matematika SMA persamaan dan pertidaksamaan irasional

1. KONTEN DIGITAL MATEMATIKA SMA
TAHUN 2011
PENULIS :
Sigit Tri Guntoro
Muh. Tamimuddin H
PENILAI :
Julan Hernadi
Wiworo
PENGEMBANG :
Deni Saputra
Muh. Tamimuddin H
PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN
IRASIONAL

2. DAFTAR ISI
Tujuan Pembelajaran
1. Persamaan Irasional
1.1 Pengertian
1.2 Landasan Teori
1.3 Metoda Penyelesaian
2. Pertidaksamaan Irasional
2.1 Pengertian
2.2 Landasan Teori
2.3 Metoda Penyelesaian
3. Aplikasi Dalam Kehidupan Sehari-Hari
4. Pemanfaatan TIK Sebagai Alat Bantu Menemukan Penyelesaian
Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional
4.1 Pemanfaatan Wolfram Alpha
4.2 Pemanfaatan Mathematics Add In Pada Aplikasi MS Word

3. Persamaan dan PertidaksamaanIrasional – PPPPTK Matematika 1
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL
Tujuan Pembelajaran
1. Persamaan Irasional
1.1 Pengertian
Persamaan irasional ialah persamaan yang memuat variabel atau peubahnya berada dalam
tanda akar.
Contoh:
1. 242
+=− xx
2. 112)5( −=− xx
3. xx −=+ 551
Berikut ini bukan persamaan irasional meskipun ia mengandung tanda akar
1. 2‫ݔ‬ െ 11 ൌ √5
2. 1 ൅ ‫3√ݔ‬ ൌ √2
Hal ini karena tidak ada variable ‫ݔ‬ di dalam tanda akar.
Secara umum persamaan irasional berbentuk
ඥ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ atau ඥ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ඥ݃ሺ‫ݔ‬ሻ
dengan ݂ሺ‫ݔ‬ሻ dan ݃ሺ‫ݔ‬ሻ suatu polinomial.
Setiap bilangan real yang jika disubstitusikan ke dalam persamaan irasional memberikan
pernyataan yang benar disebut penyelesaian atau akar persamaan irasional.
Contoh:
Perhatikan persamaan √1 െ ‫ݔ‬ ൌ 2
Tujuan dari konten pembelajaran ini adalah pembaca dapat memahami tentang
pengertian persamaan dan pertidaksamaan irasional, landasan teori serta
memahami langkah penyelesaian soal persamaan dan pertidaksamaan irasional.

4. Persamaan dan PertidaksamaanIrasional – PPPPTK Matematika 2
Bila disubstitusikan ‫ݔ‬ ൌ െ3 maka persamaan ini memberika hasil
ඥ1 െ ሺെ3ሻ ൌ 2 ⟷ √4 ൌ 2 ⟷ 2 ൌ 2, suatu pernyataan yang benar. Jadi ‫ݔ‬ ൌ െ3 adalah
penyelesaiannya. Coba ambil x=1, disubstitusikan ke persamaan diperoleh
√1 െ ‫ݔ‬ ൌ 2 ⟷ √1 െ 1 ൌ 2 ⟷ 0 ൌ 2, suatu pernyataan yang salah. Jadi 1 bukan
penyelesaian.
Berkaitan dengan penjelasan ini, persamaan irasional mungkin mempunyai penyelesaian
atau mungkin juga tidak mempunyai penyelesaian. Bila ia mempunyai penyelesaian maka
penyelesaiannya dapat tunggal atau dapat juga lebih dari satu.
1.2 Landasan Teori
Secara umum untuk menyelesaikan persamaan irasional dilakukan dengan menghilangkan
tanda akar pada kedua ruas, yaitu dengan mengkuadratkan masing-masing ruas. Proses ini
dapat dilakukan beberapa kali sampai tanda akar hilang dan diperoleh persamaan aljabar
biasa yang ekuivalen. Hati-hati dengan cara ini jangan sampai salah konsep. Berikut ini
diberikan aturan main atau dalil pendukungnya
ܽ ൌ ܾ → ܽଶ
ൌ ܾଶ
Tetapi belum tentu berlaku sebaliknya ܽଶ ൌ ܾଶ → ܽ ൌ ܾ. Yang benar adalah sebagai berikut
ܽଶ
ൌ ܾଶ
↔ ܽଶ
െ ܾଶ
ൌ 0 ↔ ሺܽ െ ܾሻሺܽ ൅ ܾሻ ൌ 0 → ܽ ൌ ܾ atau ܽ ൌ െܾ
Berkaitan dengan persamaan irasional, yaitu dalam bentuk ඥ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ atau
ඥ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ඥ݃ሺ‫ݔ‬ሻ haruslah dipenuhi ݂ሺ‫ݔ‬ሻ, ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ≥ 0.
1.3 Metoda
Berikut adalah beberapa aturan yang harus diperhatikan ketika menyelesaikan persamaan
irasional.
• Akar dari suatu bilangan tidak boleh negatif. Tidaklah benar jika mengatakan
√4 ൌ ±2, yang benar adalah √4 ൌ 2

5. Persamaan dan PertidaksamaanIrasional – PPPPTK Matematika 3
• Bilangan di dalam tanda akar tidak boleh negatif karena akar bilangan negatif
menghasilkan bilangan imajiner, bukan bilangan real.
Mengingat persamaan irasional umumnya dalam bentuk ඥ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ atau
ඥ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ඥ݃ሺ‫ݔ‬ሻ dimana ݂ሺ‫ݔ‬ሻ dan ݃ሺ‫ݔ‬ሻ maka untuk menyelesaikannya dicari terlebih
dahulu nilai ‫ݔ‬ yang memenuhi:
(i) ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ≥ 0
(ii) ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ≥ 0
Penyelesaian dari kedua ketentuan ini biasa disebut syarat awal atau prasyarat.
Selanjutnya kedua ruas dikuadratkan, dalam hal ini menentukan nilai ‫ݔ‬ yang memenuhi
(iii) ൫ඥ݂ሺ‫ݔ‬ሻ൯
ଶ
ൌ ൫ඥ݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯
ଶ
atau ൫ඥ݂ሺ‫ݔ‬ሻ൯
ଶ
ൌ ሺ݃ሺ‫ݔ‬ሻሻଶ
Akhirnya, nilai ‫ݔ‬ yang memenuhi (i), (ii) dan (iii) adalah penyelesaian dari persamaan
irasional yang dimaksud.
Contoh 1
Tentukan nilai x yang memenuhi 5)3( −=− xx
Penyelesaian:
Agar berlaku 5)3( −=− xx , harus dipenuhi
Prasyarat:
(i) (x – 3) ≥ 0 , diperoleh x ≥ 3.
(ii) 05 ≥−x , diperoleh 5≥x
Kedua syarat ini dapat digabung menjadi 5≥x
Selanjutnya diselesaikan persamaan,
(iii) 5)3( −=− xx ⇒ 2
)5()3( −=− xx ⇔ 25103 2
+−=− xxx
⇔ 25103 2
+−=− xxx
⇔ 0)3)(7( =+− xx

6. Persamaan dan PertidaksamaanIrasional – PPPPTK Matematika 4
Jadi diperoleh x = 7 atau x = 3. Karena harus memenuhi x ≥ 5 (ingat (2))maka nilai yang
memenuhi adalah x = 7. Ini merupakan contoh persamaan irasional yang mempunyai
penyelesaian tunggal
Contoh 2
Tentukan penyelesaian dari 4162
+=− xx
Penyelesaian:
Prayarat:
(i) x2
− 16 ≥ 0 → x ≤ −4 atau x ≥ 4 , dan
(ii) x + 4 ≥ 0 → x ≥ − 4
Kedua syarat ini digabungkan sehingga didapat ‫ݔ‬ ൌ െ4 atau ‫ݔ‬ ≥ 4
(iii)Kemudian kedua ruas 4162
+=− xx dikuadratkan diperoleh
x2
–16 = x + 4
↔ x2
– x – 20 = 0
↔ (x − 5)(x + 4) = 0
↔ x = 5 atau x = − 4
Dengan memperhatikan prasyarat maka himpunan penyelesaian dari persamaan di atas
adalah { − 4, 5 }. Ini merupakan persamaan irasional yang mempnyai penyelesaian tidak
tunggal.
Contoh 3
Tentukan nilai x yang memenuhi 6125 =+++ xx
Penyelesaian:
Prasyarat:
(i) 505 −≥⇒≥+ xx

7. Persamaan dan PertidaksamaanIrasional – PPPPTK Matematika 5
(ii) 2
1
012 −≥⇒≥+ xx
Syarat (i) dan (ii) dapat digabung menjadi 2
1
−≥x
(iii) 6125 =+++ xx ↔ 1265 +−=+ xx . Sesuai dengan penjelasan
sebelumnya maka 0126 ≥+− x ⇔ 126 +≥ x . Dari sini diperoleh
xx ≥⇒≤+ 2
1
173632
Dari prasyarat (i), (ii) dan (iii) diperoleh interval prasyarat: 2
1
2
1
17≤≤− x
Selanjutnya persamaan diselesaikan.
6125 =+++ xx
⇔ 1265 +−=+ xx
⇒ x + 5 = 36 − 12 12 +x + (2x + 1)
⇔ 12 12 +x = x + 32
⇒ 144(2x + 1) = x2
+ 64x + 1024
⇔ x2
− 224 x + 880 = 0
⇔(x − 4)(x − 220) = 0
⇔ x = 4 atau x = 220
Mengacu prasyarat, diperoleh himpunan penyelesaiannya: {4}
Seperti telah dijelaskan sebelumnya bahwa tidak semua persamaan irasional memiliki
penyelesaian.
Contoh 4
Tentukan penyelesaian dari √2 െ ‫ݔ‬ ൌ ‫ݔ‬ െ 3
Jawab:
Prasyarat:
(i) ‫ݔ‬ െ 3 ≥ 0 ↔ ‫ݔ‬ ≥ 3
(ii) 2 െ ‫ݔ‬ ≥ 0 ↔ ‫ݔ‬ ≤ 2

8. Persamaan dan PertidaksamaanIrasional – PPPPTK Matematika 6
Perhatikan bahwa tidak ada nilai ‫ݔ‬ yang memenuhi ‫ݔ‬ ≥ 3 sekaligus ‫ݔ‬ ≤ 2
Jadi tidak ada nilai ‫ݔ‬ yang memenuhi √2 െ ‫ݔ‬ ൌ ‫ݔ‬ െ 3
2. Pertidaksamaan Irasional
2.1 Pengertian
Pertidaksamaan irasional ialah pertidaksamaan yang memuat variabel atau peubahnya
berada dalam tanda akar.
Contoh:
1. 242
+≤− xx
2. 112)5( −>− xx
Berikut ini bukan pertidaksamaan irasional
3. 551 <+ x bukan pertidaksamaan irasional meskipun ia mengandung tanda akar
4. xxx 552
<+
2.2 Landasan teori
Untuk menyelesaikan pertidaksaman irasional dilakukan dengan mengubahnya menjadi
pertidaksamaan ekuivalen yang tidak memuat tanda akar lagi. Umumnya, dengan
mengkuadratkan kedua ruas. Prosedur ini dapat dilakukan dengan menggunakan dalil atau
aturanberikut.
Misalkan ܽ, ܾ ≥ 0, maka berlaku ܽ ≤ ܾ ↔ ܽଶ
≤ ܾଶ
↔ √ܽ ≤ √ܾ
Kesamaan berlaku jika ܽ ൌ ܾ, yaitu ܽ ൌ ܾ ↔ ܽଶ
ൌ ܾଶ
↔ √ܽ ൌ √ܾ
2.3 Metoda
Jika diberikan pertidaksamaan irasional yang berbentuk
ඥ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ≤ ඥ݃ሺ‫ݔ‬ሻ
Maka penyelesaiannya harus memenuhi syarat berikut
(i) ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ≥ 0 sebab bilangan di dalam akar tidak boleh negatif.

