analisis bartlet lewis

1. 23
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibahas lebih detail penyelesaian model matematika
SEIV pada penyebaran penyakit hepatitis B berdasarkan studi kasus yang di
lakukan di Provinsi Sulawesi Selatan, diantaranya formulasi model SEIV penyakit
hepatitis B, titik kesetimbangan bebas penyakit, titik kesetimbangan endemik
penyakit, analisis kestabilan dan studi kasusnya. Selanjutnya dilakukan simulasi
model menggunakan program Matlab R2015a.
A. Hasil Penelitian
1. Formulasi Model
Model hepatitis B dengan pengaruh vaksinasi dapat diklasifikasikan
menjadi empat populasi, yaitu populasi Susceptible, populasi Exposed, populasi
Infected, dan populasi Vaccinated. Populasi Susceptible yang disimbolkan
dengan S, adalah populasi manusia yang rentan dan sehat terhadap penyakit.
Populasi Exposed yang disimbolkan dengan E, adalah populasi manusia yang
terinfeksi tetapi belum bisa menularkan penyakit ke individu lainnya atau masih
dalam masa inkubasi. Populasi Infected yang disimbolkan dengan I, adalah
populasi manusia yang telah terinfeksi penyakit dan dapat menularkan
penyakitnya ke individu lainnya. Populasi Vaccinated yang disimbolkan dengan
V, adalah populasi manusia yang tervaksin Hepatitis B tetapi juga dapat

2. 24
menjadi populasi Susceptible kembali karena tidak memiliki kekebalan alami
dari tubuhnya.
Asumsi-asumsi yang digunakan untuk merumuskan model matematika penyakit
hepatitis B, yaitu :
1. Terdapat jumlah kelahiran dan kematian dalam suatu populasi
2. Setiap individu yang lahir akan menjadi rentan
3. Masa inkubasi penyakit hepatitis B 60-90 hari
4. Hanya terdapat satu macam penyebaran penyakit infeksi
5. Populasi konstan (tertutup),
Berdasarkan asumsi-asumsi di atas, diperoleh skema dinamika model
matematika SEIV penyakit hepatitis B, yang ditunjukkan pada Gambar 4.1
Gambar 4.1 Kompartemen model SEIV
S E I
V
𝝁𝑺 𝝁𝑬 𝝁𝑰
𝝁𝑽
𝝎𝑽
𝝆𝝅
𝜸𝑰
𝝈𝑬
𝜷𝑺𝑰
𝝋(𝑰)(𝟏 − 𝝆)𝝅

3. 25
Formulasi untuk model pada gambar 4.1 dituliskan dalam bentuk persamaan
diferensial sebagai berikut :
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= (1 − 𝜌) 𝜋 −
𝛽𝑆𝐼
𝜑( 𝐼)
− 𝜇𝑆 + 𝜔𝑉 (4.1)
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
𝛽𝑆𝐼
𝜑( 𝐼)
− ( 𝜇 + 𝜎) 𝐸 (4.2)
𝑑𝐼
𝑑𝑡
= 𝜎𝐸 − ( 𝜇 + 𝛾) 𝐼 (4.3)
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝜌𝜋 + 𝛾𝐼 − ( 𝜇 + 𝜔) 𝑉 (4.4)
Dengan,
𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡
= Laju pertumbuhan kelompok rentan per satuan waktu t
𝑑𝐸(𝑡)
𝑑𝑡
= Laju pertumbuhan kelompok terekspose per satuan waktu t
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡
= Laju pertumbuhan kelompok terinfeksi per satuan waktu t
𝑑𝑉(𝑡)
𝑑𝑡
= Laju pertumbuhan kelompok tervaksin per satuan waktu t
𝑆 = jumlah individu rentan, dengan 𝑆 ≥ 0.
𝐸 = jumlah individu terekspose, dengan 𝐸 ≥ 0.
𝐼 = jumlah individu terinfeksi, dengan 𝐼 ≥ 0.
𝑉 = jumlah individu tervaksin, dengan 𝑉 ≥ 0.
𝜋 = laju kelahiran dan imigrasi penduduk
𝜌 = tingkat individu yang tervaksin
𝛽 = tingkat individu yang terinfeksi
𝜇 = laju kematian alami
𝜎 = tingkat individu yang terekspose menjadi terinfeksi
𝛾 = tingkat individu terinfeksi yang telah sembuh menjadi individu tervaksin

4. 26
𝜔 = tingkat individu kehilangan kekebalan atau penurunan vaksin
𝜑 = tingkat karantina individu yang terinfeksi atau tindakan perlindungan pada
individu rentan (Abdulrazak et al, 2012).
Populasi susceptible meningkat karena adanya laju kelahiran 𝜋 pada
suatu populasi, individu yang tidak tervaksinasi (1 − 𝜌)𝜋 dan berakhirnya masa
rentan kembali atau hilangnya kekebalan 𝜔 pada individu. Komparteman ini juga
dapat berkurang karena adanya laju kematian bebas penyakit 𝜇𝑆 individu yang
tervaksin 𝜌𝜋, karantina individu yang terinfeksi atau tindakan perlindungan
pada individu rentan 𝜔(𝐼) dan laju penyebaran oleh yang terinfeksi 𝛽. Populasi
exposed dapat meningkat karena kejadian
𝛽𝑆𝐼
𝜔(𝐼)
berkurang karena laju kematian
bebas penyakit serta laju penyebaran individu terekspose menjadi terinfeksi 𝜎𝐸.
Populasi infected meningkat karena adanya laju penyebaran individu terekspose
menjadi terinfeksi 𝜎𝐸 dan berkurang karena mulainya masa pemulihan 𝛾𝐼,
adanya laju kematian bebas penyakit 𝜇𝐼. Populasi vaccinated dapat meningkat
karena individu rentan yang tervaksin 𝜌𝜋, berakhirnya masa pemulihan 𝛾𝐼,
dan dapat pula berkurang karena adanya laju kematian bebas penyakit 𝜇𝑉
serta mulainya masa rentan kembali atau hilangnya kekebalan 𝜔𝑉 pada individu.
Sesuai dengan asumsi tentang model SEIV, populasi diasumsikan tertutup
sehingga faktor migrasi diabaikan. Hal tersebut dikarenakan migrasi dapat
memberikan pengaruh terhadap perubahan model. Individu baru yang masuk
dalam populasi yaitu kelahiran, laju kelahiran dihitung berdasarkan dari jumlah
individu yang lahir per satuan waktu disimbolkan dengan 𝜋. Individu yang keluar
yaitu individu yang mati secara alami, dimana laju kematian bebas penyakit

