1. DEFINISI 1 (SISTEM RESIDU)
Sistem residu sederhana modulo m adalah himpunan
semua bilangan bulat positif ri yang memenuhi
(ri,m)=1 dengan ri ≠ rj(mod m) untuk i≠ j.
Contoh:
{0,1,2,3,4,5,6,7,8} adalah himpunan semua residu
terkecil modulo 9. Jika dipilih elemen yang saling prima
dengan 9 maka diperoleh {1,2,4,5,7,8}, maka himpunan
terakhir ini disebut sebagai sistem residu sederhana
modulo 9

2. DEFINISI 2 (FUNGSI ⌽ EULER)
Misalkan m suatu bilangan bulat positif, maka
⌽(m) menyatakan banyaknya elemen dari
himpunan residu sederhana modulo m.
Contoh:
Himpunan residu sederhana modulo 30 adalah
{1,7,11,13,17,19,23,29}. Banyaknya elemen dari himpunan ini
adalah 8, maka dikatakan bahwa ⌽(30)=8.

3. TEOREMA 1
Bukti:
Pecah bilangan-bilangan bulat positif yang tidak lebih besar dan
tidak saling prima terhadap pk, maka bilangan-bilangan tersebut
adalah kelipatan-kelipatan dari p
{p, 2p, 3p, 4p, … , pk-1 p} = pk
Dari himpunan di atas diperoleh bahwa banyaknya bilangan bulat
positif yang tidak lebih besar dan tidak saling prima terhadap pk
adalah sebanyak pk-1 buah.
Berdasarkan pernyataan di atas diperoleh bahwa
⌽(pk)= pk – pk-1
= pk-1 . p – pk-1
= pk-1 (p-1)
Apabila p suatu bilangan prima da k suatu bilangan
bulat positif, maka ⌽(pk)=pk-1(p-1)

4. Contoh:
Kita akan menentukan banyaknya elemen residu
sederhana dari 32.
32= 25
Maka ⌽(25)= 25-1 (2-1) =16
Sistem residu sederhana dari 16 adalah
{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31), ada
sebanyak 16 elemen.

5. DEFINISI 3 (FUNGSI GANDA)
 Suatu fungsi f didefinisikan pada himpunan semua
bilangan bulat positif disebut fungsi ganda apabila
untuk setiap bilangan-bilangan bulat positif m dan n
(mn) = 1 maka f(m,n) = f(m) f(n)
Contoh:
Misalkan f(n)= n2, untuk setiap bilangan asli n. Untuk
sembarang bilangan asli m dan n dengan (m,n)=1,
maka f(mn)= (mn)2 = f(m) f(n). Sehingga fungsi f tersebut
adalah fungsi ganda.

6. TEOREMA 2
Fungsi-fungsi τ dan σ keduanya adalah fungsi ganda.
Bukti:
Ambil sembarang bilangan asli m dan n dengan (m,n)=1.
Misalkan bentuk-bentuk kanonik
Karena (m,n)=1, maka factor-faktor prima pi dan qi tidak ada yang sama, sehingga
bentuk kanonik dari hasil kali
dengan demikian
Jadi, τ(mn) adalah fungsi ganda

7. Selanjutnya,
=σ(m) σ(n)
Jadi, σ adalah fungsi ganda.
Dari kedua penjelasan di atas jelas bahwa τ dan σ adalah fungsi
ganda.

8. Contoh:
Misal m=6 dan n =5
Apakah τ(mn) fungsi ganda?
Apakah σ(mn) fungsi ganda?
Penyelesaian:
τ(6)=4, yaitu 1,2,3,6
τ(5)=2, yaitu 1,5
τ(6.5)=4.2
τ(30)=8
Faktor-faktor bulat positif dari 30 adalah 1,2,3,5,6,10,15,30.
Faktor dari 30 tersebut ada sebanyak 8.
Selanjutnya σ(6)= 1+2+3+6=12 dan σ(5)=1+5=6
σ(6.5)=12.6
σ(30)=72
σ(30)=1+2+3+5+6+10+15+10=72

9. TEOREMA 3
Bukti:
Misal residu dari r1, r2, r3, … , rm adalah
A={0,1,2,3,…,m}. Berdasarkan definisi 1, sistem residu
sederhana dari r1, r2, r3, … , rm adalah ∀a∊A, (a,m)=1.
Selanjutnya, dari definisi 2 banyaknya elemen residu
sederhana mod m dinyatakan dengan ⏀(m).
Dari pernyataan tersebut jelas bahwa jumlah suku yang
saling prima dengan m ada sebanyak ⏀(m) buah.
Apabila p suatu bilangan prima da k suatu bilangan
bulat positif, maka ⌽(pk)=pk-1(p-1)

10. Contoh:
Residu terkecil modulo 11 adalah {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
Sistem residu sederhana dari 11 adalah
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, maka jumlah elemen residu
sederhana tersebut adalah 10 dan dinyatakan dengan
⏀(11)=10

11. TEOREMA 4
Fungsi ⏀ adalah fungsi ganda
Bukti:
Diambil sembarang bilangan-bilangan bulat positif m dan n dengan (m,n) = 1
Kita susun semua bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan mn menjadi m baris dan
n kolom sebagai berikut:
1 m + 1 2m +1 … (n-1)m + 1
2 m + 2 2m + 2 … (n-1)m + 2
3 m +3 2m + 3 … (n-1)m + 3
. . . . .
. . . . .
. . . . .
r m + r 2m + r … (n-1)m +r
. . . . .
. . . . .
. . . . .
m 2m 3m … mn

12. Perhatikan kolom pertama, yaitu 1, 2 ,3, … , m. dalam barisan ini ada ⏀(m) bilangan yang
saling prima dengan m. Setiap bilangan pada baris ke-r memenuhi km + r ≡ r(mod m). Jika
(m,r)=d, maka (km + r, m) = 1 pula. Jadi jika m dan r saling prima, maka setiap bilangan pada
baris ke-r semuanya saling prima dengan m. karena pada kolom pertama ada ⏀(m) bilangan
yang saling prima dengan m, maka ada ⏀(m) baris yang setiap elemennya saling prima
dengan m. Nah, sekarang bilangan-bilangan pada ⏀(m) baris tersebut, berapakah yang
saling prima dengan m.
Misalkan (r,m) =1 dan perhatikan bilangan-bilangan pada baris ke-r, yaitu r, m + r, 2m + r, 3m
+ r, …, (n-1)m +r. Jelas bahwa pada baris ini tidak ada dua bilangan yang kongruen modulo n,
sebab jika ada dua bilangan yang kongruen mod n, misalnya,
sm + r ≡ t m + r (mod n) dengan 0≤s, t<n
sm ≡ t m (mod n)
s ≡ t (mod n), sebab (m,n)=1
Karena 0≤s, t<n dan 0≤t<1 serta s ≡ t (mod n), maka s=t. Berarti dua bilangan tersebut sama.
Jadi pada baris ke-r tidak ada bilangan-bilangan yang kongruen mod n. Sehingga residu-
residu terkecil mod n dari bilangan-bilangan pada baris ke-r adalah suatu permutasi dari 0, 1,
2 ,3, …, n-1. Bilangan-bilangan ini mempunyai f(n) bilangan yang saling prima dengan n,
maka ada f(m)⏀(n) bilangan yang saling prima dengan m maupun dengan n. Mengingat
suatu bilangan yang saling prima dengan m maupun n, maka bilangan itu saling prima
dengan mn pula. Sehingga disimpulkan bahwa ⏀(mn)=⏀(m) ⏀(n)

13. Contoh:
⏀(6)=2 dan ⏀(5)=4, maka ⏀(30)= ⏀(6) ⏀(5)=2.4=8
Sedangkan himpunan residu sederhana modulo 30
adalah {1,7,11,17,19,23,29}, maka banyaknya elemen
dari himpunan ini adalah 8, yaitu ⏀(30)=8.

