Matematika Bisnis

1. Linear Programming Sederhana

2. Linear Programming Sederhana
 Linear programming sederhana menggunakan grafik
untuk menemukan solusi model.
 Syarat solusi grafik hanya untuk dua variabel
keputusan (x dan y atau x1 dan x2).
 Jika variabel keputusan lebih dari dua variabel maka
jalan terbaik adalah menggunakan komputer untuk
menemukan solusi model.

3. Langkah Program Linear Sederhana
 Memahami masalah yang terjadi
 Menentukan apa yang dianggap sebagai variable x
dan y,
 Membuat model matematika fungsi objektif
 Membuat model matematika kendala/pembatasan
masalah,
 Menggambar daerah himpunan penyelesaian,
 Menentukan hasil optimum.

4. Menentukan Himpunan Penyelesaian
Nilai A Tanda Contoh
Positif (+) > atau ≥
Ax + By + C 5 x+y≥5
5
< atau ≤
5 x+y≤5
5

5. Menentukan Himpunan Penyelesaian
Nilai A Tanda Contoh
Negatif (-) > atau ≥
Ax + By + C 5 -x - y ≥ -5
5
< atau ≤
5 -x - y ≤ 5
5

6. Menentukan Nilai Optimum Fungsi Objektif
1. Pengunaan Garis Selidik
Jika fungsi objektif ƒ(x, y) = Ax + By + C,
 Nilai maksimum  titik pojok/garis batas paling
kanan yang dilintasi garis selidik.
 Nilai minimum  titik pojok/garis batas paling kiri
yang dilintasi selidik.
2. Pengujian Titik Pojok
 Fungsi objektif ƒ (x,y) = Ax + By + C dimasukkan
seluruh koordinat titik pojok
 hasil yang terbesar  Nilai maksimum
 hasil yang terkecil  Nilai minimum

7. Contoh Kasus Maksimasi
Tempat parkir seluas 600 m2 hanya mampu
menampung paling banyak 58 bus atau 58 mobil. Tiap
mobil membutuhkan tempat 6 m2 dan bus 24 m2.
Biaya parkir tiap mobil Rp. 500 dan bus Rp. 750. Jika
tempat parkir itu penuh, hasil dari biaya parkir
maksimum adalah…

8. Menentukan Variabel x dan y
Jenis Tempat Biaya Parkir
Mobil (x) 6 m2 Rp. 500
Bus (y) 24 m2 Rp. 750
Kapasitas ( ≤ 58) ≤ 600 m2

9. Pembuatan Model Linear
Target memaksimalkan biaya parkir
f (x , y) = 500x + 750y
Dengan kendala: x + y ≤ 58 (Garis 1)
6x + 24y ≤ 600 (Garis 2)
Garis 1: memotong x = 58 dan y = 58
Garis 2: memotong x = 600/6 = 100
memotong y = 600/24 = 25

10. Solusi Grafis
Titik potong garis 1 dan garis 2
dengan cara eliminasi x + y =58
58 dengan x + 4y = 100.
Didapat titik (44, 14)
25
Daerah
Penyelesaian
0 100
58
Garis 2
Garis 1

11. Garis Selidik
500x + 750y  50x + 75y
Titik potong sumbu x = 75
58 Titik potong sumbu y = 50
(44, 14)
25
Daerah
Penyelesaian
0 100
58
Garis 2
Garis 1

12. Solusi Titik Pojok
Titik Pojok 500x + 750y
(0, 25) 18.750
(58, 0) 29.000
(44, 14) 32.500
Jadi hasil dari biaya parkir maksimum adalah Rp. 32.500
untuk 44 mobil dan 14 bus.

13. Variabel Slack (Pengurang)
 Variabel slack menunjukkan jumlah sumberdaya
yang tidak terpakai.
 Dari kasus lahan parkir, keuntungan maksimum
terjadi ketika 44 mobil dan 14 bus parkir.
 Walaupun mencapai keuntungan maksimum, tetap
saja ada sumberdaya yang tidak terpakai. Contoh:
6x + 24y + s ≤ 600  6(44) + 24(14) + s ≤ 600
s + 600≤ 600  s = 0 m2 lahan yang tidak terpakai

14. Latihan
Produk Tenaga Kerja Material Laba
(Jam/unit) (ons/unit) ($/unit)
Mangkok 1 4 40
Cangkir 2 3 50
Batasan 40 jam 120 ons
Carilah berapa keuntungan maksimum

15. Contoh Kasus Minimasi
Sebuah peternakan memproduksi susu dan keju.
Order minimum dari supermarket harus dipenuhi.
Dalam sehari, supermarket memesan 16 liter susu dan
24 kg keju. Peternakan tersebut memiliki dua
peternakan dengan biaya produksi $ 6 untuk
peternakan 1 dan $3 untuk peternakan 2. Peternakan
1 menghasilkan 2 liter susu dan 4 kg keju setiap
jamnya. Sedangkan peternakan 2 menghasilkan 4 liter
susu setiap dan 3 kg keju setiap jamnya. Berapa biaya
produksi yang minimum agar order minimum dari
supermarket dapat terpenuhi?

16. Menentukan Variabel x dan y
Produk Susu Keju Biaya
(liter/jam) (kg/jam) ($/jam)
Peternakan 1 2 4 6
Peternakan 2 4 3 3
Batasan Minimal 16 liter 24 kg

17. Pembuatan Model Linear
Minimalkan: C = 6x1 + 3x2
Dengan kendala: 2x1 + 4x2 ≥ 16
4x1 + 3x2 ≥ 24
x1, x2 ≥ 0

18. Solusi Grafis
x2
(0, 8) Daerah
Penyelesaian
4 (4.8, 1.6)
x1
0 (8, 0)
6
2x1 + 4x2 = 16
4x1 + 3x2 = 24

19. Garis Selidik
6x1 + 3x2
x2
Titik potong x1 = 3
Titik potong x2 = 6
0, 8 Daerah
Penyelesaian
4
(4.8, 1.6)
x1
0 (8,0)
6
4x1 + 3x2 = 24 2x1 + 4x2 = 16

20. Solusi Titik Pojok
Titik Pojok 6x1 + 3x2
(0, 8) 24
(4.8, 1.6) 33.6
(8, 0) 48
Jadi hasil dari biaya penggunaan peternakan adalah $24
dengan menggunakan Peternakan 1 selama 0 jam dan
Peternakan 2 selama 8 jam.

21. Solusi Majemuk
Kasus:
Maksimalkan π = 40x1 + 30x2
Dengan kendala :
x1 + 2x2 ≤ 40
4x1 + 3x2 ≤ 120
x1, x2 ≥ 0

22. Solusi Optimal Majemuk
6x1 + 3x2
x2
40 Titik potong x1 = 3
Titik potong x2 = 6
Daerah
20 Penyelesaian
8, 24
x1
0
30 40

23. Model Tidak Bisa Diselesaikan
Kasus:
Maksimalkan π = 5x1 + 3x2
Dengan kendala :
4x1 + 2x2 ≤ 8
x1 ≥ 120
x2 ≥ 6
x1,x2 ≤ 0

24. Grafik Model Tidak Bisa Diselesaikan
40
Daerah
6
Penyelesaian
4 8, 24
x1
0 2 4