Dokumen tersebut membahas kriteria penilaian estimator dan sifat-sifatnya untuk ukuran sampel besar. Beberapa kriteria yang dijelaskan adalah estimator tak bias, variansi minimum, dan batas Cramer-Rao. Dokumen ini juga medefinisikan konsep konsistensi, tak bias asimtotik, dan efisiensi relatif estimator.

1. StatistikaMatematika II Suyono Sesion #06 JurusanMatematika FakultasMatematikadanIlmuPengetahuanAlam

2. Outline KriteriaMenilai Estimator Sifat-sifatuntukUkuranSampelBesar 05/01/2011 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id | 2

3. KriteriaMenilai Estimator © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id | 3 05/01/2011

4. 4. KriteriaMenilai Estimator Berikut ini beberapa kriteria yang sering digunakan untuk menilai estimator. Definisi 4.1 Sebuah estimator T dikatakan estimator tak bias untuk ( ) jika E(T)=( ) untuk semua . Jika tidak demikian T dikatakan estimator bias untuk ( ). 05/01/2011 4 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

5. Contoh 4.1 Jika X1, X2, …, Xn, merupakan sampel acak dari sebarang distribusi dengan mean =E(Xi) dan variansi 2=Var(Xi) maka menurut Teorema 2.2 dan S2 masing-masing adalah estimator tak bias untuk  dan 2, karena dan 05/01/2011 5 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

6. Tetapi estimator pada Contoh 3.2 merupakan estimator bias untuk 2 karena 05/01/2011 6 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

7. Definisi 4.2 Jika T adalah estimator untuk ( ), maka bias dari T didefinisikan sebagai b(T)=E(T)-( ) dan mean squared error (MSE) dari T didefinisikan sebagai MSE(T)=E[T-( )]2. 05/01/2011 7 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

8. Teorema 4.3 Jika T adalah estimator untuk ( ), maka MSE(T)=Var(T)+[b(T)]2. 05/01/2011 8 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

9. Definisi 4.4 Sebuah estimator T* dikatakan estimator tak bias dengan variansi minimum secara uniform (uniformly minimum variance unbiased estimator / UMVUE) untuk ( ) jika a. T* estimator tak bias untuk ( ), dan b. Untuk sebarang estimator tak bias T untuk ( ), Var(T*) Var(T) untuk semua . 05/01/2011 9 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

10. Dalam kasus tertentu UMVUE untuk () dapat ditemukan dengan menggunakan batas bawah Cramer-Rao (Cramer-Rao lower bound / CRLB). 05/01/2011 10 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

11. Teorema 4.5 (CRLB ) Jika T adalah estimator tak bias untuk ( ), maka 05/01/2011 11 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

12. Contoh 4.2 Misalkan X1, X2, …, Xn, merupakan sampel acak dari sebarang distribusi eksponensial, X~EXP() dan () = . Karena 05/01/2011 12 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

13. maka dapat ditunjukkan bahwa sehingga CRLB untuk ( ) sama dengan 2/n. 05/01/2011 13 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

14. Jelasbahwamerupakan estimator tak bias untuk( ) = .Selanjutnyadapatditunjukkanbahwa Kesimpulannyamerupakan UMVUE untuk( ). 05/01/2011 14 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

15. Definisi 4.6 Misalkan T dan T* merupakan estimator tak bias untuk ( ). Efisisensi relatif dari T terhadap T* didefinisikan sebagai 05/01/2011 15 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

16. T* dikatakan efisien jika re(T,T*)  1 untuk semua estimator tak bias T untuk ( ) dan semua . Jika T* adalah estimator efisien untuk ( ) maka efisiensi dari estimator tak bias T untuk untuk ( ) didefinisikan sebagai e(T)= re(T,T*). 05/01/2011 16 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

17. Sifat-sifatuntukUkuranSampelBesar 05/01/2011 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id | 17

18. 5. Sifat-sifatuntukUkuranSampelBesar Definisi 5.1 Barisan estimator {Tn} untuk( ) dikatakankonsisten (simpelkonsisten) jikauntuksetiap > 0 untuksetiap. 05/01/2011 18 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

19. Definisi 5.2 Barisan estimator {Tn} untuk ( ) dikatakan MSE konsisten jika untuk setiap . 05/01/2011 19 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

20. Definisi 5.3 Barisan estimator {Tn} untuk ( ) dikatakan tak bias asimtotik jika untuk setiap . 05/01/2011 20 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

21. Teorema 5.4 Barisan estimator {Tn} untuk ( ) adalah MSE konsisten jika dan hanya jika barisan estimator tersebut tak bias asimtotik dan 05/01/2011 21 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

22. Teorema 5.5 Jika barisan estimator {Tn} untuk ( ) adalah MSE konsisten maka barisan estimator tersebut juga simpel konsisten. 05/01/2011 22 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

23. Teorema 5.6 Jika barisan estimator {Tn} untuk ( ) adalah simpel konsisten dan jika g(t) adalah fungsi yang kontinu pada setiap nilai dari ( ) maka g(Tn) simpel konsisten untuk g(()). 05/01/2011 23 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

24. Definisi 5.7 Misalkan {Tn} dan {Tn*} merupakan estimator tak bias asimtotik untuk ( ). Efisisensi relatif asimtotik dari Tn terhadap Tn* didefinisikan sebagai 05/01/2011 24 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

25. Barisan {Tn*} dikatakan efisien secara asimtotik jika are(Tn,Tn*)  1 untuk semua barisan estimator tak bias asimtotik {Tn} untuk ( ) dan semua . Jika {Tn*} adalah barisan estimator efisien secara asimtotik untuk ( ) maka efisiensi asimtotik dari barisan estimator tak bias asimtotik {Tn} untuk untuk ( ) didefinisikan sebagai ae(Tn)= are(Tn,Tn*). 05/01/2011 25 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

26. Di bawahkondisitertentu, yang dinamakankondisireguler, estimator maksimum likelihood mempunyaisifat: a. adadantunggal. b. estimator konsistenuntuk . c. mempunyai limit distribusi normal dengan mean danvariansi d. efisiensecaraasimtotik. 05/01/2011 26 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |