Dokumen tersebut membahas tentang model matematika program linier, termasuk fungsi objektif, daerah himpunan penyelesaian, titik optimum, nilai optimum, dan garis selidik. Contoh soal dan penyelesaiannya menunjukkan cara menentukan nilai maximum dan minimum dari suatu fungsi objektif berdasarkan titik-titik pojok daerah himpunan penyelesaian.

1. NILAI OPTIMUM DAN GARIS SELIDIK

2. ISTILAH DALAM PROGRAM LINIER
2
Model Matematika
Fungsi Objektif
Daerah Himpunan Penyelesaian
Titik pojok (vertex)
Titik optimum
Nilai optimum
Garis Selidik

3. PENGERTIAN
NILAI OPTIMU DAN TITIK OPTIMUM

4. Titik optimum adalah titik-titik pojok daerah
himpunan penyelesaian yang mengakibatkan fungsi
objektif bernilai optimum (minimum atau
maximum).
Nilai optimum adalah nilai fungsi objektif yang
diperoleh dengan terlebih dahulu menentukan titik
optimum

5. Contoh
5
Tentukan nilai maximum dan minimum
dari fungsi objektif Z = 8X + 2Y
dengan syarat
X + 3Y ≤ 9;
2X + Y ≤ 8;
X ≥ 0;
Y ≥ 0

6. Grafik Himpunan Penyelesaian
X + 3Y ≤ 9;
2X + Y ≤ 8;
X ≥ 0; 8
Y ≥ 0
.
3
0 4 9
X + 3Y = 9
2X + Y = 8
X = 0
y = 0

7. Grafik Himpunan Penyelesaian
.
3
.
0 4 9
2X + Y ≤ 8
X + 3Y ≤ 9
y ≥ 0
X ≥ 0

8. DAERAH HIMPUNAN PENYELESAIAN
8
.
3
0 4 9
X + 3Y ≤ 9
2X + Y ≤ 8
X = 0
y = 0

9. Titik Pojok
8
.
3
0 4 9
X = 0
y = 0
O C
B
A
2X + Y ≤ 8
X + 3Y ≤ 9

10. O (0 , 0)
A (0 , 3)
C (4 , 0)
B 
X + 3Y = 9 | x 2  2X + 6Y = 18
2X + Y = 8 | x 1  2X + Y = 8 -
5Y = 10
Y = 2
X = 3
 (3 , 2)
TITIK POJOK

11. Fungsi objektif
Z = 8X + 2Y
O (0 , 0)  Z = 8.0 + 2.0  0
A (0 , 3)  Z = 8.0 + 2.3  6
B (3 , 2)  Z = 8.3 + 2.2  28
C (4 , 0)  Z = 8.4 + 2.0 32
Nilai maximum atau minimum
Nilai maximum : Zmin = 32
Nilai minimum: Zmax = 0

12. GARIS SELIDIK

13. Garis selidik adalah garis-garis yang sejajar dengan
fungsi objektif Z = aY + bY dan digunakan untuk
menentukan nilai optimum dengan cara
mengarahkan garis-garis tersebut ke titik-titik
pojok daerah himpunan penyelesaian.

14. Contoh
14
Tentukan nilai maximum dan minimum
dari fungsi objektif Z = 8X + 2Y
dengan syarat
X + 3Y ≤ 9;
2X + Y ≤ 8;
X ≥ 0;
Y ≥ 0

15. Grafik Himpunan Penyelesaian
X + 3Y ≤ 9;
2X + Y ≤ 8;
X ≥ 0; 8
Y ≥ 0
.
3
0 4 9
X + 3Y = 9
2X + Y = 8
X = 0
y = 0

16. Grafik Himpunan Penyelesaian
.
3
.
0 4 9
2X + Y ≤ 8
X + 3Y ≤ 9
y ≥ 0
X ≥ 0

17. DAERAH HIMPUNAN PENYELESAIAN
8
.
3
0 4 9
X + 3Y ≤ 9
2X + Y ≤ 8
X = 0
y = 0

18. Titik Pojok
8
.
3
0 4 9
X = 0
y = 0
O C
B
A
2X + Y ≤ 8
X + 3Y ≤ 9

19. O (0 , 0)
A (0 , 3)
C (4 , 0)
B 
X + 3Y = 9 | x 2  2X + 6Y = 18
2X + Y = 8 | x 1  2X + Y = 8 -
5Y = 10
Y = 2
X = 3
 (3 , 2)
TITIK POJOK

20. Fungsi objektif
Z = 8X + 2Y
Misal : Z = 8  8 = 8x + 2y
 x = 0 y = 4  (0,4)
 y = 0 x = 1  (1,0)
MENENTUKAN GARIS SELIDIK

21. Titik Pojok
8
.
3
0 4 9
X = 0
y = 0
O C
B
A
2X + Y ≤ 8
X + 3Y ≤ 9
1
4

22. O (0 , 0)
C (4 , 0)
 Fungsi objektif
Z = 8X + 2Y
O (0 , 0)  Z = 8.0 + 2.0  0
C (4 , 0)  Z = 8.4 + 2.0 32
Nilai maximum : Zmin = 32
Nilai minimum: Zmax = 0
NILAI OPTIMUN

23. Maher ingin membeli anak ayam dan kelinci
tidak kurang dari 6 ekor. Ia mempunyai uang
sebanyak Rp 50.000. Harga seekor anak ayam Rp
5.000 seekor dan sebuah pulpen Rp 10.000
perekor. Jika maher menjual kembali buku
dengan keuntungan harga Rp 2.000/ekor dan
ballpoint Rp 3.000, keuntungan maximum yang
diperoleh adalah ….
LATIHAN 1

24. Jawab :
Misal
buku tulis : x
pulpen : y
Model matematika:
 5000x + 10000y ≤ 50.000  x + 2y ≤ 10
 x + y ≥ 6
 x ≥ 0
 y ≥ 0

25. Daerah himpunan penyelesaian:
Y
6
.
5
.
X
0 6 10

26. A(6,0)
B (10,0)
C
 x + 2y = 10
 x + y = 6 -
y = 4
x = 2
 C(2,4)
Titik pojok

27. Fungsi objektif
2000x + 3000y = Z
A(6,0)  2000.6 + 3000.0 = 12.000
B (10,0)  2000.10 + 3000.0 = 20.000
C(2,4)  2000.2 + 3000.4 = 16.000
LABA MAXIMUM = Rp 20.000
Laba maximum

28. Tentukanlah nilai tertinggi dan nilai terendah dari
himpunan penyelesaian berikut jika fungsi
objektif : z = 3x – 5y
(5 , 4 )
(2 , 3)
2
(6,1)
3
LATIHAN 2

29. Jawab:
z = 3x – 5y
(5 , 4 )  -5
(2 , 3)  -9
(0 , 2)  -10
(6 , 1) 13
(3 , 0)  9
Nilai tertinggi : 13
Nilai terendah : -10