4. Apersepsi
Setiap orang atau perusahaan pasti menginginkan keuntungan atau laba sebesar–besarnya dengan
alokasi sumber yang terbatas. Sebagai contoh, sebuah perusahaan memproduksi dua model kapal
pesiar. Model I membutuhkan waktu 30 jam untuk memotong dan merakit serta 40 jam untuk
menyelesaikannya. Model 2 membutuhkan 45 jam untuk memotong dan merakit serta 30 jam
untuk menyelesaikannya. Waktu yang tersedia 360 jam untuk memotong dan merakit serta 300
jam untuk menyelesaikannya. Keuntungan bersih untuk setiap unit model I sebesar
Rp4.500.000,00 dan model II sebesar Rp6.000.000,00. Apakah Anda dapat menentukan berapa
banyak kapal pesiar model I dan model II yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan
maksimum?
Kasus di atas adalah salah satu contoh permasalahan program linear.
Masalah semacam itu sering kita jumpai dalam dunia usaha, ekonomi, ilmiah,
dan sebagainya. Masalah program linear adalah masalah yang berhubungan
dengan penentuan maksimum atau minimum suatu fungsi linear dengan
kendala–kendala berupa sistem pertidaksamaan linear.
5. Standar Kompetensi
Standar Kompetensi :
Menyelesaikan masalah program linear.
Kompetensi Dasar :
Menjelaskan program linear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan
menggunakan masalah kontekstual
7. Model Matematika
Contoh
Susi ingin membeli dua jenis jeruk, jeruk A dengan harga Rp 6.000,00 per kg
dan jeruk B dengan harga Rp 4.000,00 per kg. Ia hanya menyediakan uang Rp
50.000,00, sedangkan kapasitas keranjang yang ia bawa hanya 10 kg. Buatlah
model matematika dari masalah ini!
Jawab :
6.000 x + 4.000 y < 50.000 atau 3x + 2y < 25
x + y < 10
x > 0; y > 0
Model matematika adalah suatu rumusan (dapat berupa persamaan,
pertidaksamaan maupun fungsi) yang diperoleh dari penafsiran seseorang ketika
menerjemahkan suatu masalah sehari-hari (masalah program linear) ke dalam
bahasa matematika.
8. Model Matematika
Jawab :
Contoh:
Sebuah biro transportasi menyediakan tidak lebih dari 100 mobil yang terdiri
dari 2 jenis untuk mengangkut penumpang sebanyak 500 orang. Mobil jenis A
dan B masing-masing hanya mampu mengangkut 4 orang dan 6 orang.
Tentukan model matematika untuk masalah ini.
x + y < 100
4x + 6y < 500
x > 0, y > 0.
9. Fungsi Obyektif
Fungsi obyektif atau fungsi sasaran atau fungsi tujuan adalah fungsi yang
berbentuk f(x,y) = ax + by yang akan ditentukan nilai optimumnya (nilai
maksimum atau nilai minimum) untuk (x,y) yang memenuhi syarat tertentu.
Contoh :
Seorang pedagang akan membeli sandal dan sepatu. Harga sepasang sandal
Rp 15.000,00 dan harga sepasang sepatu Rp 30.000,00. Modal yang ia miliki
Rp 600.000,00. Kiosnya hanya cukup menampung 30 pasang sandal dan
sepatu. Jika keuntungan sepasang sandal Rp 4.000,00 dan sepatu Rp
5.000,00 dengan keadaan ini pedagang tersebut ingin mendapatkan
keuntungan yang sebesar-besarnya. Tentukan model matematika
permasalahan tersebut lengkap dengan fungsi obyektif yang menyatakan
keuntungan pedagang tersebut!
10. Fungsi Obyektif …
Contoh :
Seorang pasien diharuskan mengkonsumsi vitamin A paling sedikit 1000 mg
dan vitamin C paling sedikit 1250 mg tiap hari. Tersedia 2 jenis kapsul,
kapsul jenis I mengandung 50 mg vitamin A dan 75 mg vitamin C. Kapsul
jenis II mengandung 60 mg vitamin A dan 50 mg vitamin C. Jika harga 1 butir
kapsul jenis I dan jenis II masing-masing adalag Rp 8.000,00 dan Rp 6.000,00
maka tentukan model matematika dari masalah ini!
Jawab :
Misal banyak kapsul jenis I = x dan banyak kapsul jenis II = y
Maka model matematika dari masalah ini adalah
50x + 60y > 1.000 atau 5x + 6y > 100
75x + 50y > 1250 atau 3x + 2y > 50
x > 0; y > 0
Fungsi obyektif f(x, y) = 8.000x + 6.000y
(Perhatikan bahwa fungsi obyektif f(x, y) = 8.000x + 6.000y menyatakan besar pengeluaran
pasien tiap hari, yang tergantung dari banyak kedua kapsul yang ia konsumsi)
11. Fungsi Obyektif
Jawab :
Misal : banyaknya pasangan sandal = x
banyaknya pasangan sepatu = y
Model matematika :
15.000x + 30.000y < 600.000 atau x + 2y < 40
x + y < 30
x > 0, y > 0
Fungsi obyektif f(x,y) = 4.000x + 5.000y
(Perhatikan bahwa fungsi f(x,y) = 4.000x + 5.000y menyatakan besar
keuntungan yang diperoleh pedagang, yang nilainya tergantung dari
banyak sandal dan sepatu yang ia jual)
12. Nilai Optimum Fungsi Obyektif
Untuk menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari fungsi
obyektif, cara yang biasa digunakan adalah dengan uji titik pojok atau
dengan garis selidik.
