Dokumen tersebut membahas tentang variabel random dan distribusi teoretis. Secara singkat, variabel random dibedakan menjadi diskrit dan kontinu, sedangkan distribusi teoretis dibedakan menjadi diskrit dan kontinu berdasarkan jenis variabel randomnya. Distribusi teoretis memberikan daftar probabilitas terjadinya nilai-nilai variabel random.

1. Oleh : Emanueli Mendrofa, S.Pd

2. Variabel Random
Variabel random atau variabel acak adalah variabel yang nilai-nilainya ditentukan oleh
kesempatan atau variabel yang dapat bernilai numerik yang didefinisikan dalam suatu ruang
sampel. Misalnya, pelemparan sebuah dadu sebanyak 6 kali maka munculnya angka 1
sebanyak 0, 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 kali merupakan suatu kesempatan.
Variabel random ada dua yaitu:
1. Variabel random diskrit
2. Variabel random kontinu

3. Variabel random diskrit adalah variabel random yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada
dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu. Nilainya merupakan
bilangan bulat dan asli, tidak berbentuk pecahan. Variabel random diskrit jika digambarkan
pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik-titik yang terpisah.
0 1 2 3 4 5 6

4. Jika nilai yang mungkin dari variabel random X, yaitu himpunan hasil pemetaan adalah R,
berhingga atau tak berhingga, tetapi terbilang (himpunan terbilang adalah himpunan yang
semua anggotanya dapat disebut satu per satu) maka X disebut suatu variabel random diskrit.
Dengan demikian, X dapat mengambil nilai dari:
x1, x2, x3, . . ., xn atau
x1, x2, x3, . . ., xn, xn+1 dengan x ∈ 𝑅

5. Variabel random kontinu adalah variabel random yang mengambil seluruh nilai yang ada
dalam sebuah interval. Variabel random kontinu jika digambarkan pada sebuah garis interval,
akan berupa sederetan titik yang bersambung membentuk suatu garis lurus sebagai berikut.
Nilai variabel random kontinu dapat terjadi di mana pun dalam interval itu.
0 6

6. Jika nilai yang mungkin dari variabel random X (hasil dari X) merupakan semua nilai dalam
suatu interval atau benyaknya hasil pemetaan tak terbilang, maka X disebut variabel random
kontinu. Misal, daerah hasil dari variabel random kontinu X adalah:
Rx = X : 0 ≤ x ≤ 1, x bilangan real atau
Rx = Y : − ~ ≤ y ≤ ~, y bilangan real

7. Distribusi Teoretis atau distribusi probabilitas teoretis adalah suatu daftar yang
disusun berdasarkan probabilitas dari peristiwa-peristiwa bersangkutan.
Frekuensi dari distribusi itu diperoleh melalui perhitungan-perhitungan, karena itu
distribusi teoretis dapat pula diartikan sebagai distribusi yang frekuensinya
diperoleh secara matematis (perhitungan).

8. Sebuah mata uang logam dengan permukaan I = A dan permukaan II = B dilemparkan ke atas
sebanyak 3 kali. Buatkan distribusi teoretisnya dan gambarkan grafiknya!
Penyelesaian:
Dari pelemparan tersebut akan diperoleh ruang sampel dengan anggota sebanyak 8 (n = 8),
yaitu:
S = {AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB}

9. Jika X merupakan jumlah munculnya permukaan I (A) maka:
1. untuk AAA, didapat X = 3
2. untuk AAB, didapat X = 2
3. untuk ABA, didapat X = 2
4. untuk ABB, didapat X = 1
5. untuk BAA, didapat X = 2
6. untuk BAB, didapat X = 1
7. untuk BBA, didapat X = 1
8. untuk BBB, didapat X = 0
Dengan demikian: X = {0, 1, 2, 3} dimana n(S) = 8, n(0) = 1, n(1) = 3, n(2) = 3, dan n(3) = 1

10. Jika setiap nilai X dicari nilai probabilitasnya, maka distribusi teoretisnya adalah sebagai
berikut.
Untuk X = 0, maka P(X) =
n(0)
n(S)
=
1
8
= 0,125
Untuk X = 1, maka P(X) =
n(1)
n(S)
=
3
8
= 0,375
Untuk X = 2, maka P(X) =
n(2)
n(S)
=
3
8
= 0,375
Untuk X = 3, maka P(X) =
n(3)
n(S)
=
1
8
= 0,125

11. X P(X)
0
1
2
3
0,125
0,375
0,375
0,125
Jumlah 1,000
Tabel hasil pelemparan sebuah mata
uang logam sebanyak 3 kali
Grafik batangnya adalah
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0 1 2 3

12. Distribusi teoretis, berdasarkan bentuk variabelnya, dibedakan atas dua jenis yaitu distribusi teoretis
diskrit dan distribusi teoretis kontinu.
a. Distribusi teoretis diskrit
Distribusi teoretis diskrit adalah suatu daftar atau distribusi dari semua nilai variabel random diskrit
dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut.
Distribusi yang tergolong ke dalam distribusi teoretis diskrit antara lain:
1. Distribusi binomial,
2. Distribusi hipergeometrik, dan
3. Distribusi Poisson

13. Misalkan X adalah variabel random diskrit dari ruang sampel S. Suatu fungsi f dikatakan
merupakan fungsi probabilitas atau distribusi dari variabel random diskrit (distribusi teoretis
diskrit) jika memenuhi syarat:
1. 𝑓 𝑥 ≥ 0, x ∈ R
2. 𝑓 𝑥𝑖 = 1
3. P X = 𝑥 = 𝑓 𝑥

14. 1. Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola biru dan 2 bola kuning. Secara acak diambil 3 bola.
Tentukan distribusi probabilitas X, jika X menyatakan banyaknya bola kuning yang
terambil.
2. Sekeping uang logam diberi timbangan sedemikian rupa sehingga probabilitas munculnya
sisi G dua kali dari munculnya sisi A. Apabila uang logam dilemparkan 3 kali, buatlah
distribusi probabilitas munculnya sisi G.

15. 1. Jumlah titik sampelnya adalah:
C3
6
=
6!
3! 6 − 3 !
=
1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6
1 × 2 × 3 1 × 2 × 3
=
120
6
= 20 titik sampel
Banyaknya cara mendapatkan bola kuning adalah Cx
2
Banyaknya cara mendapatkan bola biru adalah C3 − x
4
Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan:
P X = 𝑥 = 𝑓 𝑥 =
Cx
2
C3 − x
4
C3
6
, 𝑥 = 0, 1, 2

16. Untuk X = 0
P X = 0 =
C0
2
C3 − 0
4
C3
6
=
1 × 4
20
= 0,2
Untuk X = 1
P X = 1 =
C1
2
C3 − 1
4
C3
6
=
2 × 6
20
= 0,6
Untuk X = 2
P X = 2 =
C2
2
C3 − 2
4
C3
6
=
1 × 4
20
= 0,2

17. Distribusi probabilitasnya adalah:
X 0 1 2
P(X) 0,2 0,6 0,2

18. 2. Dari pelemparan 3 kali mata uang logam tersebut didapatkan 8 titik sampel yaitu:
S = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}
Misalkan X adalah banyaknya sisi G yang muncul.
Untuk X = 0 (AAA)
P X = 0 = 1
1
3
×
1
3
×
1
3
=
1
27
= 0,04
Untuk X = 1 (AAG, AGA, GAA)
P X = 1 = 3
2
3
×
1
3
×
1
3
= 3
2
27
=
6
27
= 0,22
Untuk X = 2 (GGA, GAG, AGG)
P X = 2 = 3
2
3
×
2
3
×
1
3
= 3
4
27
=
12
27
= 0,44

19. Untuk X = 3 (GGG)
P X = 3 = 1
2
3
×
2
3
×
2
3
=
8
27
= 0,3
Distribusi probabilitasnya adalah:
X 0 1 2 3
P(X) 0,04 0,22 0,44 0,3

20. b. Distribusi teoretis kontinu
Distribusi teoretis kontinu adalah suatu daftar atau distribusi dari semua nilai variabel
random kontinu dengan probabilitas terjadinya masinh-masing nilai tersebut. Misalkan X
adalah variabel random kontinu dari ruang sampel S. Suatu fungsi f dikatakan merupakan
fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas variabel random kontinu X, jika memenuhi
syarat:
a) 𝑓(𝑥) ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥
b) −~
~
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
c) 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥

21. Distribusi probabilitas dari variabel random kontinu disebut juga densitas atau fungsi
densitas (fungsi kepadatan) dari variabel random tersebut.
Distribusi yang tergolong ke dalam distribusi teoretis kontinu, antara lain:
1. Distribusi normal,
2. Distribusi 𝜒2
3. Distribusi F, dan
4. Distribusi t.

