Model matematika SITR digunakan untuk memodelkan penyebaran penyakit Demam Tifoid. Model ini membagi populasi menjadi empat kompartemen yaitu: Susceptible, Infected, Treatment, dan Recovered. Model ini menggambarkan proses infeksi, pengobatan, dan kekebalan terhadap penyakit. Analisis kestabilan dilakukan untuk menentukan titik kesetimbangan dan bilangan reproduksi dasar yang menunjukkan kecepatan penyebaran penyakit.
1. z
z z
ANALISIS MODEL MATEMATIKA SITR PADA
PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM TIFOID
Fifin Siti Indrawati
F1A119005
Pebimbing I
Prof. Asrul Sani, M.Sc., Ph.D
NIP. 19690212 199303 1 003
Pebimbing II
Dr. Muh. Kabil Djafar, ST., M.Si
NIP. 19700131 200812 1 001
SEMINAR PROPOSAL
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamUniversitas Halu Oleo
2. Demam Tifoid merupakan jenis demam akut yang dapat disebabkan oleh infeksi bakteri
Salmonella typhi. Manifestasi klinis untuk penyakit ini dapat dimulai dari demam tinggi,
sakit kepala, denyut jantung lemah sampai dengan adanya komplikasi pada hati dan
limfa. Penyakit Demam Tifoid sering terjadi karena faktor kebersihan, seperti ketika
makan di luar atau di tempat-tempat umum yang kurang terjaga kebersihannya .
Penyakit Demam Tifoid berdasarkan data yang di ambil dari WHO (World Health
Organisation), angka penderita penyakit Demam Tifoid di seluruh dunia dapat mencapai
sekitar 17 juta tahun per jiwa yang angka kematiannya dapat mencapai 600,000 dan
paling banyak terjadi di Asia yaitu sekitar 70%. Di Indonesia, berdasarkan data WHO,
angka penderita penyakit Demam Tifoid diperkirakan dapat mencapai 81% per 100.000.
. Jumlah kasus tertinggi berdasarkan tempat tinggal bagi penderita penyakit Demam
Tifoid yaitu yang berada di daerah pedesaan dengan pendidikan rendah dan jumlah
pengeluaran rumah tangga rendah dibandingkan dengan orang yang tinggal di daerah
perkotaan
3. Model matematika adalah salah satu alat yang dapat digunakan untuk membantu
mempermudah dalam menyelesaikan masalah yang ada dalam kehidupan nyata ke dalam
pernyataan matematis. Masalah-masalah tersebut dapat dirumuskan ke dalam bentuk
persamaan matematika yang komponen-komponennya dapat disebut sebagai variabel. Salah
satu contoh model yang ada dalam model matematika yaitu model 𝑆𝐼𝑇𝑅 (Susceptible-
Infective-Treatment-Recovered). Model matematika untuk penyakit Demam Tifoid sudah
banyak di buat oleh peneliti-peneliti sebelumnya antara lain: Nhtirii, dkk tahun 2016
menggunakan model matematika 𝑆𝑃𝐼𝑇𝑅 (Susceptible-Protected-Infected-Treated-Recovered)
pada penyakit Demam Tifoid. Garba, U., dkk tahun 2020 juga meneliti mengenai dinamika
penyebaran penyakit Demam Tifoid pada model matematika 𝑃𝑆𝐼𝑇𝑅. Karunditu, dkk tahun
2019 dalam penelitiannya mengambil permasalahan yang sama yaitu mengenai penyebaran
penyakit Demam Tifoid yang penderitannya tidak terlidungi atau belum melakukan vaksinasi
dengan menggunakan model matematika 𝑆𝐸𝐼𝑅. Peter O. J, dkk tahun 2018 menggunakan
model 𝑆𝐼𝑐𝐼𝑇𝑅𝑊 untuk penyakit Demam Tifoid, dengan kompartemen 𝑊 merupakan
konsentrasi bakteri yang ada di sekitar lingkungan.
4. Rumusan masalah yang akan dibahas peneliti pada penelitian ini
yaitu:
1. Bagaimana model matematika 𝑆𝐼𝑇𝑅 pada penyebaran penyakit
Demam Tifoid ?
2. Bagaimana perilaku selesaian dari model matematika 𝑆𝐼𝑇𝑅
pada penyebaran penyakit Demam Tifoid ?
5. Tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Untuk mengetahui model matematika 𝑆𝐼𝑇𝑅 pada penyebaran
penyakit Demam Tifoid.
2. Untuk mengetahui perilaku selesaian dari model matematika
𝑆𝐼𝑇𝑅 penyebaran penyakit Demam Tifoid.
6. Manfaat yang di inginkan peneliti dari penelitian ini sebagai berikut:
1. Untuk peneliti
Menambah wawasan mengenai pemodelan matematika dan penerapannya yang
berkaitan dengan bidang kesehatan, terutama pada analisis model 𝑆𝐼𝑇𝑅 untuk
penyebaran penyakit Demam Tifoid.
2. Untuk Mahasiswa Program Studi Matematika
Menjadi referensi bagi mahasiswa program studi matematika khususnya dapat
membantu dalam perkuliahan, terutama dalam model matematika serta analisisnya.
7. . Demam Tifoid merupakan penyakit infeksi yang biasanya terjadi di usus halus yang
disebabkan oleh Salmonella Typhi. Gejala awal yang untuk penyakit Demam Tifoid
biasanya ditandai dengan terkena demam dalam satu atau lebih sering ditandai dengan
gejala gangguan pada saluran pencernan dengan atau tanpa adanya gangguan kesadaran.