1). Uji Titik Pojok
Menentukan nilai optimum fungsi obyektif f(x, y) = ax + by dengan uji titik pojok
dilakukan dengan cara menghitung nilai fungsi tersebut untuk setiap titik pojok (x, y)
dari daerah himpunan penyelesaian.
2). Garis Selidik
Apabila suatu persoalan program linear dengan fungsi obyektif f(x, y) = ax + by
akan diselesaikan menggunkan garis selidik, maka persamaan umum garis selidik
tersebut adalah ax + by = k. Dengan menggeser-geser garis ini melintasi semua
daerah himpunan penyelesaian menjauhi dan mendekati titik O(0, 0) akan diperoleh
nilai-nilai k yang berbeda.
Nilai maksimum fungsi obyektif adalah nilai k garis selidik yang letaknya paling
jauh dari titik O
Nilai minimum fungsi obyektif adalah nilai k garis selidik yang letaknya paling
dekat dari titik O
13. Nilai Optimum Fungsi Obyektif
Contoh :
Seorang pedagang akan membeli sandal dan sepatu. Harga sepasang sandal Rp
15.000,00 dan harga sepasang sepatu Rp 30.000,00. Modal yang ia miliki Rp
600.000,00. Kiosnya hanya cukup menampung 30 pasang sandal dan sepatu.
Jika keuntungan sepasang sandal Rp 4.000,00 dan sepatu Rp 5.000,00 maka
tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang tersebut.
Jawab :
Model matematika
x + 2y < 40
x + y < 30
x > 0, y > 0
Fungsi obyektif f(x,y) = 4.000x + 5.000y
X
Y
30
20
4030
HP
(20, 10)
Titik (x, y) f(x, y)= 4.000x + 5.000y
(0, 0) 0
(30, 0) 120.000
(20, 10) 130.000
(0, 20) 100.000
Maksimum
14. Nilai Optimum Fungsi Obyektif
Contoh :
Tentukan nilai minimum fungsi z = 5x + 3y dengan syarat
x + y > 4, x + 3y > 6, x > 0, y > 0.
Jawab :
Uji titik pojok
Titik (x,y) f(x,y)
(6, 0) 30
(3, 1) 18
(0, 4) 12
Jadi nilai minimum fungsi z = 5x + 3y
adalah 12, yang dicapai di titik (0, 4).
15. Nilai Optimum Fungsi Obyektif
Contoh :
Tentukan nilai maksimum dari Z = x + 3y pada daerah yang diarsir berikut
Garis selidik x + 3y = 0 melalui
titik (0, 0) dan (3, -1)
x + y = 77x + 2y = 14
2x - 5y = 0
y = x + 1
X
Y
Maksimum
y = x + 1
x + y = 7
Diperoleh x = 3 dan y = 4
Sehingga nilai maksimum
Z = 3 + 3(4) = 15
16. Berikut ini disediakan 5 (lima) butir soal untuk menguji kompetensi
dari materi yang telah Kalian pelajari.
Selamat Mengerjakan…
17. Luas suatu tempat parkir 200 m2
. Untuk memarkirkan mobil rata-rata
diperlukan tempat seluas 10 m2
dan untuk bus rata-rata 20 m2
. Tempat parkir
tersebut tidak dapat menampung lebih dari 12 mobil dan bus. Jika di tempat
parkir itu akan diparkir x mobil dan y bus, maka x dan y harus memenuhi
syarat ....
A
B
C
D
x + y ≤ 12; x + 2y ≥ 20; x ≥ 0; y ≥ 0
x + y ≥ 12; x + 2y ≥ 20; x ≤ 0; y ≤ 0
x + y ≤12; x + 2y ≤ 20; x ≥ 0; y ≥ 0
x + y ≤ 12; x – 2y ≥ 20; x ≥ 0; y ≥ 0
x + y ≥ 12; x + 2y ≤ 20; x ≥ 0; y ≥ 0E
Uji Kompetensi
18. Sebuah biro transportasi menyediakan tidak lebih dari 100 mobil yang terdiri
dari 2 jenis untuk mengangkut penumpang sebanyak 500 orang. Mobil jenis
A dan B masing-masing hanya mampu mengang-kut 4 orang dan 6 orang.
Model matematika untuk masalah ini adalah.....
A
B
C
D
x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 100, 2x + 3y ≤ 250
x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 100, 2x + 3y ≥ 250
x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 120, 2x + 3y ≤ 500
x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 500, 3x + 2y ≥ 100
x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 500, 2x + 3y ≤ 100E
Uji Kompetensi
19. Uji Kompetensi
Daerah yang diarsir merupakan daerah himpunan penyelesaian
sistem pertidaksamaan
A
B
C
D
2 ≤ y ≤ 4; x + y ≤ 5; y ≥ 0
2 ≤ x ≤ 4; x + y ≤ 5; x ≥ 0
2 ≤ y ≤ 4; x + y ≥ 5; y ≥ 5
2 ≤ x ≤ 4; x + y ≤ 5
2 ≤ y ≤ 4; x + y ≤ 5; x ≥ 0
5
X
Y
5
2
4
E
20. Nilai minimum fungsi z = 2x + 5y dengan syarat
x + 2y ≥ 6, 2x + y ≥ 6, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah.....
A
B
C
D
4
7
10
12
14E
Uji Kompetensi
21. Sebuah pesawat mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas
utama boleh membawa bagasi 60 kg sedang tiap penumpang kelas ekonomi
boleh membawa bagasi 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1.440
kg. Jika harga tiket kelas utama Rp 150.000,00 dan kelas ekonomi Rp
100.000,00. Agar diperoleh pendapatan maksimum, maka banyak
penumpang kelas utama adalah … .
A
B
C
D
4
7
10
12
14E
Uji Kompetensi