22. Suatu variabel random kontinu X yang memiliki nilai antara X = 1 dan X = 3 memiliki fungsi densitas
yang dinyatakan oleh
𝑓 𝑥 =
2 1 + 𝑥
21
Tentukan nilai P(X < 2)!
𝑃 𝑋 < 2 = 𝑃 1 < 𝑋 < 2
=
1
2
2 1 + 𝑥
21
𝑑𝑥 =
1
21
2𝑥 + 𝑥2
1
2
=
5
21

23. Nilai harapan atau harapan matematika dari distribusi teoretis sebenarnya adalah nilai rata-
rata hitung tertimbang jangka panjang dari distribusi teoretis itu, disimbolkan E(X) atau μ.
Misalkan X adalah suatu variabel random dengan distribusi probabilitas f(x) atau P(X = x)
maka nilai harapannya atau rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut.
1. untuk distribusi probabilitas diskrit
𝐸 𝑋 = 𝜇 = 𝑥 . 𝑓(𝑥) atau
𝐸 𝑋 = 𝜇 = (𝑥 . 𝑃(𝑥))

24. 2. untuk distribusi probabilitas kontinu
𝐸 𝑋 = 𝜇 =
−~
~
𝑥 . 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Sekelompok ahli sebuah perusahaan terdiri atas 4 orang ahli manajemen dan 3 orang ahli
akuntansi. Akan dibentuk suatu komisi yang terdiri atas 3 orang (komisi tiga). Jika anggota
komisi tiga diambil secara acak dari ke-7 ahli tersebut, tentukan nilai harapan banyaknya ahli
manajemen yang dapat duduk dalam komisi tiga tersebut!

25. Misalkan X adalah banyaknya ahli manajemen dalam komisi tiga maka variabel random X
dapat memiliki nilai 0, 1, 2, 3. Distribusi probabilitas dari variabel X dapat dihitung dengan
menggunakan pendekatan kombinasi.
𝑓 𝑥 =
Cx
4
C3 − x
3
C3
7
, 𝑥 = 0, 1, 2, 3
Untuk X = 0
P 0 =
C0
4
C3 − 0
3
C3
7
=
1
35

26. Untuk X = 1
P 1 =
C1
4
C3 − 1
3
C3
7
=
12
35
Untuk X = 2
P 2 =
C2
4
C3 − 2
3
C3
7
=
18
35
Untuk X = 3
P 3 =
C3
4
C3 − 3
3
C3
7
=
4
35

27. Distribusi probabilitasnya adalah:
Nilai harapan ahli manajemen yang dapat duduk dalam komisi tiga adalah:
𝐸 𝑋 = 𝑥 . 𝑓(𝑥)
𝐸 𝑋 = 0 . 𝑓 0 + 1 . 𝑓 1 + 2 . 𝑓 2 + 3 . 𝑓 3
𝐸 𝑋 = 0 .
1
35
+ 1 .
12
35
+ 2 .
18
35
+ 3 .
4
35
𝐸 𝑋 = 1,7
X 0 1 2 3
f(X)
𝟏
𝟑𝟓
𝟏𝟐
𝟑𝟓
𝟏𝟖
𝟑𝟓
𝟒
𝟑𝟓

28. Dari hasil tersebut, dapat disimpulkan bahwa andaikan komisi tiga itu dibentuk berulang-ulang
maka diharapkan banyaknya ahli manajemen dalam setiap komisi yang terbentuk adalah 1,7
atau 2 orang (sebagai pendekatan)

29. Dengan menggunakan nilai harapan ini maka varians atau simpangan baku (deviasi standar)
dari distribusi teoretis atau distribusi probabilitas (variabel random X) dapat dihitung, yaitu:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋
2
atau
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 = 𝑥 − 𝜇 2 × 𝑃 𝑋
𝜎 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋

30. Misalkan variabel random X memiliki distribusi probabilitas sebagai berikut:
Tentukan Var (X) dan simpangan bakunya.
X 0 1 2 3
f(X)
𝟏
𝟐𝟕
𝟔
𝟐𝟕
𝟏𝟐
𝟐𝟕
𝟖
𝟐𝟕

31. 𝐸 𝑋 = 𝑥 . 𝑓(𝑥)
𝐸 𝑋 = 0 . 𝑓 0 + 1 . 𝑓 1 + 2 . 𝑓 2 + 3 . 𝑓 3
𝐸 𝑋 = 0 .
1
27
+ 1 .
6
27
+ 2 .
12
27
+ 3 .
8
27
𝐸 𝑋 = 2
𝐸 𝑋2 = 𝑥2 . 𝑓(𝑥)
𝐸 𝑋 = 0 .
1
27
+ 1 .
6
27
+ 4 .
12
27
+ 9 .
8
27
𝐸 𝑋 = 4,67

32. 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋
2
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 4,67 − 22
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 0,67
𝜎 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋
𝜎 = 0,67
𝜎 = 0,82