Statistika Matematika II

1. TEOREMA RAO-BLACKWELL
PAPER
STATISTIKA MATEMATIKA II
Oleh:
Fahmi Hidayatul Azizah (121810101006)
Devita Arum Seruni (121810101015)
Irawati (121810101021)
Ahmad Saifudin (121810101024)
Suro Imanul Afif (121810101038)
Aulia Nandarema Hayyu (121810101066)
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS JEMBER
2014

2. TEOREMA RAO – BLACKWELL
Andaikan kita punya sebuah koleksi dari peluang pengukuran
oleh beberapa himpunan . Kita sebut parameter dan ruang parameter.
Contoh, kita ambil dan misalkan sebuah koleksi dari Distribusi
Eksponensial dengan parameter .
Dengan menggunakan beberapa definisi berikut dapat digunakan beberapa
Lemma:
Lemma 1. Misalkan X sebuah L1
variabel acak pada ruang peluang , dan
andaikan sub- -aljabar dari . Maka
.
Pembuktian:
Untuk setiap A elemen F1 maka
Lemma 2. Jika dan sebuah sub- -aljabar, maka
.

3. Kita definisikan varian bersyarat dari sebuah variable acak X
sehubungan dengan sub- -aljabar oleh:
Perhatikan bahwa membuktikan bahwa
dengan pertidaksamaan Jensen bersyarat, sehingga varian bersyarat terdefinisi.
Pembuktian:
Lemma 3. Misalkan X, Y variabel acak dengan varian terhingga, misalkan sub-
-aljabar dari , dan andaikan X adalah yang dapat diukur. Maka
Dimana persamaan bertahan jika dan hanya jika Lemma 3
merupakan aproksimasi terbaik dari proyeksi orthogonal dalam teory ruang
Hilbert yang diartikan ke dalam bahasa teori peluang.
Kita sebut variable acak adalah sebuah estimator tak bias dari parameter
jika , dimana menyajikan “parameter tak diketahui”. Jika kita punya
sampel Y, sebuah statistic dikatakan cukup jika Distribusi Bersyarat
independen dari nilai . Dengan tak sengaja, sekali kita mengamati
sampel acak X dan menghitung statistik cukup T(X), data asli tidak berisi
informasi tambahan tentang parameter tak diketahui .

4. Statistik dari sampel dengan parameter adalah
cukup jika joint density function dengan parameter dapat difaktorkan
dimana h, g adalah fungsi Borel-dapat diukur.
Jika kita mulai dengan estimator Y, statistik cukup membolehkan kita
mengisi estimator , diketahui sebagai estimator Rao-Blackwell, yang
mempunyai harapan lebih rendah kuadrat kurang dari estimator asli Y.
Teorema 4. (Rao-Blackwell)
Andaikan T statistik cukup untuk , dan andaikan Y estimator tak bias
dari sedemikian hingga
Maka adalah estimator tak bias dari dan
.
Pembuktian:
estimator tetap dari sehingga didapat:
Konsekuensi yang berguna dari Teorema Rao-Blackwell adalah bahwa
kita dapat membatasi pencarian pada estimator tak bias minimum-varian untuk
statistic cukup.

5. Theorem 1.1 Let X ∼ fX(x, θ) and T be sufficient for . Let U be
any unbiased estimator for g(θ). Define Vt= E(U |T= t). Then V is an unbiased
estimator for g(θ) and Var(V ) ≤ Var(U ) with equality iff V = U with probability
one.
Proof 1.1 Since U = U (X) is an estimator, it is also a statistic. And, since T is
sufficient for θ we have V = E(U |T = t) (1)
(2)
By Fisher, and noting that u(x) is a function of x and not θ, we see that V is θ-free.
Thus, V is a statistic as well.
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
So, V is unbiased.
Now, (8)
(9)
(10)
Since we know that E(U) = E(V) by above,
(11)
(12)
(13)
(14)
And thus
) (15)
) (16)
(17)
With equality iff E((U-V)2
) = 0 or V=U with probabality one.

6. Example 1.1