5. 27
disimbolkan dengan 𝜇. Nilai 𝜋 diperoleh dari kebalikan angka harapan hidup.
Model SEIV ini menjelaskan bahwa setiap individu dapat memiliki kekebalan
terhadap penyakit dengan pemberian vaksin, sehingga individu yang rentan tidak
dapat terserang penyakit atau terserang penyakit tetapi tidak akan menjadi parah.
Selain itu, individu rentan yang telah pulih akan terinfeksi kembali dan masuk
pada kelompok rentan.
Parameter yang digunakan dapat dilihat pada Tabel 4.1 berikut ini.
Parameter Definisi Formulasi
𝜋 Laju kelahiran
individu, kehadiran
individu baru
diasumsikan masuk ke
dalam kelompok rentan
𝜋 =
𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢 𝑏𝑎𝑟𝑢
𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛
=
150.931 jiwa
12 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛
= 12.577,583333333 jiwa
/bulan
𝜌 Tingkat individu rentan
yang divaksinasi per
bulan
𝜌 =
𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑏𝑎𝑦𝑖 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑘𝑠𝑖𝑛
𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑒𝑙𝑎ℎ𝑖𝑟𝑎𝑛
=
559.950
150.931
= 0,3091644526 /bulan
𝛽 Tingkat individu rentan
yang terinfeksi
𝛽 =
1
𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑒𝑚𝑢𝑙𝑖ℎ𝑎𝑛
=
1
821.950 x 6 bulan
= 0.0000002028/bulan

6. 28
𝜇 Laju kemtian alami
𝜇 =
1
𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 ℎ𝑎𝑟𝑎𝑝𝑎𝑛 ℎ𝑖𝑑𝑢𝑝
=
1
70,1
=
1
841,2 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛
= 0,0011887779/bulan
𝜎 Tingkat transmisi
penyebaran individu
exposed menjadi
individu infected
dengan
𝜎 adalah per masa
inkubasi
𝜎 =
1
𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑖𝑛𝑘𝑢𝑏𝑎𝑠𝑖
=
1
(60 + 90)/2ℎ𝑎𝑟𝑖
=
1
2,5 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛
= 0,4/bulan
𝛾 Tingkat indivudu
terinfeksi yang telah
sembuh menjadi
individu tervaksin
𝛾 =
1
𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑒𝑚𝑢𝑙𝑖ℎ𝑎𝑛
=
1
6 bulan
= 0,1667/bulan
𝜔 Tingkat individu
kehilanagn kekebalan
atau penurunn vaksin
sehingga individu akan
menjadi rentan kembali
terhadap penyakit
𝜔 =
1
𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑚𝑏𝑎𝑙𝑖
=
1
209 hari
=
1
6,96 bulan
= 0,14/bulan
𝜑 Tingkat karantina
individu yang terinfeksi
𝜑( 𝐼) = 𝜑(0) = 1
(berarti tidak ada individu yang

7. 29
atau tindakan
perlindungan pada
individu rentan
dikarantina)
2. Titik Keseimbangan Bebas Penyakit pada Model SEIV Penyakit Hepatitis
B
Titik keseimbangan diperoleh jika
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 0,
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= 0,
𝑑𝐼
𝑑𝑡
= 0,
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 0. Titik
kesetimbangan bebas penyakit (diseases free equilibrium) diperoleh jika 𝐸 = 0
dan 𝐼 = 0 sehingga diperoleh suatu keadaan bahwa semua individu masuk ke
populasi suceptible dan vaccinated serta tidak ada induvidu yang menularkan
atau terinfeksi penyakit karena penyakit tersebut sudah hilang.
Substitusikan 𝐼 = 0 pada persamaan (4.4),
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝜌𝜋 + 𝛾𝐼 − ( 𝜇 + 𝜔) 𝑉 = 0
𝜌𝜋 = ( 𝜇 + 𝜔) 𝑉
Sehingga diperoleh,
𝑉0 =
𝜌𝜋
( 𝜇+𝜔)
(4.5)
Kemudian subtitusikan 𝐼 = 0 dan persamaan (4.5) ke persamaan (4.1),
(1 − 𝜌) 𝜋 −
𝛽𝑆𝐼
𝜑(𝐼)
− 𝜇𝑆 + 𝜔𝑉 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝜑(𝐼) = 𝜑(0) = 1
(1 − 𝜌) 𝜋 −
𝛽𝑆𝐼
𝜑(𝐼)
− 𝜇𝑆 + 𝜔𝑉 = 0
(1 − 𝜌) 𝜋 − 𝜇𝑆 +
𝜔𝜌𝜋
(𝜇+𝜔)
= 0

8. 30
(1 − 𝜌) 𝜋 +
𝜔𝜌𝜋
(𝜇+𝜔)
= 𝜇𝑆
Sehingga di peroleh,
𝑆0 =
(1−𝜌) 𝜋
𝜇
+
𝜔𝜌𝜋
𝜇(𝜇+𝜔)
(4.6)
Jadi titik kesetimbangan bebas penyakitnya adalah 𝐸0
= 𝑆0, 𝐸0, 𝐼0, 𝑉0 =
(1−𝜌) 𝜋
𝜇
+
𝜔𝜌𝜋
𝜇( 𝜇+𝜔)
,0,0,
𝜌𝜋
( 𝜇+𝜔)
3. Titik Kesetimbangan endemik pada Model SEIV Penyakit Hepatitis B
Titik kesetimbangan diperoleh jika
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 0,
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= 0,
𝑑𝐼
𝑑𝑡
= 0,
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 0. Titik
kesetimbangan bebas endemik diperoleh jika 𝐸 ≠ 0 dan 𝐼 ≠ 0 sehingga
diperoleh suatu keadaan bahwa semua ada individu yang terinfeksi penyakit
maupun individu yang terekspose dan dapat menularkan penyakitnya sehingga
dapat menimbulkan endemik hepatitis B.
Untuk
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= 0 pada persamaan (4.2) maka :
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
𝛽𝑆𝐼
𝜑(𝐼)
− ( 𝜇 + 𝜎) 𝐸 = 0 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝜑( 𝐼) = 𝜑(0) = 1
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= 𝛽𝑆𝐼 − ( 𝜇 + 𝜎) 𝐸 = 0
𝛽𝑆𝐼 − ( 𝜇 + 𝜎) 𝐸 = 0
𝛽𝑆𝐼 = ( 𝜇 + 𝜎) 𝐸
𝐸 =
𝛽𝑆𝐼
( 𝜇+𝜎)
(4.7)
Untuk
𝑑𝐼
𝑑𝑡
= 0, subtitusikan persamaan (4.7) ke persamaan (4.3),
𝑑𝐼
𝑑𝑡
= 𝜎𝐸 − ( 𝜇 + 𝛾) 𝐼 = 0

