ini matkul statistika matematika

1. TEKNIK FUNGSI
Pembangkit Momen
Kelompok 13 PSPM F 2020

2. Anggota Kelompok :
EBEN NEZER SINURAT (4203111093)
GRES STEFANI SINULINGGA (4201111029)
YOHANA AGESTY GINTING (4203111124)
Dosen Pengampu : Dr. Edy Surya, M. Si

3. Daftar Isi
01
02
Pengertian fungsi
pembangkit
momen
Teorema berserta
contoh fungsi
pembangkit
momen

4. Pengertian fungsi
pembangkit momen
01

5. Fungsi Pembangkit
Momen
Fungsi pembangkit momen (moment
generating function/MGF) merupakan
fungsi yang dapat menghasilkan momen-
momen. Momen-momen yang dihasilkan ini
bisa digunakan untuk mencari nilai
harapan, nilai rataan dan varians dari suatu
peubah acak. Tidak hanya itu, fungsi
pembangkit momen juga bisa digunakan
untuk mencari distribusi dari suatu peubah
acak yang baru.

6. Fungsi pembangkit momen peubah acak X
yang dinyatakan dengan 𝑴𝑿(t)
(𝑴𝑿t) didefinisikan sebagai :

7. Dari definisi di atas kita tahu bahwa 𝑴𝑿 (t) =
E(𝒆𝒕𝒙
) 𝑴𝒙 (t) = E(𝒆𝒕𝒙
). Jika kita uraikan persamaan ini
dengan menggunakan perluasan Deret MacLaurin,
maka akan diperoleh:

8. Kemudian, jika kita melakukan diferensiasi atau
turunan 𝑴𝑿(t) yang telah diperluas dengan deret
MacLaurin tersebut terhadap t, maka akan
diperoleh hasil sebagai berikut:

9. Jika kita menetapkan nilai t =
0 pada hasil turunan tersebut, maka
kita akan peroleh hasil berikut ini:

10. Demikian seterusnya, jika 𝑴𝑿(t) diturunkan terhadap t sebanyak r kali, dan
kemudian menetapkan nilai t sama dengan nol (t = 0) maka akan diperoleh:
Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa momen ke-r yang dinotasikan
dengan urur bisa diperoleh melalui fungsi pembangkit momen. Dengan
kata lain, fungsi pembangkit momen merupakan sebuah fungsi yang dapat
menghasilkan momen-momen sehingga tidak heran jika nama yang
diberikan kepadanya adalah fungsi pembangkit momen.
Seperti dinyatakan di awal artikel ini, fungsi pembangkit momen bisa
digunakan untuk mencari nilai rataan atau nilai harapan dan varians dari
suatu variabel acak. Nilai harapan peubah acak ini dapat diperoleh dari
turunan pertama fungsi MGF terhadap tt dan menetapkan nilai t = 0 pada
hasil turunan tersebut.

11. Dengan demikian,
Selanjutnya, untuk mencari varians, kita
perlu mencari momen kedua dari
fungsi MGF terlebih dahulu. Hal ini
dapat dilakukan dengan melakukan
turunan sebanyak dua kali
terhadap 𝑴𝑿(t) dan kemudian
menetapkan nilai t = 0. Berikut adalah
hasil yang diperoleh:

12. Teorema beserta
contoh fungsi
pembangkit momen 02

13. Teorema 2.6.1 Misal X dan Y dua
peubah acak dengan mgf berturut-
turut 𝑀𝑋(𝑡) dan 𝑀𝑌(𝑡), ada dalam
kitaran terbuka 0. Maka 𝐹𝑋(𝑧) = 𝐹𝑌(𝑧)
untuk semua 𝑧 ∈ 𝑅 jika dan hanya jika
𝑀𝑋(𝑡) = 𝑀𝑌(𝑡) untuk semua 𝑡 ∈ (−ℎ, ℎ)
untuk suatu ℎ> 0.

14. Contoh 2.6.1 Misal peubah acak X mempunyai mgf
𝑀 𝑡 =
1
10
𝑒𝑡
+
2
10
𝑒2𝑡
+
3
10
𝑒3𝑡
+
4
19
𝑒4𝑡
untuk semua bilangan real t . JIka kita misalkan f mempunyai pdf dari X dan
misal
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, … merupakan titik-titik diskret dalam ruang peubah acak X sehingga 𝑓
(𝑥) > 0 , maka,
𝑀 𝑡 =
𝑥
𝑒𝑡𝑥
𝑓(𝑥)
Oleh karena itu,
1
10
𝑒𝑡
+
2
10
𝑒2𝑡
+
3
10
𝑒3𝑡
+
4
19
𝑒4𝑡
= 𝑓 𝑎 𝑒𝑎𝑡
+ 𝑓 𝑏 𝑒𝑏𝑡
+ 𝑓 𝑐 𝑒𝑐𝑡
+ 𝑓(𝑑)𝑒𝑑𝑡
Karena kesamaan ini merupakan suatu identitas, yaitu berlaku untuk semua
bilangan real t, maka ita peroleh
𝑎 = 1, 𝑓 𝑎 =
1
10
, 𝑏 = 2, 𝑓 𝑏 =
2
10
, 𝑐 = 3, 𝑓 𝑐 =
3
10
, 𝑑 = 4, 𝑓 𝑑 =
4
10

