14 = 5𝑘 − 𝑘𝑏 + 𝑏
14 = 5(2) − (2)𝑏 + 𝑏
14 = 10 − 2𝑏 + 𝑏
14 − 10 = −𝑏
4 = −𝑏
𝑏 = −4
Jadi, nilai 𝑘, 𝑎, dan 𝑏 berturut – turut adalah 2, 3 dan −4
Contoh.3.
Suatu garis dengan persamaan 2𝑥 − 5𝑦 = 3 setelah didilatasi terhadap pusat 𝑂(0,0) dengan factor skala 𝑘
menghasilkan bayangan 2𝑥 − 5𝑦 = −9. Tentukan nilai 𝑘.
Penyelesaian:
𝑥′
= 𝑘𝑥 ⟺ 𝑥 =
𝑥′
𝑘
… (1)
𝑦′
= 𝑘𝑦 ⟺ 𝑦 =
𝑦′
𝑘
… (2)

14. Modul Matemaika Kelas 11 | 14
Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan 2𝑥 − 5𝑦 = 3 diperoleh 2 (
𝑥′
𝑘
) − 5 (
𝑦′
𝑘
) = 3 ⟺ 2𝑥′
−
5𝑦′
= 3𝑘
Sehingga persamaan bayangannya adalah 2𝑥 − 5𝑦 = 3𝑘
2𝑥 − 5𝑦 = 3𝑘 ⟺ 2𝑥 − 5𝑦 = −9
3𝑘 = −9 ⟺ 𝑘 = −3
Jadi, nilai 𝑘 = −3
LATIHAN 2
Koordinat titik sudut 𝑃(2,1), 𝑄(3, −3) dan 𝑅(5,2) didilatasikan oleh [𝑂, −3]. Gambarkan bayangan ketiga
titik sudut segitiga tersebut pada diagram kartesius!
B. TRANSFORMASI DENGAN MATRIKS
Bayangan titik 𝑃(𝑥, 𝑦) ditransformasikan dengan 𝑇 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) menghasilkan bayangan adalah 𝑃′(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦, 𝑐𝑥 +
𝑑𝑦)
Bayangan titik 𝑃(𝑥, 𝑦) terhadap transformasi 𝑇 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) dalam bentuk matriks dapat dituliskan sebagai berikut
𝑥′
= 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
𝑦′
= 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦
⟺ (
𝑥′
𝑦′
) = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) (
𝑥
𝑦)
Contoh :
1) Tentukan bayangan dari titik 𝐴(2, −3) oleh transformasi 𝑇 = (
1 0
−4 3
).
(
𝑥′
𝑦′
) = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) (
𝑥
𝑦)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
1 0
−4 3
) (
2
−3
)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
2 + 0
−8 − 9
) = (
2
−17
)
Jadi, bayangannya adalah 𝐴′(2, −17)
2) Tentukan bayangan garis dengan persamaan 2𝑥 − 7𝑦 = 3 setelah ditransformasikan oleh 𝑇 = (
3 −2
−4 3
).
Dengan menggunakan matriks invers.
(
𝑥′
𝑦′
) = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) (
𝑥
𝑦)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
3 −2
−4 3
) (
𝑥
𝑦)
(
𝑥
𝑦) = (
3 −2
−4 3
)
−1
(
𝑥′
𝑦′
)
(
𝑥
𝑦) =
1
9−8
(
3 2
4 3
) (
𝑥′
𝑦′
)
(
𝑥
𝑦) = (
3 2
4 3
) (
𝑥′
𝑦′
)
(
𝑥
𝑦) = (
3𝑥′
+ 2𝑦′
4𝑥′
+ 3𝑦′
)
Berdasarkan persamaan tersebut, diperoleh 𝑥 = 3𝑥′
+ 2𝑦′ dan 𝑦 = 4𝑥′
+ 3𝑦′ kemudian substitusikan ke
persamaan 2𝑥 − 7𝑦 = 3
2𝑥 − 7𝑦 = 3
2(3𝑥′
+ 2𝑦′ ) − 7(4𝑥′
+ 3𝑦′) = 3

15. Modul Matemaika Kelas 11 | 15
6𝑥′
+ 4𝑦′
− 28𝑥′
− 21𝑦′
= 3
−22𝑥′
− 17𝑦′
= 3
22𝑥′
+ 17𝑦′
= −3
Jadi, bayangannya adalah 22𝑥 + 17𝑦 = −3
3) Titik 𝐴(2, −5) dan 𝐵(−3,1) ditransformasikan oleh 𝑇 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) menghasilkan bayangan 𝐴′(9,25) dan
𝐵′(−7, −18). Tentukan bayangan titik 𝐶(0,7) oleh transformasi 𝑇 tersebut.
Pemetaan dari titik 𝐴(2, −5) ke 𝐴′(9,25)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) (
𝑥
𝑦)
⟺ (
9
25
) = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) (
2
−5
)
⟺ (
9
25
) = (
2𝑎 − 5𝑏
2𝑐 − 5𝑑
)
Berdasarkan kesamaan matriks tersebut, diperoleh persamaan berikut
2𝑎 − 5𝑏 = 9 … (1)
2𝑐 − 5𝑑 = 25 … (2)
Pemetaan dari titik 𝐵(−3,1) ke 𝐵′(−7, −18)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) (
𝑥
𝑦)
⟺ (
−7
−18
) = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) (
−3
1
)
⟺ (
−7
−18
) = (
−3𝑎 + 𝑏
−3𝑐 + 𝑑
)
Berdasarkan kesamaan matriks tersebut, diperoleh persamaan berikut
−3𝑎 + 𝑏 = −7 … (3)
−3𝑐 + 𝑑 = −18 … (4)
Eliminasi persamaan (1) dan (3)
2𝑎 − 5𝑏 = 9
−3𝑎 + 𝑏 = −7
|
× 3
× 2
|
6𝑎 − 15𝑏 = 27
−6𝑎 + 2𝑏 = −14+
−13𝑏 = 13
𝑏 = −1
Substitusikan nilai 𝑏 = −1 ke persamaan (1)
2𝑎 − 5𝑏 = 9
2𝑎 − 5(−1) = 9
2𝑎 = 9 − 5
2𝑎 = 4
𝑎 = 2
Eliminasi persamaan (2) dan (4)
2𝑐 − 5𝑑 = 25
−3𝑐 + 𝑑 = −18
|
× 3
× 2
|
6𝑐 − 15𝑑 = 75
−6𝑐 + 2𝑑 = −36+
−13𝑑 = 39
𝑑 = 3
Substitusikan nilai 𝑑 = 3 ke persamaan (2)
2𝑐 − 5𝑑 = 25
2𝑐 − 5(3) = 25
2𝑐 = 25 − 15

16. Modul Matemaika Kelas 11 | 16
2𝑐 = 10
𝑐 = 5
Sehingga matriks yang bersesuaian dari transformasi tersebut adalah 𝑇 = (
2 −1
5 3
)
Pemetaan dari titik 𝐶(0,7) oleh transformasi T adalah
(
𝑥′
𝑦′
) = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) (
𝑥
𝑦)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
2 −1
5 3
) (
0
7
) = (
−7
−21
)
Jadi, bayanganya adalah 𝐶′(−7, −21)
SOAL ULANGAN HARIAN
3.24
Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan cermat dan teliti!
1. Tentukan bayangan segitiga 𝑃𝑄𝑅 dengan koordinat 𝑃(−2, −6), 𝑄(−2,6) dan 𝑅(−8,1) jika direfleksikan
terhadap garis y=x dan dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis x=-5!
2. Tentukan bayangan titik 𝐴(2, −3) jika ditranslasikan 𝑇 = (
3
−2
) dan dilanjutkan oleh rotasi terhadap pusat 𝑂(0,0)
sejauh 900
searah jarum jam!
3. Tentukan bayangan segitiga 𝐾𝐿𝑀 dengan 𝐾(1, −2), 𝐿(−3,0), dan 𝑀(−8,4) dirotasikan terhadap pusat 𝑂(0,0)
sejauh 900
berlawanan arah jarum jam dan dilanjutkan dilatasi dengan pusat (3, −6) dan factor skala -5!

17. Modul Matemaika Kelas 11 | 17
RANGKUMAN
NO. JENIS TRANSFORMASI HASIL TRANSFORMASI MATRIKS TRANSFORMASI
1. Translasi 𝑃(𝑥, 𝑦) → 𝑃′(𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏) (
𝑎
𝑏
)
2. Refleksi
a. Terhadap sumbu 𝑋 𝐴(𝑥, 𝑦) → 𝐴′(𝑥, −𝑦) (
1 0
0 −1
)
b. Terhadap garis 𝑥 = ℎ 𝐴(𝑥, 𝑦) → 𝐴′(2ℎ − 𝑥, 𝑦) Tidak ada
c. Terhadap sumbu 𝑌 𝐴(𝑥, 𝑦) → 𝐴′(−𝑥, 𝑦) (
−1 0
0 1
)
d. Terhadap garis 𝑦 = 𝑘 𝐴(𝑥, 𝑦) → 𝐴′(𝑥, 2𝑘 − 𝑦) Tidak ada
e. Terhadap garis 𝑦 = 𝑥 𝐴(𝑥, 𝑦) → 𝐴′(𝑦, 𝑥) (
0 1
1 0
)
f. Terhadap garis 𝑦 = −𝑥 𝐴(𝑥, 𝑦) → 𝐴′(−𝑦, −𝑥) (
0 −1
−1 0
)
g. Terhadap titik pangkal 𝑂(0,0) 𝐴(𝑥, 𝑦) → 𝐴′(−𝑥, −𝑦) (
−1 0
0 −1
)
h. Terhadap titik 𝑃(𝑎, 𝑏) 𝐴(𝑥, 𝑦) → 𝐴′(2𝑎 − 𝑥, 2𝑏 − 𝑦) Tidak ada
3 Rotasi
a. Terhadap pusat 𝑂(0,0) sebesar 𝜃 𝑃(𝑥, 𝑦) → 𝑃′(𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 sin 𝜃 , 𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃) (
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
)
b. Terhadap pusat 𝑃(𝑎, 𝑏) sebesar 𝜃 𝑃(𝑥, 𝑦) → 𝑃′
((𝑥 − 𝑎) cos 𝜃 − (𝑦 − 𝑏) sin 𝜃 , (𝑥 − 𝑎) sin 𝜃 + (𝑦 − 𝑏) cos 𝜃) Tidak ada
4. Dilatasi
a. Terhadap pusat 𝑂(0,0) dengan factor skala k 𝑃(𝑥, 𝑦) → 𝑃′(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) (
𝑘 0
0 𝑘
)
b. Terhadap pusat 𝐴(𝑎, 𝑏) dengan factor skala k 𝑃(𝑥, 𝑦) → 𝑃′(𝑘(𝑥 − 𝑎) + 𝑎, 𝑘(𝑦 − 𝑏) + 𝑏) Tidak ada
5 Transformasi matriks 𝑃′(𝑥′
, 𝑦′) → 𝑃′(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦, 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦) (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
)