9. 31
𝜎𝐸 − ( 𝜇 + 𝛾) 𝐼 = 0
𝜎 (
𝛽𝑆𝐼
( 𝜇+𝜎)
) − ( 𝜇 + 𝛾) 𝐼 = 0
𝐼 (
𝛽𝑆𝜎
( 𝜇+𝜎)
− ( 𝜇 + 𝛾)) = 0
𝐼 = 0, (
𝛽𝑆𝜎
( 𝜇+𝜎)
) = ( 𝜇 + 𝛾) (4.8)
Sehingga diperoleh nilai untuk susceptible ( 𝑆1)
𝑆1 =
( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾)
𝛽𝜎
(4.9)
Untuk
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 0, pada persamaan (4.4) maka
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝜌𝜋 + 𝛾𝐼 − ( 𝜇 + 𝜔) 𝑉 = 0,
𝜌𝜋 + 𝛾𝐼 − ( 𝜇 + 𝜔) 𝑉 = 0,
𝜌𝜋 + 𝛾𝐼 = ( 𝜇 + 𝜔) 𝑉,
𝑉 =
𝜌𝜋+𝛾𝐼
( 𝜇+𝜔)
. (4.10)
Untuk
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 0, subtitusikan persamaan (4.9) dan (4.10) ke persamaan (4.1),
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= (1 − 𝜌) 𝜋 −
𝛽𝑆𝐼
𝜑( 𝐼)
− 𝜇𝑆 + 𝜔𝑉 = 0 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝜑(𝐼) = 𝜑(0) = 1,
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= (1 − 𝜌) 𝜋 −
𝛽𝑆𝐼
𝜑( 𝐼)
− 𝜇𝑆 + 𝜔𝑉 = 0,
(1 − 𝜌) 𝜋 −
𝛽𝑆𝐼
𝜑( 𝐼)
− 𝜇𝑆 + 𝜔𝑉 = 0,
(1 − 𝜌) 𝜋 −
𝛽( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾) 𝐼
𝛽𝜎
−
𝜇(( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾))
𝛽𝜎
+ 𝜔 (
𝜌𝜋+𝛾𝐼
( 𝜇+𝜔)
) = 0,
(1 − 𝜌) 𝜋 −
( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾) 𝐼
𝜎
−
𝜇(( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾))
𝛽𝜎
+
𝜔𝜌𝜋
( 𝜇+𝜔)
+
𝜔𝛾𝐼
( 𝜇+𝜔)
= 0,
(1 − 𝜌) 𝜋 −
𝜇(( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾))
𝛽𝜎
+
𝜔𝜌𝜋
( 𝜇+𝜔)
= 𝐼 (
( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾)
𝜎
−
𝜔𝛾
( 𝜇+𝜔)
) = 0,

10. 32
𝐼 =
(1−𝜌) 𝜋−
𝜇(( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾))
𝛽𝜎
+
𝜔𝜌𝜋
( 𝜇+𝜔)
( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾)
𝜎
−
𝜔𝛾
( 𝜇+𝜔)
,
𝐼 = ((1 − 𝜌) 𝜋 −
𝜇(( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾))
𝛽𝜎
+
𝜔𝜌𝜋
( 𝜇+𝜔)
) (
𝜎( 𝜇+𝜔)
( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾)( 𝜇+𝜔)−𝜔𝛾𝜎
),
𝐼 = (
(1−𝜌) 𝜋𝛽𝜎( 𝜇+𝜔)−𝜇( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾)( 𝜇+𝜔)+𝜔𝜌𝜋𝛽𝜎
𝛽𝜎( 𝜇+𝜔)
) (
𝜎( 𝜇+𝜔)
( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾)( 𝜇+𝜔)−𝜔𝛾𝜎
),
𝐼 = (
(1−𝜌) 𝜋𝛽𝜎( 𝜇+𝜔)−𝜇( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾)( 𝜇+𝜔)+𝜔𝜌𝜋𝛽𝜎
𝛽(( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾)( 𝜇+𝜔)−𝜔𝛾𝜎)
),
Sehingga diperoleh nilai untuk infected (𝐼1) ;
𝐼1 = (
(1−𝜌) 𝜋𝛽𝜎( 𝜇+𝜔)−𝜇( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾)( 𝜇+𝜔)+𝜔𝜌𝜋𝛽𝜎
𝛽(( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾)( 𝜇+𝜔)−𝜔𝛾𝜎)
), (4.11)
Subtitusikan persamaan (4.11) ke persamaan (4.7),
𝐸 =
𝛽𝑆𝐼
( 𝜇+𝜎)
= 𝛽 (
( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾) 𝐼
𝛽𝜎
) (
(1−𝜌) 𝜋𝛽𝜎( 𝜇+𝜔)−𝜇( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾)( 𝜇+𝜔)+𝜔𝜌𝜋𝛽𝜎
𝛽(( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾)( 𝜇+𝜔)−𝜔𝛾𝜎)
)
1
( 𝜇+𝜎)
,
= (
(1−𝜌) 𝜋𝛽𝜎( 𝜇+𝛾)( 𝜇+𝜔)−𝜇( 𝜇+𝛾)2( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝜔)+𝜔𝜌𝜋𝛽𝜎 ( 𝜇+𝛾)
𝛽𝜎(( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾)( 𝜇+𝜔)−𝜔𝛾𝜎)
). (4.12)
Sehingga diperoleh nilai untuk infected (𝐸1) ∶
𝐸1 = (
(1−𝜌) 𝜋𝛽𝜎( 𝜇+𝛾)( 𝜇+𝜔)−𝜇( 𝜇+𝛾)2( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝜔)+𝜔𝜌𝜋𝛽𝜎( 𝜇+𝛾)
𝛽𝜎(( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾)( 𝜇+𝜔)−𝜔𝛾𝜎)
)
Subtitusikan persamaan (4.11) ke persamaan (4.10),
𝑉 =
𝜌𝜋+𝛾𝐼
( 𝜇+𝜔)
,
= (𝜌𝜋 + 𝛾 (
(1−𝜌) 𝜋𝛽𝜎( 𝜇+𝜔)−𝜇( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾)( 𝜇+𝜔)+𝜔𝜌𝜋𝛽𝜎
𝛽(( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾)( 𝜇+𝜔)−𝜔𝛾𝜎)
))
1
( 𝜇+𝜔)
,
= (
𝜌𝜋𝛽( 𝜇+𝜔)(( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾)( 𝜇+𝜔)−𝜔𝛾𝜎)+𝛾𝜋𝛽𝜎(1−𝜌)( 𝜇+𝜔)−𝛾𝜇( 𝜇+𝛾)( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝜔)+𝛾𝜔𝜌𝜋𝛽𝜎
𝛽( 𝜇+𝜔)(( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾)( 𝜇+𝜔)−𝜔𝛾𝜎)
),
Sehingga diperoleh nilai untuk vaccinated (𝑉1):

11. 33
𝑉1 =
(
𝜌𝜋𝛽( 𝜇+𝜔)(( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾)( 𝜇+𝜔)−𝜔𝛾𝜎)+𝛾𝜋𝛽𝜎(1−𝜌)( 𝜇+𝜔)−𝛾𝜇( 𝜇+𝛾)( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝜔)+𝛾𝜔𝜌𝜋𝛽𝜎
𝛽( 𝜇+𝜔)(( 𝜇+𝜎)( 𝜇+𝛾)( 𝜇+𝜔)−𝜔𝛾𝜎)
),
(4.13)
Sehingga diperoleh titik kesetimbangan endemik sebagai berikut:
𝐸1
= ( 𝑆1, 𝐸1, 𝐼1, 𝑉1 ) =
(
( 𝜇 + 𝛾)( 𝜇 + 𝜎)
𝛽𝜎
),
(
(1 − 𝜌) 𝜋𝛽𝜎( 𝜇 + 𝛾)( 𝜇 + 𝜔) − 𝜇( 𝜇 + 𝛾)2 ( 𝜇 + 𝜎)( 𝜇 + 𝜔) + 𝜔𝜌𝜋𝛽𝜎( 𝜇 + 𝛾)
𝛽𝜎(( 𝜇 + 𝜎)( 𝜇 + 𝛾)( 𝜇 + 𝜔) − 𝜔𝛾𝜎)
),
(
(1 − 𝜌) 𝜋𝛽𝜎( 𝜇 + 𝜔) − 𝜇( 𝜇 + 𝜎)( 𝜇 + 𝛾)( 𝜇 + 𝜔) + 𝜔𝜌𝜋𝛽𝜎
𝛽(( 𝜇 + 𝜎)( 𝜇 + 𝛾)( 𝜇 + 𝜔) − 𝜔𝛾𝜎)
),
(
𝜌𝜋𝛽( 𝜇 + 𝜔)(( 𝜇 + 𝜎)( 𝜇 + 𝛾)( 𝜇 + 𝜔) − 𝜔𝛾𝜎) + 𝛾𝜋𝛽𝜎(1 − 𝜌)( 𝜇 + 𝜔)
𝛽( 𝜇 + 𝜔)(( 𝜇+ 𝜎)( 𝜇 + 𝛾)( 𝜇 + 𝜔) − 𝜔𝛾𝜎)
−
𝛾𝜇( 𝜇 + 𝛾)( 𝜇 + 𝜎)( 𝜇 + 𝜔) + 𝛾𝜔𝜌𝜋𝛽𝜎
𝛽( 𝜇 + 𝜔)(( 𝜇 + 𝜎)( 𝜇 + 𝛾)( 𝜇 + 𝜔) − 𝜔𝛾𝜎)
).
4. Analisis Kestabilan pada Titik Kesetimbangan Model SEIV
Setelah diperoleh titik kesetimbangan, selanjutnya menentukan matriks
Jacobian dengan linearisasi di sekitar titik kesetimbangan bebas penyakit yang ada
pada model SEIV. Persamaan yang akan dilinerisasi adalah sebagai berikut :
𝑓( 𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑉) = (1 − 𝜌) 𝜋 − 𝛽𝑆𝐼 − 𝜇𝑆 + 𝜔𝑉,
𝑔( 𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑉) = 𝛽𝑆𝐼 − (𝜇 + 𝜎)𝐸,
ℎ( 𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑉) = 𝜎𝐸 − ( 𝜇 + 𝛾) 𝐼,
𝑖( 𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑉) = 𝜌𝜋 + 𝛾𝐼 − ( 𝜇 + 𝜔) 𝑉,

12. 34
Keempat persamaan nonlinear diatas dapat dilinearkan sebagai berikut :
𝜕𝑓
𝜕𝑆
=
𝜕((1−𝜌) 𝜋−𝛽𝑆𝐼−𝜇𝑆+𝜔𝑉)
𝜕𝑆
= −𝛽𝐼 − 𝜇,
𝜕𝑓
𝜕𝐸
=
𝜕((1−𝜌) 𝜋−𝛽𝑆𝐼−𝜇𝑆+𝜔𝑉)
𝜕𝐸
= 0,
𝜕𝑓
𝜕𝐼
=
𝜕((1−𝜌) 𝜋−𝛽𝑆𝐼−𝜇𝑆+𝜔𝑉)
𝜕𝐼
= −𝛽𝑆,
𝜕𝑓
𝜕𝑉
=
𝜕((1−𝜌) 𝜋−𝛽𝑆𝐼−𝜇𝑆+𝜔𝑉)
𝜕𝑉
= 𝜔,
𝜕𝑔
𝜕𝑆
=
𝜕(𝛽𝑆𝐼−( 𝜇+𝜎) 𝐸)
𝜕𝑆
= 𝛽𝐼,
𝜕𝑔
𝜕𝐸
=
𝜕(𝛽𝑆𝐼−( 𝜇+𝜎) 𝐸)
𝜕𝐸
= (𝜇 + 𝜎),
𝜕𝑔
𝜕𝐼
=
𝜕(𝛽𝑆𝐼−( 𝜇+𝜎) 𝐸)
𝜕𝐼
= 𝛽𝑆,
𝜕𝑔
𝜕𝑉
=
𝜕(𝛽𝑆𝐼−( 𝜇+𝜎) 𝐸)
𝜕𝑉
= 0,
𝜕ℎ
𝜕𝑆
=
𝜕(𝜎𝐸−( 𝜇+𝛾) 𝐼)
𝜕𝑆
= 0,
𝜕ℎ
𝜕𝐸
=
𝜕(𝜎𝐸−( 𝜇+𝛾) 𝐼)
𝜕𝐸
= 𝜎,
𝜕ℎ
𝜕𝐼
=
𝜕(𝜎𝐸−( 𝜇+𝛾) 𝐼)
𝜕𝐼
= −( 𝜇 + 𝛾),
𝜕ℎ
𝜕𝑉
=
𝜕(𝜎𝐸−( 𝜇+𝛾) 𝐼)
𝜕𝑉
= 0,
𝜕𝑖
𝜕𝑆
=
𝜕(𝜌𝜋+𝛾𝐼−( 𝜇+𝜔) 𝑉)
𝜕𝑆
= 0,
𝜕𝑖
𝜕𝐸
=
𝜕(𝜌𝜋+𝛾𝐼−( 𝜇+𝜔) 𝑉)
𝜕𝐸
= 0,
𝜕𝑖
𝜕𝐼
=
𝜕(𝜌𝜋+𝛾𝐼−( 𝜇+𝜔) 𝑉)
𝜕𝐼
= 𝛾,
𝜕𝑖
𝜕𝑉
=
𝜕(𝜌𝜋+𝛾𝐼−( 𝜇+𝜔) 𝑉)
𝜕𝑉
= −( 𝜇 + 𝜔). (4.14)
Linearisasi yang telah dilakukan diatas merupakan matriks Jacobian 𝐽1,