9. Persamaan dan PertidaksamaanIrasional – PPPPTK Matematika 7
ሺiiሻ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ≥ 0, sebab akar suatu bilangan tidak boleh negatif.
ሺiiiሻ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ≤ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ
Syarat (i) dan (ii) biasanya disebut syarat awal atau prasyarat.
Contoh 1
Tentukan nilai x yang memenuhi ඥሺ‫ݔ‬ െ 3ሻ < ඥሺ5 െ ‫ݔ‬ሻ
Penyelesaian:
Prasyarat:
(i) (x – 3) ≥ 0 , sehingga x ≥ 3.
0)5( ≥− x , sehingga 5≤x
(ii) )5()3( xx −<− ⇔ )5()3( xx −<−
⇔ 4<x
Mengingat prasyarat (i) diperoleh penyelesaian 43 <≤ x
Contoh 2
Tentukan penyelesaian dari √‫ݔ‬ଶ െ 7 < 3
Jawab:
Prasyarat:
(i) x2
− 7 ≥ 0 ↔ ሺ‫ݔ‬ െ √7ሻሺ‫ݔ‬ ൅ √7ሻ ≥ 0 ↔ ‫ݔ‬ ≤ െ√7 atau ‫ݔ‬ ≥ √7
Dengan menguadratken kedua ruas 372
<−x , akan diperoleh
‫ݔ‬ଶ
െ 7 < 9
↔ ‫ݔ‬ଶ
െ 16 < 0
↔ ሺ‫ݔ‬ െ 4ሻሺ‫ݔ‬ ൅ 4ሻ < 0
Dari sini diperoleh െ4 < ‫ݔ‬ < 4. Mengingat prasyarat (i) maka diperoleh penyelesaian
െ4 < ‫ݔ‬ ≤ െ√7 atau െ√7 ≤ ‫ݔ‬ < 4

10. Persamaan dan PertidaksamaanIrasional – PPPPTK Matematika 8
Seperti pada persamaan irasional, pertidaksamaan irasional juga belum tentu mempunyai
penyelesaian.
Contoh 3:
Tentukan penyelesaian dari √‫ݔ‬ଶ െ 4 < 0
Jawab:
Prasyarat:
(i) ‫ݔ‬ଶ
െ 4 ≥ 0 ↔ ሺ‫ݔ‬ െ 2ሻሺ‫ݔ‬ ൅ 2ሻ ≥ 0 menghasilkan ‫ݔ‬ ≤ െ2 atau ‫ݔ‬ ≥ 2
Selanjutnya dengan menguadratkan kedua ruas dari √‫ݔ‬ଶ െ 4 < 0 diperoleh
‫ݔ‬ଶ
െ 4 < 0 ↔ ሺ‫ݔ‬ െ 2ሻሺ‫ݔ‬ ൅ 2ሻ < 0 yang menghasilkan െ2 < ‫ݔ‬ < 2. Jelas bahwa tidak
mungkin berlaku ‫ݔ‬ ≤ െ2 tetapi െ2 < ‫ݔ‬ < 2. Demikian pula tidak mungkin berlaku
‫ݔ‬ ≥ 2 tetapiെ2 < ‫ݔ‬ < 2.
Jadi √‫ݔ‬ଶ െ 4 < 0 tidak mempunyai penyelesaian.

11. Persamaan dan PertidaksamaanIrasional – PPPPTK Matematika 9
3. Aplikasi Dalam Kehidupan Sehari-Hari
Pak Jabar ingin membuat kuda-kuda atap rumah dari kayu dengan menetapkan lebarnya 10
meter seperti gambar berikut.
Karena bahan yang tersedia untuk satu kuda-kuda ditetapkan hanya 26 meter, dia
kebingungan menentukan tinggi kuda-kuda. Dapatkah Anda membantu Pak Jabar?
Penyelesaian:
Permasalahan ini dapat dituliskan sebagai berikut.
Dari sini diperoleh persamaan yang menggambarkan permasalahan Pak Jabar di atas yaitu
menentukan nilai ‫ݔ‬ yang memenuhi 5 ൅ 5 ൅ √5ଶ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ √5ଶ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ ൌ 26.
Kemudian disederhanakan didapatkan 2√25 ൅ ‫ݔ‬ଶ ൌ 16 െ ‫.ݔ‬ Bentuk terakhir ini adalah
persamaan irasional. Penyelesaiannya dengan menggunakan metoda yang telah dibahas
sebelumnya, yaitu:
2ඥ25 ൅ ‫ݔ‬ଶ ൌ 16 െ ‫ ݔ‬
Prasyarat:
(1) 25 ൅ ‫ݔ‬ଶ
≥ 0 atau ‫ݔ‬ଶ
≥ െ25. Karena ‫ݔ‬ଶ
≥ 0 untuk setiap ‫ݔ‬ ∈ ܴ , maka setiap ‫ݔ‬ ∈ ܴ
memenuhi syarat pertama ini.
(2) 16 െ ‫ݔ‬ ≥ 0. Dari sini diperoleh syarat ‫ݔ‬ ≤ 16.
A
B
C
D
ඥ5ଶ ൅ ‫ݔ‬ଶ
‫ ݔ‬
ඥ5ଶ ൅ ‫ݔ‬ଶ
5 5
‫ ? ݅݃݃݊݅ݐ‬
5 5

12. Persamaan dan PertidaksamaanIrasional – PPPPTK Matematika 10
(3) Prasyarat tambahan yang perlu dimunculkan adalah ‫ݔ‬ ≥ 0 karena panjang kayu
tidak mungkin negatif
Ketiga syarat di atas dapt digabung menjadi 0 ≤ ‫ݔ‬ ≤ 16
Selanjutnya dengan menggunakan metoda sebelumnya didapatkan
2ඥ25 ൅ ‫ݔ‬ଶ ൌ 16 െ ‫ݔ‬
⟺ 4ሺ25 ൅ ‫ݔ‬ଶሻ ൌ 16ଶ
െ 32‫ݔ‬ ൅ ‫ݔ‬ଶ
⟺ 100 ൅ 4‫ݔ‬ଶ
ൌ 256 െ 32‫ݔ‬ ൅ ‫ݔ‬ଶ
⟺ 3‫ݔ‬ଶ
൅ 32‫ݔ‬ െ 156 ൌ 0
Menghasilkan penyelesaian ‫ݔ‬ ൌ െ
ଵ଺
ଷ
െ
ଶ√ଵ଼ଵ
ଷ
≈ െ14,3 atau ‫ݔ‬ ൌ െ
ଵ଺
ଷ
൅
ଶ√ଵ଼ଵ
ଷ
≈ 3,64.
Sesuai dengan prasyarat 0 ≤ ‫ݔ‬ ≤ 16 maka diperoleh penyelesaian ‫ݔ‬ ≈ 3,64. Dengan
demikian Pak Jabar dapat menentukan tinggi kuda-kuda kira-kira 3,64 meter

13. Persamaan dan PertidaksamaanIrasional – PPPPTK Matematika 11
4. Pemanfaatan TIK Sebagai Alat Bantu Menemukan Penyelesaian
Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional
4.1 Pemanfaatan Wolfram Alpha
Saat ini banyak tersedia perangkat bantu matematika baik software yang diinstal secara
offline maupun software yang tersedia online. Wolfram Alpha merupakan salah satu
perangkat bantu online yang dapat digunakan untuk berbagai keperluan dan bidang ilmu
termasuk matematika,dan dalam hal ini dapat juga digunakan untuk menemukan
penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan irasional.
Untuk mencari penyelesaian dari persamaan atau pertidaksamaan, kita terlebih dahulu
harus mengubah persamaan menjadi kode yang dimengerti oleh komputer. Beberapa simbol
yang harus diubah misalnya adalah akar dan pangkat. Simbol akar harus diganti dengan kode
sqrt() dan pangkat diganti dengan tanda ^.
Sebagai contoh kita akan mencari penyelesaian persamaan:
ඥሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻ ൅ ሺ‫ݔ‬ െ 1ሻ ൌ 4
Langkah untuk mencari penyelesaian persamaan ini adalah:
1. Buka situs wolframalpha.com persamaan di atas menjadi kode yang dipahami
komputer, yaitu menjadi sqrt(x+1)+(x-1)=4. ke dalam textbox dan klik enter atau
tanda “=”.