15. Jadi pdf dari X adalah f sehingga:
𝑓 𝑥 =
𝑥
10
𝐼(𝑥 = 1,2,3,4)
Teorema 2.6.2 Misal mgf dari peubah acak X ada. Maka
𝐸 𝑋𝑟
= 𝑀𝑟
0 , 𝑟 = 1,2,3, …
𝑀 𝑡 = 1 =
𝑟=1
∞
𝐸(𝑋𝑟
)𝑡𝑟
𝑟!
Bukti
Bukti untuk kasus peubah acak X kontinu. Kita mulai dengan membuktikan bagian pertama, mgf dari X dapat kita
tulis seperti berikut.
𝑀 𝑡 =
−∞
∞
𝑒𝑡𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Jika mgf tersebut ada, maka turunan pertamanya adalah…
𝑀′
𝑡 =
−∞
∞
𝑥𝑒𝑡𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Oleh karena itu,
𝑀′
0 =
−∞
∞
𝑥𝑒0𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
−∞
∞
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐸(𝑋)
Turunan keduanya adalah.
𝑀′′
0 =
−∞
∞
𝑥2
𝑒0𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
−∞
∞
𝑥2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐸(𝐸2
)

16. Proses ini dapat dilanjutkan sampai ke r dimana 𝑟 = 1, 2, … Oleh karena itu kita peroleh
𝑀𝑟
𝑡 =
−∞
∞
𝑥𝑟
𝑒𝑡𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
dan
𝑀𝑟
0 = 𝐸 𝑋𝑟
, 𝑟 = 1,2, …
Untuk membuktikan bagian kedua kita gunakan rumus perluasan deret di sekitar nol, yaitu
𝑀 𝑡 = 𝑀 0 +
𝑀′
0 𝑡
1!
+
𝑀′′
0 𝑡2
1!
+ ⋯ = 𝑀 0 +
𝑟=1
∞
𝑀𝑟
(0)𝑡𝑟
𝑟!
Karena mgf pada saat 𝑡 = 0 adalah satu, maka kita peroleh
𝑀 𝑡 = 1 +
𝑟=1
∞
𝑀(𝑋𝑟
)𝑡𝑟
𝑟!
Bentuk,
𝑀 𝑋𝑟
= 𝑀𝑟
(0)
disebut sebagai momen ke r di sekitar pusat dari peubah acak X. Inilah alasan bahwa 𝑀(𝑡)
disebut fungsi pembangkit momen.

17. Teorema 2.6.3
Misal X dan Y dua peubah acak sehingga
𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏
𝑀𝑌 𝑡 = 𝑒𝑏𝑡
𝑀𝑋(𝑎𝑡)
Bukti
𝑀𝑌 𝑡 = 𝐸 𝑒𝑡𝑌
= 𝐸 𝑒𝑡 𝑎𝑋+𝑏
= 𝐸 𝐸𝑡𝑎𝑋+𝑇𝑏
= 𝐸 𝑒𝑡𝑎𝑥
𝑒𝑡𝑏
= 𝑒𝑡𝑏
𝐸 𝑒𝑡𝑎𝑥
= 𝑒𝑡𝑏
𝑀𝑋(𝑎𝑡)

18. Kesimpulan
Dalam matematika, fungsi pembangkit adalah sebuah
cara menyatakan suku-suku dari barisan takhingga
sebagai koefisien-koefisien suatu deret pangkat formal.
Terdapat berbagai tipe fungsi pembangkit, beberapa
diantaranya fungsi pembangkit biasa, fungsi
pembangkit eksponensial, deret Lambert, deret Bell,
dan deret Dirichlet. Setiap barisan pada prinsipnya
memiliki sebuah fungsi pembangkit untuk setiap tipe
fungsi pembangkit (kecuali deret Lambert dan Dirichlet,
yang memerlukan indeks barisan dimulai dari 1
ketimbang 0), namun tingkat kesulitan untuk
menggunakan setiap tipe dapat berbeda secara
signifikan.

19. Saya tidak bisa merubah arah angin,
namun saya bisa menyesuaikan
pelayaran saya untuk selalu
menggapai tujuan saya.
- Jimmy Dean