Angka untuk penderita penyakit Demam Tifoid di negara maju dapat mencapai 5.700
kasus disetiap tahunnya. Sedangkan untuk angka penderita Demam Tifoid di negara
berkembang lebih tinggi dibandingkan negara maju yaitu sekitar 21,5 juta orang setiap
tahunnya. Secara umum setiap tahunnya tejadi sekitar 21 juta kasus
dan 222.000 menyebabkan kematian. Jumlah keseluruhan kasus penyakit Demam Tifoid
di Indonesia sebesar 1,6 %, angka penderita tertinggi untuk penderita penyakit ini berada
pada kelompok usia 5 − 14 tahun. Penyakit Demam Tifoid menjadi salah satu penyakit
endemik di Indonesia yang dapat diklasifikasikan sebagai penyakit menular. Hal ini
termuat dalam Undang-Undang No. 6 tahun 1962 tentang wabah.
Pengobatan untuk penderita penyakit Demam Tifoid adalah dengan cara pemberian obat
antibiotik.
8. 1. Model SIR
ModelModel 𝑆𝐼𝑅 terdapat 3 kompartemen yaitu Susceptible (S), Infected (I), dan
Recovered (R). Adapun bentuk dari model SIR sebagai berikut :
Berdasarkan diagram alur diatas maka diperoleh system persamaan yaitu :
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= −
𝛽𝑆𝐼
𝑁
𝑑𝐼
𝑑𝑡
=
𝛽𝑆𝐼
𝑁
− 𝛾𝐼
𝑑𝑅
𝑑𝑡
= 𝛾𝐼
9. 2. Model SEIR
model 𝑆𝐸𝐼𝑅 dibagi menjadi 4 kelompok yaitu kelompok individu yang rentan
(Suspected), kelompok individu yang telah terpapar namun masih berada dalam masa
inkubasi sehingga belum berpotensi menularkan penyakit (Exposed), kelompok individu
yang terinfeksi dan dapat sembuh dari penyakit (Infected), dan kelompok individu yang
sembuh dan kebal terhadap penyakit (Recovered). Adapun bentuk diagram tranferdari
model SEIR yaitu:
10. 2.3 Persamaan Diferensial
2.4 Titik Kesetimbangan
2.5 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan
2.6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
2.7 Linearisasi
2.8 Matriks Generasi Selanjutnya
2.9 Bilangan Reproduksi Dasar
11. Penelitian ini dilakukan dari bulan Mei sampai bulan
Juli tahun 2023. Penelitian ini bertempat di Laboratorium
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Halu Oleo.
12. Adapun metode yang dipakai dalam penelitian ini yaitu metode kepustakaan
(library research) dengan urutan kerja sebagai berikut:
1. Melakukan studi literatur yang berkenaan dengan model SITR.
2. Membuat asumsi yang berkaitan dengan model matematika SITR.
3. Menyelesaikan analisis kestabilan dengan cara mencari titik equilibrium dan nilai
eigen serta menentukan sifat-sifat kestabilan berdasarkan nilai eigen yang didapat.
4. Membuat simulasi dari model matematika SITR.
5. Menguraikan hasil yang diperoleh.
13. Model yang digunakan dalam penyebaran penyakit Demam Tifoid adalah model 𝑆𝐼𝑇𝑅 yang
dikembangkan dengan membagi populasi ke dalam empat kompartemen. Susceptibel (S) adalah
individu yang sehat tetapi rentan terkena penyakit Demam Tifoid, Infected (I) adalah individu yang
terinfeksi penyakit Demam Tifoid, Treatment (T) adalah individu yang melakukan pengobatan, dan
Recovered ( R ) adalah individu yang telah sembuh dari penyakit Demam Tifoid. Asumsi-asumsi
yang dipakai dalam pembentukan model matematika SITR pada penyebaran penyakit Demam Tifoid
sebagai berikut:
a. Populasinya adalah konstan.
b. Laju kelahiran dan laju kematian diasumsikan sama yang berarti setiap individu lahir masuk ke
dalam kelas Susceptible dan setiap individu mati dari semua kelas mempunyai laju yang
proporsional dengan dengan masing-masing kelas.
14. c. Individu yang terinfeksi Penyakit Demam Tifoid akan segera mendapatkan
pengobatan atau Treatment.
d. Individu yang terinfeksi dan individu yang melakukan Treatment dapat mengalami
kematian secara alami dan kematian yang disebabkan Penyakit Demam Tifoid
e. Individu yang telah terinfeksi dapat disembuhkan dengan memberikan pengobatan.
f. Individu yang sembuh setelah melakukan Treatment tidak dapat terinfeksi kembali .
15. Variabel yang akan digunakan dalam pembentukan model matematika 𝑆𝐼𝑇𝑅 sebagai
berikut:
No. Variabel Definisi Satuan
1. 𝑆 Individu yang rentan terhadap penyakit Demam Tifoid Individu
2. 𝐼 Individu yang telah terinfeksi Individu
3. 𝑇 Individu yang melakukan pengobatan Individu
4. 𝑅 Individu yang telah sembuh dari penyakit Demam Tifoid Individu
16. Parameter yang akan digunakan dalam pembentukan model matematika 𝑆𝐼𝑇𝑅 sebagai
berikut:
No. Variabel Definisi Satuan
1. 𝜇 Laju kelahiran dan laju kematian alami 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢
𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛
2. 𝛽 Laju penularan atau infected kepada suspectible 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢
𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛
3. 𝛾 Laju individu terinfeksi yang melakukan pengobatan 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢
𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛
4. 𝛿 Laju kesembuhan yang terinfeksi setelah treatment 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢
𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛
5. 𝛼
Laju kematian yang diakibatkan oleh penyakit
Demam Tifoid
𝐼𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢
𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛
