1. BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Sebelum mempelajari materi Kalkulus Peubah Banyak II selanjutnya, alangkah
perlu untuk memahami pengertian geometri integral lipat dua. Hal ini karena setiap
materi saling berkaitan.
Untuk mempelajari arti geometri integral lipat dua ini perlu mengetahui cara
mendapatkan rumus integral lipat dua yaitu secara geometri terhadap suatu bidang xoy
atau pada ruang dimensi dua.
Hal ini dilakukan dengan cara mempartisi daerah pada bidang xoy atau ruang
dimensi dua dengan garis garis yang sejajar sumbu koordinat. Oleh karena itu, harus lebih
memahami pengertian geometris integral lipat dua dan cara penurunan rumus ini sebelum
menggunakannya untuk menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan integaral lipat
dua misalnya menghitung luas, volume ataupun massa dari suatu benda yang terdapat
pada bidang xoy atau ruang dimensi dua.
1.2 Rumusan Masalah
1. Apa pengertian geometris Integral lipat dua ?
2. Bagaimana bentuk integral lipat dua ?
3. Bagaimana penurunan bentuk umum integral lipat dua ?
1
Kalkulus Peubah Banyak II

2. 1.3 Tujuan
1. Untuk mengetahui arti geometris Integral lipat dua
2. Untuk memahami bentuk integral lipat dua
3. Untuk memahami penurunan bentuk umum integral lipat dua
1.4 Batasan Masalah
Adapun batasan masalah yang dibahas oleh pemakalah yaitu pengertian secara geometri
integral lipat dua, bentuk umum integral lipat dua, dan menurunkan bentuk umum integral
lipat dua dengan metode partisi.
2
Kalkulus Peubah Banyak II

3. BAB II
ARTI GEOMETRIS INTEGRAL LIPAT DUA
2.1 Integral Ganda Dua
Integral fungsi satu variable telah dibahas pada Kalkulus II. Penjelasannya dilakukan
dengan cara membentuk partisi suatu luasan (bidang datar) yang kontinu dan terdefinisi pada
suatu interval [a,b]. Selanjutnya masing-masing interval yang panjangnya Δxk , dengan
konstanta k = 1, 2, 3, 4, ….n. dan dituliskan dengan bentuk umum:
b n
f ( x) dx lim f(x k ) xk
n
a k 1
Analog dengan cara di atas, didefinisikan integral untuk fungsi dua variabel.
Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang XOY.
Selanjutnya daerah ini dibagi atas n buah subdaerah yang masing-masing luasnya A1 , A2 ,
A3 …… An
Dalam setiap subdaerah, pilih suatu titik Pk(xk, yk) dan bentuklah jumlah :
n
f ( xk , y k ) kA f ( x1 , y1 ) 1A f ( x2 , y 2 ) 2A ....... f ( xn , y n ) nA
k 1
Jika jumlah subdaerah makin besar (n→~), maka integral ganda dua dari fungsi f(x,y) atas
daerah R didefinisikan oleh:
n
f ( x, y ) dA lim f ( xk , yk ) kA
n
R k 1
3
Kalkulus Peubah Banyak II

4. Untuk menghitung integral ganda dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis
dalam bentuk :
b y2 f ( x)
a. f ( x, y)dA f ( x, y)dxdy f ( x, y)dx dy
R R a y1 f ( x)
Integral yang ada dalam kurung pada bentuk di atas harus diselesaikan terlebih dahulu
dengan menganggap variabel y konstanta, selanjutnya hasilnya diintegral kembali
terhadap y.
b x2 f ( y)
b. f ( x, y )dA f ( x, y )dydx f ( x, y )dy dx
R R a x1 f ( y )
Integral yang ada dalam kurung harus diselesaikan terlebih dahulu dengan menganggap
variabel x konstanta, selanjutnya hasilnya diintegral kembali terhadap x.
Jika integral ganda dua di atas ada, maka (a) dan (b) secara umum akan memberikan hasil
yang sama.
(Frank Ayres JR : 2002 Hal 467-468)
2.2 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegi Panjang
Konsep integral tentu untuk fungsi satu peubah dapat diperluas untuk fungsi banyak
peubah. Integral untuk fungsi banyak peubah dinamakan integral lipat atau integral rangkap.
Pada integral lipat satu, fungsi yang dipakai dibatasi, yaitu fungsi tersebut dibatasi pada
selang tertutup di R1. Untuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah , pembatasannya adalah
fungsi tersebut terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R2.
4
Kalkulus Peubah Banyak II

