Bab 2 membahas Teorema Dasar Kalkulus yang terdiri atas dua bagian yaitu TFK 1 dan TFK 2. TFK 1 menyatakan hubungan antara turunan suatu fungsi integral dengan fungsi yang diintegralkan, sedangkan TFK 2 menyatakan hubungan antara nilai integral suatu fungsi dengan anti-turunan dari fungsi tersebut. Teorema-teorema ini memungkinkan perhitungan luas daerah dan nilai integral tanpa harus menghitung batas jumlahan Riemann.

1. Bab 2 : Teorema Dasar Kalkulus
Franz Sebastian Soetrisno
Universitas Sanata Dharma Yogyakarta
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

2. Pendahuluan
Teorema Fundamental (Dasar) Kalkulus. Disebut fundamental
karena menghubungkan kedua cabang kalkulus : diferensial
dan integral.
Tokoh : Isaac Barrow, Newton, Leibniz.
TFK membantu orang menghitung luas daerah dan integral
tanpa perlu menghitung limit jumlahan Riemann seperti pada
bab sebelumnya.
Terdapat dua bagian : TFK 1 dan TFK 2.
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

3. TFK 1
Integral tentu dari fungsi f pada [a, b],
Z b
a
f(x) dx adalah
suatu bilangan real yang tidak bergantung pada x.
Jika integral tentu berbentuk
Z x
a
f(t) dt dimana x adalah
variabel, bukan suatu konstanta, maka integral tersebut
adalah suatu fungsi yang bergantung pada x, sebut saja g(x) :
g(x) =
Z x
a
f(x) dx
Jika f fungsi positif, maka g(x) adalah luas daerah dari a
sampai x. Dimana nilai x dapat ”digeser” dari a hingga b.
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

4. TFK 1
Sekarang, coba kita gunakan contoh yang lebih konkrit :
Hitung luas daerah fungsi di bawah kurva f(t) = t dimana
0 ≤ t ≤ x. Artinya, kita diminta untuk menghitung
Z x
0
t dt.
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

5. TFK 1
Bagi selang [0, x] menjadi n bagian sama panjang dengan
lebar ∆t =
x
n
. Pilih t∗
i = ti =
xi
n
.
Diperoleh
Z x
0
t dt = lim
n→∞
n
X
i=1
f(t∗
i ) · ∆t = lim
n→∞
n
X
i=1
xi
n
·
x
n
= lim
n→∞
x2
n2
n
X
i=1
i
= lim
n→∞
x2
n2
·
n(n + 1)
2
=
x2
2
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

6. TFK 1
Perhatikan bahwa g′ = f. Apakah ini berlaku umum?
Untuk meyakinkan, ternyata
Z x
0
t2
dt =
x3
3
, yang berarti
g′
(x) =
d
dx
x3
3
= x2
.
Teorema Fundamental Kalkulus Part 1
Jika f kontinu pada [a, b] maka fungsi
g(x) =
Z x
a
f(t) dt a ≤ x ≤ b
terdiferensialkan pada (a, b) dan g′(x) = f(x).
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

7. TFK 1
Kita juga bisa tuliskan TFK 1 sebagai berikut
d
dx
Z x
a
f(t) dt = f(x).
Contoh 1
Tentukan turunan dari g(x) =
Z x
0
p
1 + t2 dt.
Solusi Karena
p
1 + t2 adalah fungsi kontinu, maka menurut
TFK 1 :
g′
(x) =
p
1 + x2
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

8. TFK 1
Contoh 2
Tentukan turunan dari h(x) =
Z √
x
1
z2
z4 + 1
dz.
Solusi Cermati batas atas integral nya. Kita ingin batas atas
integral sebagai x bukan
√
x. Kita definisikan h(x) sebagai fungsi
komposisi dari
h(u) =
Z u
1
z2
z4 + 1
dz u(x) =
√
x.
Sehingga, dengan aturan rantai :
dh
dx
=
dh
du
·
du
dx
=
d
du
Z u
1
z2
z4 + 1
dz ·
d
dx
√
x
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

9. TFK 1
Karena
z2
z4 + 1
fungsi kontinu, menurut TFK 1 :
d
du
Z u
1
z2
z4 + 1
dz =
u2
u4 + 1
Kita juga tahu bahwa :
d
dx
√
x
=
1
2
√
x
Dengan demikian, kita peroleh :
dh
dx
=
u2
u4 + 1
·
1
2
√
x
=
(
√
x )
2
(
√
x )
4
+ 1
·
1
2
√
x
=
√
x
2 (x2 + 1)
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

10. TFK 2
Ingat : Jika g(x) =
Z x
a
f(t) dt maka g′(x) = f(x). Artinya,
g(x) adalah anti turunan dari f(x). Anti turunan lain dari
f(x) pada [a, b] adalah :
F(x) = g(x) + C
Kita tahu bahwa g(a) =
Z a
a
f(x) dx = 0.
Perhatikan
F(b) − F(a) = (g(b) + C) − (g(a) + C)
= g(b) − g(a) = g(b) =
Z b
a
f(x) dx.
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

11. TFK 2
Teorema Fundamental Kalkulus Part 2
Jika f kontinu pada [a, b] maka
Z b
a
f(x) dx = F(b) − F(a)
dimana F adalah sembarang anti-turunan dari f.
Beberapa sumber mengatakan bahwa ini adalah Part 1 dan
Part 1 adalah Part 2.
Kita juga bisa tuliskan TFK 2 sebagai berikut :
Z b
a
F′
(x) dx = F(b) − F(a)
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

12. TFK 2
Contoh 3
Tentukan nilai dari
Z 1
0
x2
dx.
Solusi Karena salah satu anti turunan dari f(x) = x2 adalah
F(x) =
1
3
x3
, maka :
Z 1
0
x2
dx = F(1) − F(0) =
13
3
−
03
3
=
1
3
Jawaban ini bisa dipastikan benar karena kita telah mengerjakan
soal ini pada Bab 1 dengan menghitung limit jumlahan Riemann.
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

13. TFK 2
Contoh 4
Tentukan nilai dari
Z 3
−1
1
x2
dx
Solusi Ingat: Jika f(x) ≥ 0 maka
Z b
a
f(x) dx ≥ 0. Namun,
dengan mencermati bahwa salah satu anti turunan dari f(x) =
1
x2
adalah F(x) = −x−1 dan menggunakan TFK 2, diperoleh :
Z 3
−1
1
x2
dx = F(b) − F(a) = −
1
3
− 1 = −
4
3
yang mana kontradiksi dengan fakta bahwa f(x) ≥ 0. Hal ini
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

14. TFK 2
terjadi karena TFK 2 mengsyaratkan bahwa f harus kontinu pada
[a, b]. Namun, f diskontinu di x = 0 yang mana 0 ∈ [a, b].
Kesimpulannya, nilai dari
Z 3
−1
1
x2
dx
tidak ada. (does not exist)
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal

15. Latihan-Latihan Soal
1 Tentukan turunan dari g(x) =
Z 3x
2x
u2 − 1
u2 + 1
du.
Hint : Memecah integral menjadi dua bagian.
2 Diberikan
f(x) =
(
sin x jika 0 ≤ x ≤ π
2
cos x jika π
2 ≤ x ≤ π
Tentukan nilai dari
Z π
0
f(x) dx.
3 Tentukan nilai dari
Z x
0
f(5t) dt
Franz Sebastian Soetrisno Kalkulus Intergal