13. 35
𝑓1 =
[
𝜕𝑓
𝜕𝑆
𝜕𝑓
𝜕𝐸
𝜕𝑓
𝜕𝐼
𝜕𝑔
𝜕𝑆
𝜕𝑔
𝜕𝐸
𝜕𝑔
𝜕𝐼
𝜕ℎ
𝜕𝑆
𝜕ℎ
𝜕𝐸
𝜕ℎ
𝜕𝐼
𝜕𝑖
𝜕𝑆
𝜕𝑖
𝜕𝐸
𝜕𝑖
𝜕𝐼
𝜕𝑓
𝜕𝑉
𝜕𝑔
𝜕𝑉
𝜕ℎ
𝜕𝑉
𝜕𝑖
𝜕𝑉]
(4.15)
Selanjutnya, dari semua persamaan (4.14) disubtitusikan ke matriks Jacobian
(4.15), sehingga diperoleh:
𝐽1 = [
−𝛽𝐼 − 𝜇 0 −𝛽𝑆 𝜔
𝛽𝐼 −(𝜇 + 𝜎) 𝛽𝑆 0
0 𝜎 −(𝜇 + 𝛾) 0
0 0 𝛾 −( 𝜇 + 𝜔)
] (4.16)
Titik kestabilan bebas penyakit (disease free equilibrium) 𝐸0
= (𝑆0, 𝐸0, 𝐼0, 𝑉0) =
(
(1−𝜌)𝜋
𝜋
+
𝜔𝜌𝜋
𝜇(𝜇+𝜔)
, 0,0,
𝜌𝜋
(𝜇+𝜔)
) dievaluasi pada matriks Jacobian (4.16), sehingga di
peroleh:
𝐽2 =
[
−𝜇 0 −𝛽 [
(1−𝜌)𝜋
𝜇
+
𝜔𝜌𝜋
𝜇(𝜇+𝜔)
] 𝜔
0 −(𝜇 + 𝜎) 𝛽 [
(1−𝜌)𝜋
𝜇
+
𝜔𝜌𝜋
𝜇(𝜇+𝜔)
] 0
0 𝜎 −(𝜇 + 𝛾) 0
0 0 𝛾 −(𝜇 + 𝜔)]
(4.17)
Untuk mencari nilai eigen (eigen value) 𝜆 matriks 𝐽2 yang berukuran 4 × 4, maka
matriks 𝐽2 dituliskan sebagai (𝜆𝑰 − 𝐽2)𝒙 = 0, dengan 𝑰 adalah matriks identitas,
agar λ menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan taknol dari persamaan
(𝜆𝑰 − 𝐽2)𝒙 = 0. Persamaan tersebut mempunyai pemecahan teknol jika dan
hanya jika:
𝑑𝑒𝑡(𝜆𝑰 − 𝐽2) = 0
Persamaan karakteristik untuk matriks Jacobian (4.17) yang dievaluasi di titik
kesetimbangan bebas penyakit adalah sebagai berikut:

14. 36
|
|−( 𝜇 + 𝜆)
0
0
0
0
−( 𝜇 + 𝜎 + 𝜆)
𝜎
0
−𝛽 [
(1 − 𝜌) 𝜋
𝜇
+
𝜔𝜌𝜋
𝜇( 𝜇 + 𝜔)
]
𝛽 [
(1 − 𝜌) 𝜋
𝜇
+
𝜔𝜌𝜋
𝜇( 𝜇 + 𝜔)
]
−( 𝜇 + 𝛾 + 𝜆)
𝛾
𝜔
0
0
−( 𝜇 + 𝜔 + 𝜆)|
|
Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama, sehingga
persamaan karakteristiknya adalah:
−( 𝜇 + 𝜆) [−( 𝜇 + 𝜎 + 𝜆)( 𝜇 + 𝛾 + 𝜆)( 𝜇 + 𝜔 + 𝜆) + 𝛽[
(1−𝜌) 𝜋
𝜇
+
𝜔𝜌𝜋
𝜇( 𝜇+𝜔)
] ( 𝜇 +
𝜔 + 𝜆)] = 0,
( 𝜇 + 𝜆)( 𝜇 + 𝜔 + 𝜆) = 0 atau
[( 𝜇 + 𝜎 + 𝜆)( 𝜇 + 𝛾 + 𝜆) − 𝛽𝜎 [
(1−𝜌) 𝜋
𝜇
+
𝜔𝜌𝜋
𝜇( 𝜇+𝜔)
]] = 0,
( 𝜇 + 𝜆) = 0 sehingga 𝜆1 = −𝜇,
( 𝜇 + 𝜔 + 𝜆) = 0 sehingga 𝜆2 = −( 𝜇 +
𝜔)(𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑒𝑖𝑔𝑒𝑛 𝜆1 𝑑𝑎𝑛 𝜆2 𝑏𝑒𝑟𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓),
[( 𝜇 + 𝜎 + 𝜆)( 𝜇 + 𝛾 + 𝜆) − 𝛽𝜎 [
(1−𝜌) 𝜋
𝜇
+
𝜔𝜌𝜋
𝜇( 𝜇+𝜔)
]] = 0,
𝜆2
+ 𝜆(2𝜇 + 𝜎) + (𝜇2
+ 2𝜇𝛾 + 𝜇𝜎 + 𝜎𝛾) − 𝛽𝜎 [
(1−𝜌) 𝜋
𝜇
+
𝜔𝜌𝜋
𝜇( 𝜇+𝜔)
] = 0, (4.18)
Selanjutnya, analisis kestabilan pada persamaan (4.18) dapat di peroleh dengan
menggunakan tabel Routh-Hurwits seperti pada tabel 4.1.
Tabel 4.1 Routh-Hurwitz
𝜆2
1 (𝜇2
+ 2𝜇𝛾 + 𝜇𝜎 + 𝜎𝛾)
−𝛽𝜎 [
(1 − 𝜌) 𝜋
𝜇
+
𝜔𝜌𝜋
𝜇( 𝜇 + 𝜔)
]

15. 37
𝜆1
(2𝜇 + 𝜎) 0
𝜆0 ( 𝜇2
+ 2𝜇𝛾 + 𝜇𝜎 + 𝜎𝛾)
−𝛽𝜎 [
(1 − 𝜌) 𝜋
𝜇
+
𝜔𝜌𝜋
𝜇( 𝜇 + 𝜔)
]
Agar sistem stabil, maka semua suku kolom pertama tabel Routh-Hurwitz harus
bertanda positif. Agar semua suku bertanda positif, maka :
( 𝜇2
+ 2𝜇𝛾 + 𝜇𝜎 + 𝜎𝛾) − 𝛽𝜎 [
(1−𝜌) 𝜋
𝜇
+
𝜔𝜌𝜋
𝜇( 𝜇+𝜔)
] > 0,
( 𝜇2
+ 2𝜇𝛾 + 𝜇𝜎 + 𝜎𝛾) > 𝛽𝜎 [
(1−𝜌) 𝜋
𝜇
+
𝜔𝜌𝜋
𝜇( 𝜇+𝜔)
],
(
1
( 𝜇2+2𝜇𝛾+𝜇𝜎+𝜇𝛾)
) 𝛽𝜎 [
(1−𝜌) 𝜋
𝜇
+
𝜔𝜌𝜋
𝜇( 𝜇+𝜔)
] < 1,
Sehingga nilai bilangan reproduksi dasar 𝑅0 untuk model SEIV pada penyakit
hepatitis B adalah
(
1
( 𝜇2+2𝜇𝛾+𝜇𝜎+𝜇𝛾)
)(𝛽𝜎 [
(1−𝜌) 𝜋
𝜇
+
𝜔𝜌𝜋
𝜇( 𝜇+𝜔)
]),
Titik kesetimbangan bebas penyakit adalah :
𝐸0
= ( 𝑆0, 𝐸0, 𝐼0, 𝑉0) = (
(1−𝜌) 𝜋
𝜇
+
𝜔𝜌𝜋
𝜇( 𝜇+𝜔)
, 0,0,
𝜌𝜋
( 𝜇+𝜔)
) stabil asimtotik jika
(
1
( 𝜇2+2𝜇𝛾+𝜇𝜎+𝜇𝛾)
)(𝛽𝜎 [
(1−𝜌) 𝜋
𝜇
+
𝜔𝜌𝜋
𝜇( 𝜇+𝜔)
]) < 1 yang menunjukkan bahwa suatu
populasi tidak terjadi penyebaran penyakit. Stabil asimtotik berarti perubahan
kecil pada syarat awal tidak menimbulkan pengaruh pada penyelesaian.
Sedangkan jika (
1
( 𝜇2+2𝜇𝛾+𝜇𝜎+𝜇𝛾)
) (𝛽𝜎 [
(1−𝜌) 𝜋
𝜇
+
𝜔𝜌𝜋
𝜇( 𝜇+𝜔)
]) > 1 maka akan
menunjukkan bahwa titik kesetimbangan endemik yang stabil asimtotik atau
dengan kata lain selalu terjadi penyebaran penyakit pada suatu populasi.

16. 38
5. Studi Kasus Model SEIV pada Penyebaran Penyakit Hepatitis B
Penyakit hepatitis B merupakan penyakit carrier (pembawa) yang
kebanyakan diderita sejak lahir karena ditularkan langsung dari ibu penderita
ke bayinya, tetapi tidak menutup kemungkinan ditularkan dari orang per orang
melalui kontak langsung dari penderita ke individu sehat melalui cairan
tubuhnya.
Estimasi parameter model SEIV pada penyakit hepatitis B ini dilakukan
pada populasi manusia. Laju kelahiran manusia yang dinotasikan dengan 𝜋, dapat
dihitung berdasarkan jumlah bayi yang lahir per unit waktu. Berdasarkan data
yang diambil dari dinas kesehatan Provinsi Sulawesi Selatan, jumlah bayi yang
lahir di Provinsi Sulawesi Selatan pada tahun 2015 yaitu 150.931 jiwa. Jadi
rata-rata kelahiran bayi per bulan adalah 12.577,583333333 jiwa atau 𝜋 =
12.577,58333333 jiwa bulan. Laju vaksinasi dihitung berdasarkan jumlah bayi
yang tervaksin dibagi dengan jumlah kelahiran, yang dinotasikan dengan 𝜌. Data
vaksinasi diambil dari Dinas Kesehatan Provinsi Sulawesi Selatan, jumlah
vaksinasi pada tahun 2015 yaitu 559.950. Jadi laju per bulan adalah
0,3091644526 jiwa per bulan. Tidak semua bayi lahir mendapatkan vaksinasi,
sehingga diasumsikan (1 − 𝜌) adalah laju populasi bayi di Provinsi Sulawesi
Selatan yang tidak mendapatkan vaksinasi, maka
(1 − 𝜌) = 1 − 0,3091644526 = 0,6908355474.
Pengaruh karantina diasumsikan 𝜑( 𝐼) = 𝜑(0) = 1, karena selama ini
di Sulawesi Selatan tidak ditemukan adanya karantina yang disebabkan oleh

17. 39
hepatitis B. Laju kematian alami diestimasi berdasarkan rata-rata angka harapan
hidup. Berdasarkan data dari Badan Pusat Statistika Provinsi Sulawesi Selatan
memiliki angka harapan hidup sebesar 70,1 tahun Jadi laju kematian adalah
sebesar 𝜇 =
1
𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 ℎ𝑎𝑟𝑎𝑝𝑎𝑛 ℎ𝑖𝑑𝑢𝑝
=
1
70,1
=
1
841 ,2 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛
= 0,0011887779/bulan
Secara umum, jika 𝑇 adalah waktu yang dihabiskan dalam suatu
kompartemen, maka laju individu yang meninggalakan kompartemen adalah
1
𝑇
.
Rata-rata masa inkubasi untuk penyakit hepatitis B adalah 60-90 hari. Setelah
60-90 hari maka manusia akan meninggalakan kompartemen exposed.
Tingkat infektivitas 𝜎 adalah tingkat transisi dari exposed ke infected, jadi 𝜎 =
1
𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑖𝑛𝑘𝑢𝑏𝑎𝑠𝑖
=
1
(60+90)/2ℎ𝑎𝑟𝑖
=
1
2,5 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛
= 0,4/bulan.
Tahun 2015 jumlah penduduk Provinsi Sulawesi Selatan sebanyak
8.520.304 jiwa adalah termasuk jumlah populasi S (susceptible) karena tiap-tiap
individu memiliki kemungkinan terinfeksi hepatitis B. Akan tetapi, populasi
susceptible yang diambil pada studi kasus ini sebanyak 821.950 jiwa yang
didapat dari 150.931 bayi dan 671.019 balita. Pada awal pertumbuhannya, nilai
untuk populasi exposed sebesar 0 jiwa yang merupakan titik awal dari
penyebaran penyakit dimana individu dalam populasi exposed belum
diketahui secara pasti berapa individu yang masuk dalam masa inkubasi ini.
Populasi exposed ini merupakan kumpulan dari individu yang sudah terjangkit
virus hepatitis B yang hanya menunjukkan gejala tetapi belum sakit. Populasi
infected yang dinotasikan dengan I didapatkan dengan menghitung dari jumlah
kasus hepatitis B yakni sebanyak 504 jiwa. Populasi tervaksinasi (vaccinated)

18. 40
dihitung dari jumlah populasi bayi yang diberi vaksin sebanyak 559.950 jiwa
yang didapatkan dari 150.227 HB0<7hari, 140.490 HB1, 135.285 HB2, 133.948
HB3 karena wajib vaksinasi diberikan 4 kali pada bayi dengan 3 dosis.
Studi kasus penyebaran penyakit Hepatitis B memiliki beberapa
parameter. Parameter yang telah diperoleh tersebut kemudian dimasukkan ke
persamaan (4.1) sampai persamaan (4.4), sehingga didapatkan formulasi model
SEIV untuk kasus penyakit hepatitis B di Provinsi Sulawesi Selatan pada tahun
2015 sebagai berikut:
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= (1 − 0,3091644526)12.577,583333333 − 0,0000002028𝑆𝐼 −
0,0011887779+ 0,14𝑉
𝑆(0) = 821.950 (4.17)
𝑑𝐼
𝑑𝑡
= 0,0000002028𝑆𝐼 − (0,0011887779+ 0,4) 𝐸
𝐸(0) = 0 (4.18)
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= 0,4𝐸 − (0,0011887779+ 0,1667) 𝐼
𝐼(0) = 504 (4.19)
𝑑𝐼
𝑑𝑡
= (0,3091644526)12.577,583333333 − (0,0011887779+ 0,14)𝑉
𝑉(0) = 559.950 (4.20)
6. Simulasi Model SEIV pada Penyebaran Penyakit Hepatitis B
Dari formulasi model SEIV yaitu persamaan (4.1) sampai persamaan (4.4)
dapat diplot seperti pada Gambar 4.1. Berdasarkan model SEIV pada penyakit
hepatitis B di Provinsi Sulawesi Selatan yang telah didapat, menghasilkan

19. 41
bilangan reproduksi dasar ( 𝑅0) sebesar 12,669 dan titik kesetimbangan bebas
penyakit sebesar
𝐸0
= ((10.550.765,93),(0),(0),(27.526,7571)) ≈ (10.550.766,0, 0, 27.527)
yang stabil asimtotik, berarti bahwa pada populasi penduduk di Provinsi Sulawesi
Selatan sekitar 8.520.304 jiwa tidak ada individu yang terinfeksi dan tidak ada
yang dapat menularkan penyakit hepatitis B. Sedangkan untuk titik
kesetimbangan endemiknya diperoleh sebesar
𝐸1
=
((830.315,8288),(1.568.942,052),(3,738.046,093),(4.440.988,738)) ≈
((830.316),(1.568.942),(3,738.046),(4.440.989)). Merupakan titik awal
populasi konstan yang berarti bahwa pada waktu tertentu dengan pemberian
vaksin masih ada individu yang terinfeksi penyakit dan individu yang dapat
menularkan penyakit sehingga dapat menimbulkan endemik hepatitis B. Nilai
𝑅0 = 12,669 ( 𝑅0 > 1) mempunyai arti bahwa penyakit hepatitis B yang terjadi
di Provinsi Sulawesi Selatan tidak akan hilang dari populasi dan dapat
menyebabkan endemik dan meluas karena penyakit hepatitis B termasuk
penyakit yang tidak dapat sembuh dan penyakit bawaan (carrier) yang dapat
dengan mudah menular dari ibu ke bayinya melalui proses kelahiran dan melalui
cairan tubuh penderita ke individu sehat. Nilai 𝑅0 melebihi 1 menunjukkan
bahwa setiap penderita hepatitis B dapat menularkan penyakitnya ke lebih dari
satu penderita baru atau individu rentan sehingga seiring berjalannya waktu
penyakit tersebut menyebar semakin luas dengan jumlah penderita yang semakin
banyak.

20. 42
(perbesaran)
Gambar 4.2 Plot Susceptible,Exposed,Infected,Vaccinated model SEIV pada
hepatitis B
Gambar 4.2 merupakan plot dari keempat kompartemen model SEIV
dengan waktu sampai 7000 bulan untuk mengetahui dimana titik kesetimbangan
endemiknya. Pada awal pertumbuhannya, populasi susceptible sebesar 821.950
jiwa mengalami peningkatan jumlah populasinya namun setelah mencapai titik
puncak, populasinya menurun yang menunjukkan bahwa jumlah individu yang
rentan terhadap penyakit hepatitis B mulai berkurang kemudian populasinya

21. 43
konstan. Titik kesetimbangan endemik untuk populasi susceptible sebesar
830.316. Pada populasi exposed, populasi infected dan populasi vaccinated
mengalami peningkatan secara signifikan tetapi saat mendekati titik
kesetimbangan endemik, populasinya semakin konstan. Titik kesetimbangan
endemik untuk masing-masing populasi exposed, populasi infected dan populasi
vaccinated adalah sebesar 1.568.942, 3,738.046 dan 4.440.989. Pada perbesaran
dari Gambar 4.2 juga diperlihatkan bahwa ketika populasi rentan meningkat maka
populasi tervaksin akan menurun. Hal ini disebabkan oleh jumlah populasi rentan
yang lebih besar daripada jumlah populasi tervaksin. Untuk lebih jelasnya,
dibawah ini merupakan penjelasan dari masing-masing populasi.
Gambar 4.3 Plot Susceptible model SEIV pada hepatitis B
Gambar 4.2 plot susceptible diatas menunjukkan bahwa populasi awal dari
populasi susceptible sebesar 821.950 jiwa mengalami kenaikan sampai titik
puncak yang berada pada posisi ((54,11),1.841e+06) yang artinya pada bulan ke-
54,11 populasi susceptible mencapai 1.841e+06 jiwa. Pada posisi tersebut

22. 44
merupakan populasi rentan penyakit Hepatitis B mencapai angka tertinggi.
Kenaikan tersebut disebabkan oleh aliran masuk pada kompartemen susceptible
yang berupa tingkat kelahiran ( 𝜋) dan laju perpindahan dari kompartemen
vaccinated ke susceptible 𝜔𝑉 lebih besar daripada aliran keluarnya yang berupa
tingkat kematian bebas penyakit atau kematian alami (𝜇), laju perpindahan dari
kompartemen susceptible ke exposed (𝛽𝑆𝐼) dan laju perpindahan kompartemen
susceptible ke vaccinated (𝜌𝜋). Sedangkan sekitar (91,53,8511e+05) bulan
berikutnya populasi susceptible mengalami penurunan yang disebabkan oleh
aliran keluar kompartemen lebih besar dari pada aliran masuk
kompartemennya. Mulai bulan ke-4500 populasi susceptible mengalami
kestabilan pada titik kesetimbangan endemiknya yaitu 830.316 yang berarti
bahwa mulai bulan ke-4500 jumlah populasi susceptible terhadap penyakit
hepatitis B konstan. Karena penyebaran penyakit hepatitis B ini merupakan
penyakit endemik, maka populasi susceptible akan selalu ada meskipun dengan
keadaan konstan.
Gambar 4.4 Plot Exposed model SEIV pada hepatitis B