14. TEOREMA 5
Jika n suatu billangan bulat psitif yang mempunyai bentuk
kanonik , maka
⏀(n) = atau⏀(n) =
Bukti:
n = dengan pi adalah bilangan-bilangan prima yang
berbeda untuk i=1, 2, …, k.
⏀(n) =⏀( )
=
=
Selanjutnya, akan mudah dibuktikan bahwa:

15. Contoh:
360= 23. 22.5 , maka ⏀(360)= ⏀(23. 22.5)= ⏀(23) ⏀(22)
⏀(5)= 22(2-1)3(3-1)(5-1)=96

16. TEOREMA 6.
Untuk setiap bilangan bulat positif n>2, maka ⏀(n) suatu
bilangan genap.
Bukti:
Misalkan n= 2k dengan k>2, maka ⏀(n) = ⏀(2k) = 2k-1(2-1) = 2k-1
Nampak di sini bahwa ⏀(2k)suatu bilangan genap.
Sekarang ambil sembarang bilangan bulat positif n>2. Apbila n suatu
bilangan prima, maka n prima ganjil sehingga ⏀(n)= n-1.
Jadi ⏀(n) bilangan genap. Dan apabila n suatuu bilangan komposit,
maka n mempunyai factor prima ganjil p, misalnya n = pkm dengan
(pk,m)=1 sehingga⏀(n)= ⏀(pkm)= ⏀(pk) ⏀(m)= pk-1(p-1) ⏀(m)
Karena p bilangan prima ganjil, maka p-1 suatu bilangan genap,
sehingga
pk-1(p-1)⏀(m) suatu bilangan prima pula.
Jadi ⏀(n) suatu bilanngan genap.

17. Contoh:
Semua faktor bulat positif dari 12 adalah 1,2,3,4,6 dan
12. tiap faktor ini dicari nilai ⏀nya, yaitu ⏀(1)=1, ⏀(2)=1,
⏀(3)=2, ⏀(4)=2, ⏀(6)=2 dan ⏀(12)=4.
Terlihat jelas bahwa faktor yang lebih besar dari 2 ⏀nya
adalah bilangan genap.

18. TEOREMA 7
Untuk setiap bilangan bulat positif n, maka
Bukti:
Perhatikan bilangan-bilangan bulat positif: 1, 2, 3 ,4, …, n.
Kita akan meletakkan bilangan-bilangan ini dalam himpunan-himpunan dengan
t|n, yaitu bilangan-bilangan itu yang dengan n, factor persekutuan terbesarnya
sama dengan t.
Dengan kata lain, m ∊ Ct jika dan hanya jika (m,n)=t.
Sedangkan (m,n)=t jika dan hanya jika
Menurut definisi fungsi ⏀ Euler, banyaknya elemen dari Ct adalah ⏀ . Maka
banyaknya elemen dari semua gabungan himpunan Ct adalah .
Mengingat setiap bilangan 1, 2, 3, …, n hanya terdapat dalam tepat satu
himpunan dari Ct, maka

19. Contoh:
1,2,4,5,7,8 masing-masing adalah residu yang saling prima dengan
9. Apabila setiap bilangan tersebbut dikalikan 10 didapat
10,20,40,50,70,80.
Selanjutnya, jika dari bilangan-bilangan tersebut dicari residu terkecil
modulo 9 maka diperoleh:
10≡1(mod9)
20 ≡2(mod9)
40≡4(mod9)
50≡5(mod9)
70≡7(mod9)
80≡8(mod9)
Jika ruas-ruas dari kekongruenan ini dikalikan, kita akan
memperoleh
10.2040.50.70.80 ≡1.2.4.5.7.8(mod9)
106 (1.2.4.5.7.8) ≡1.2.4.5.7.8(mod9)
106 ≡1(mod9)

20. TEOREMA 8
Jika (a,m)=1 dan r1, r2, r3, …, r⏀(m) adalah bilangan-bilangan bulat positif yang kurang
dari m dan masing-masing saling prima denngan m, maka residu-residu terkecil mod
m dari bilangan-bilangan ar1, ar2, ar3, …, ar⏀(m) adalah suatu permutasi dari r1, r2, r3,
…, ar⏀(m).
Bukti:
⏀(m) adalah banyaknya elemen dari himpunan {ar1, ar2, ar3, …, ar⏀(m)}. Untuk
membuktikan bahwa residu-residu terkcil dari {ar1, ar2, ar3, …, ar⏀(m)}………..(1)
adalah suatu permutasi dari r1, r2, r3, …, r⏀(m), kita harus menunjukkan bahwa ari≢arj
(mod m) untuk 1≤I,j≤⏀(m) dengan i≠j serta masing-masing harus ditunjukkan saling
prima dengan m.
Misalkan ari≢arj (mod m) untuk 1≤I,j≤⏀(m) dengan i≠j. Karena (a,m)=1, maka kita
dapat melenyapkan a dari kekongruenan itu, sehingga diperoleh ri≢rj(mod m). Dan
karena ri dan rj masing-masing residu-residu terkecil mod m, maka ri≠ rj.
Jadi jika ari≢arj (mod m), maka ri ≠ rj. sehingga kontraposisinya benar pula bahwa jika
ri = rj maka ari ≡ arj (mod m) hal ini berarti bahwa bilangan-bilangan pada (1) tidak
ada yang kongruen mod m.

21. Contoh:
1,3,5,7 masing-masing saling prima dengan 8 dan ⏀(8)=4,
maka 9.1, 9.3, 9.5, 9.7 masing-masing mempunyai residu terkecil
modulo 8 dengan tepat satu dari 1,3,5,7, karena (8,9)=1. hal ini
diperiksa sebagai berikut:
9.1≡1(mod 8), 9.3≡3(mod 8), 9.5≡5(mod 8), 9.7≡7(mod 8)
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa ar1, ar2, ar3, …, ar⏀(m) masing-masing
prima dengan m. Andaikan ada suatu bilangan prima p yang merupakan
factor persekutuan dari arid an m maka p|arid an p|m. P|arid an p suatu
bilangan prima, maka p|a atau p|ri. Jadi p merupakan factor prsekutuan
dari a, ri, dan m. hal ini tidak mungkin, karena (a,m) + (m, ri) =1. Jadi (ari,
m) =1 untuk 1≤I,j≤⏀(m).

22. TEOREMA 9
Jika m suatu bilangan bulat positif dan (a,m) =1, maka a⏀(m) ≡ 1(mod
m)
Bukti:
Misalkan r1, r2, r3, …, r⏀(m) adalah bilangan-bilangan bulat positif
yang kurang dari m dan masing-masing prima dengan m. menurut
teorema 8, karena (a,m)=1, maka residu-residu terkeci modulo m
dari r1, r2, r3, …, r⏀(m) adalah suatu permutasi r1, r2, r3, …, r⏀(m).
Sehingga diperoleh
(ar1) (r2) (r3) … (r⏀(m))≡ r1r2r3 …r⏀(m)
ar⏀(m) = [(ar1) (r2) (r3) … (r⏀(m))]≡ r1, r2, r3, …, r⏀(m)
Karena r1, r2, r3, …, r⏀(m) masing-masing saling prima dengan m,
maka hasil kali bilangan-bilangan itu saling prima dengan m.
Sehingga kita dapat menyelenggarakan r1r2r3 …r⏀(m) dari
kekongruenan terakhir dan diperoleh
a⏀(m) ≡ 1(mod m)

23. Contoh:
⏀(8)=4, 3⏀(8) = 34 =81≡1(mod 8), sebab (3,8)=1. Tetapi
2⏀(8) = 24 =16≢1(mod 8), sebab (2,8)≠1.

24. TERIMA KASIH ATAS PERHATIANNYA