14. Persamaan dan PertidaksamaanIrasional – PPPPTK Matematika 12
2. Tunggu beberapa saat sampai Wolfram Alpha menyelesaikan perhitungan. Jika
proses perhitungan telah selesai akan ditampilkan hasilnya yang kurang lebih seperti
berikut.

15. Persamaan dan PertidaksamaanIrasional – PPPPTK Matematika 13
Dari tampilan tersebut dapat dilihat bahwa penyelesaian dari persamaan irasional di atas
adalah ‫ݔ‬ ൌ 3.
Latihan
Ubahlah persamaan √3‫ݔ‬ െ 4
య
ൌ 2 menjadi kode yang dipahami komputer. (Petunjuk: Ubah
bentuk akar menjadi pangkat pecahan terlebih dahulu).
4.1 Pemanfaatan Mathematics Add In Pada Aplikasi MS Word
Salah satu perangkat bantu yang dapat digunakan untuk membantu melakukan perhitungan
matematika, dan dalam hal ini adalah persamaan irasional, adalah dengan Microsoft
Mathematics Add-in. Add In ini terintegrasi dengan aplikasi MS Word, seperti halnya
Microsoft Equation. Bedanya, Mathematics Add Ins secara default tidak terpasang di MS
Word sehingga harus dipasang terpisah sebagai add in tambahan. File installer Mathematics
add in dapat diunduh dari situs Microsoft pada alamat
http://www.microsoft.com/downloads/en/confirmation.aspx?FamilyID=ca620c50-1a56-
49d2-90bd-b2e505b3bf09. Jika Anda kesulitan menuliskan alamat URL yang panjang
tersebut Anda dapat mengakses alamat tersebut menggunakan alamat
http://tinyurl.com/wordmathaddin.
File installer Mathematics Add-in ini berukuran cukup ringan, yaitu sekitar 6.6 MB. Perlu
diperhatikan bahwa add-in ini memerlukan beberapa persyaratan. Di antaranya adalah
sudah terinstal Microsoft Word 2007 / 2010 dan Microsoft .NET Framework 3.5 SP1.

16. Persamaan dan PertidaksamaanIrasional – PPPPTK Matematika 14
Add-in ini akan menambahkan ribbon baru di MS Word, yaitu Mathematics yang berisi
Compute dan Graph yang berada di samping menu Equation.
Untuk mencari penyelesaian dari sebuah persamaan irasional dapat dilakukan dengan
mengetikkan persamaan menggunakan equation. Setelah itu, dengan persamaan masih
tersorot, pilih menu Mathematics – Compute – Solve for x.
Penyelesaian persamaan ini otomatis akan ditambahkan pada bagian bawah persamaan
tersebut.

17. Persamaan dan PertidaksamaanIrasional – PPPPTK Matematika 15
Selain dapat dimanfaatkan untuk mencari penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan
irasional, Mathematics Add In ini juga dapat digunakan untuk menggambar grafik dari
persamaan tersebut. Caranya adalah tuliskan persamaan atau pertidaksamaan
menggunakan equation, misalnya √3‫ݔ‬ െ 4 ൌ 2
య
. Pastikan persamaan ini, tersorot lalu pilih
menu Mathematics-Graph-Plot Both Sides In 2D.

18. Persamaan dan PertidaksamaanIrasional – PPPPTK Matematika 16
Grafik yang dihasilkan adalah seperti berikut.
Meskipun penggunaan perangkat bantu TIK ini sangat memudahkan, janganlah kemudahan
ini menjadikan ketergantungan serta perlu ditekankan bahwa perangkat bantu ini
hendaknya digunakan setelah adanya penanaman konsep yang benar.