23. 45
Gambar 4.5 Plot Infected model SEIV pada hepatitis
Pada Gambar 4.4 diatas menunjukkan bahwa populasi exposed mengalami
kenaikan yang disebabkan oleh aliran masuk pada kompartemen exposed yang
berupa laju perpindahan dari kompartemen susceptible ke exposed (𝛽𝑆𝐼) lebih
besar daripada aliran kelaurnya yang berupa tingkat kematian bebas penyakit atau
kematian alami( 𝜇) dan tingkat transmisi penyebaran individu exposed menjadi
individu infected (𝜎). Populasi exposed mengalami kestabilan sekitar 5685 bulan
berikutnya yaitu pada titik kesetimbangan endemik 1.568.942. Populasi
exposed merupakan populasi yang individunya masuk dalam masa inkubasi
dimana mempunyai kemungkinan untuk terinfeksi penyakit hepatitis B karena
tidak adanya kekebalan dalam tubuh atau individu yang tervaksin tetapi kekebalan
tubuhnya menurun terhadap hepatitis B. Sedangkan untuk populasi infected
mengalami peningkatan yang disebabkan oleh aliran masuk pada kompartemen
infected yang berupa tingkat transmisi penyebaran individu exposed menjadi
individu infected (𝜎) lebih besar daripada aliran keluar yang berupa tingkat

24. 46
kematian bebas penyakit atau kematian alami( 𝜇) dan tingkat pemulihan individu
infected menjadi individu vaccinated (𝛾). Mulai 6650 bulan berikutnya, jumlah
populasi infected mengalami kestabilan pada titik kesetimbangan endemiknya
yaitu 3.738.046. Populasi infected adalah populasi yang terinfeksi hepatitis B
akibat tidak memiliki kekebalan penyakit dalam tubuhnya. Populasi infected
merupakan bagian dari populasi exposed.
Gambar 4.2 Plot Vaccinated model SEIV pada hepatitis B
Pada gambar 4.4 plot vaccinated juga menunjukkan bahwa populasi
vaccinated mengalami penurunan sampai titik terendah yang berada pada posisi
(35, 3.408e+04) yang artinya pada bulan ke-35 populasi vaccinated mencapai
3.408e+04 jiwa. Penurunan tersebut disebabkan oleh aliran keluar yang berupa
tingkat kematian bebas penyakit atau kematian alami (𝜇) dan tingkat individu
kehilangan kekebalan atau penurunan vaksin sehingga individu akan menjadi
rentan kembali terhadap penyakit (𝜔) lebih besar daripada aliran masuk pada
kompartemen vaccinated yang berupa masa pemulihan (𝛾) dan laju
perpindahan kompartemen susceptible ke Vaccinated ( 𝜌𝜋). Sedangkan pada 30

25. 47
bulan berikutnya populasi vaccinated mengalami kenaikan yang sinifikan hingga
mendekati titik kesetimbangan endemik. Mulai bulan ke-6300 jumlah populasi
vaccinated mengalami kestabilan pada titik kesetimbangan endemiknya yaitu
4.440.989. Hal ini menunjukkan bahwa mulai buan ke-6300 jumlah populasi
vaccinated konstan. Individu dalam populasi vaccinated adalah ndividu yang telah
diberi vaksin sehingga memungkinkan untuk memiliki kekebalan terhadap
penyakit hepatitis B tetapi juga dapat menjadi populasi Susceptible kembali
karena hilangnya daya kekebalan alami dan penurunan dari vaksin. Sehinga
terdapat kemungkinan individu yang telah tervaksin dari penyakit hepatitis B
dapat terinfeksi hepatitis B namun tidak akan sakit atau tidak menjadi parah.
B. Pembahasan
Penelitian tentang pemodelan matematika terhadap penyebaran penyakit
hepatitis B telah dilakukan sebelumnya oleh Rosdiana (2015) dalam skripsinya
yang berjudul “Pemodelan Matematika SIR dengan vaksinasi pada Penyebaran
Penyakit Hepatitis B” dan Li-Ming Cai & Xue-Zhi Li (2008) dalam penelitiannya
yang berjudul “Analysis of a SEIV Epidemic Model with a Nonlinear Incidence
Rate”.
Dalam penelitian Rosdiana (2015), model matematika yang digunakan
untuk penyebaran penyakit hepatitis B adalah model SIR yang diturunkan ulang
dengan memperhatikan pengaruh vaksinasi, kemudian menerapkannya pada kasus
hepatitis B. Beberapa tingkat vaksinasi dibandingkan untuk meliahat pengaruh
vaksinasi pada penyebaran penyakit. Vaksinasi tidak mengobati penyakit hepatitis

26. 48
B atau mempercepat waktu menghilangnya penyakit dalam populasi, melainkan
mencegah agar individu tidak terinfeksi penyakit hepatitis B.
Dilain pihak, Li-Ming Cai & Xue-Zhi Li (2008) dalam penelitiannya
mengkaji tentang pemodelan matematika SEIV dengan tingkat kejadian non-
linear, perilaku dinamik dari model SEIV yang menggabungkan non-linear dan
vaksinasi pencegahan didapatkan 2 titik kesetimbangan endemik virus.
Penelitian tentang “Pemodelan Matematika SEIV pada Penyebaran Penyakit
Hepatitis B” ini dikembangkan dari penelitian Rosdiana (2015) dan Li-Ming Cai
& Xue-Zhi Li (2008) dengan menerapkan model SEIV pada penyakit hepatitis B.
Dari simulasi, diperoleh informasi bahwa penyebaran penyakit hepatitis B di
Provinsi Sulawesi Selatan tidak akan hilang dari populasi dan menjadi endemik
yang dapat mengakibatkan penderita penyakt hepatitis B selalu ada setiap
tahunnya. Penelitian ini dilakukan dengan menggunaan model SEIV pada
penyebaran penyakit hepatitis B mendapatkan hasil bahwa penyakit hepatitis B
akan terus ada di Provinsi Sulawesi Selatan. Dari hasil simulasi menunjukkan
bahwa semakin meningkat jumlah populasi tervaksin, maka semakin menurun
individu rentan hepattis B di Provinsi Sulawesi Selatan sehingga penyebaran
hepatitis B dapat diminimalisir.
Untuk meningkatkan vaksnasi hepatitis B, terdapat upaya agar kasus
hepatitis B dapat diminimalisir. Upaya tesebut antara lain dilakukan penyuluhan
akan pentingnya pemberian vaksinasi dini hepatitis B kepada masyarakat terutama
di daerah pedesaan yang jauh dari kota agar lebih sadar terhadap pencegahan dini

27. 49
penyebaran penyakit hepatitis B, dan keikutserataan bayi dalam program
pemberian vaksinasi secara rutin di posyandu maupun puskesmas.