5. z
c d
y
a
b
Rk
x (xk , y k )
Tetapkan R berupa suatu persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu
koordinat, yakni misal : R : {(x,y) : a x b, c x d }. Bentuk suatu partisi dengan cara
membuat garis-garis sejajar sumbu x dan y. Ini membagi R menjadi beberapa persegi panjang
kecil yang jumlahnya n buah, yang ditunjukkan dengan k = 1,2,...n. Tetapkan x k dan yk
adalah panjang sisi-sisi Rk dan Ak = x k . y k adalah luas. Pada Rk ambil sebuah titik
n
misal ( x k , y k ) dan bentuk penjumlahan Riemann f ( x k , y k ) Ak .
k 1
http://www.google.com/#hl=en&tbo=d&sclient=psy- ab&q=definisi+integral+lipat+dua+
secara+umum.doc diakses tanggal 10 feb 2013 Pukul 19:08 WIB
2.3 Integral Lipat Dua Menggunakan Teorema Fubini
Gaudio Fubini ( 1879 – 1943) menunjukkan bahwa integral ganda dari suatu fungsi
kontinu dapat ditentukan dengan integral berulang. Selanjutnya teknik ini dikenal dengan
Teorema Fubini
5
Kalkulus Peubah Banyak II

6. Integral lipat dua di R2 dapat diperoleh dari hasil kali kartesius dari interval di R.
Diketahui dua interval tutup misalkan [a,b] dan [c,d]. Hasil kali kartesius dari kedua interval
ini ditulis [a,b] x [c,d] adalah himpunan.
R={(X,Y)|a
Yang merupakan empat persegi panjang dengan titik sudutnya (a,c),(a,d),(b,c) dan (b,d).
Gambar Empat persegi panjang sebagai hasil kali Kartesius dua Interval
Seperti pada integral satu variabel, kita juga mengenal partisi untuk empat persegi panjang.
Partisi P dari empat persegi panjang R=[a,b] x [c,d] adalah dua himpunan dan
yang sama banyaknya sehingga :
Dan masing-masing membagi sama interval [a,b] dan [c,d].Kemudian, dituliskan :
dan
dan pada setiap subinterval kita pilih masing-masing bilangan
.
6
Kalkulus Peubah Banyak II

7. Gambar Empat Persegi Panjang dengan salah satu partisinya
Misalkan kita mempunyai fungsi bernilai real f (x,y) yang terbatas dan didefenisikan pada
empat persegi panjang R. Jumlah Riemen fungsi f dengan partisi P adalah bentuk
Interpretasi jumlah ini adalah jumlah bertambah dari volume kotak sebanyak dengan alas
dan dan tinggi masing-masing untuk .
Jika , kotak tersebut berada di atas bidang XY dan memberikan sumbangan
bilangan positif terhadap jumlah Riemann. Untuk , volume kotak adalah
dangan kotak berada di bawah bidang XY serta memberikan sumbangan
bilangan negative terhadap jumlah Riemann. Oleh karena itu untuk sebarang fungsi, jumlah
Riemann mungkin saja mempunyai nilai positif, nol, maupun negative.
Karena fungsi yang terbatas, maka nilai fungsi terbatas juga di empat persegi
panjang , misalkan di dan masing-masing merupakan
nilai infimum dan supremum fungsi di empat persegi panjang tersebut, maka berlaku
.
7
Kalkulus Peubah Banyak II

8. Dengan demikian, jumlah Riemann tersebut terletak di antara
Jika makin besar, maka makin besar dan makin kecil. Dalam hal ini, mungkin saja
terjadi untuk yang makin besar nilai dan juga, sehingga jumlah Riemann
ini juga menuju V untuk sebarang pilihan bilangan dan .
(Wono Setya Budhi : 2001, Hal 203-205)
2.4 Definisi Integral Riemann
Misalkan fungsi terbatas dengan daerah definisi yang memuat empat persegi panjang
. Jika untuk nilai menuju suatu bilangan V untuk sebarang
pilihan dan , maka nilai V disebut sebagai integral lipat fungsi atas dan ditulis
sebagai
Jika salah satu arti integral tersebut adalah volume kotak dengan alas empat
persegi panjang dan tutupnya permukaan .
Bagian sulit dari Matematika adalah mencari suatu syarat untuk fungsi agar integral tersebut
ada. Sebagai contoh, apakah semua fungsi terbatas di empat persegi panjang tertutup
mempunyai integral ? ternyata hal ini tidak benar. Pada mata kuliah lebih lanjut,
diperlihatkan bahwa integral fungsi ada jika fungsi tersebut kontinu ataupun jika tidak
kontinu hanya pada bagian “kecil saja”. Khususnya untuk daerah di , fungsi terbatas
mempunyai integral jika fungsi tersebut kontinu kecuali pada sub daerah yang bersifat satu
dimensi atau kurang (lengkungan, titik, dan lain sebagainya).
8
Kalkulus Peubah Banyak II

9. 2.5 Sifat Integral Lipat Dua
1. Misalkan empat persegi panjang dinyatakan dalam dua empat persegi panjang
dan , maka
2. Jika untuk setiap di maka
3. Jika untuk semua di , maka
4. Sifat linear
Keempat sifat tersebut dengan mudah dapat dibuktikan berdasarkan definisi integral,
sehingga pembuktiannya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Sifat integral tersebut membawa beberapa akibat yang perlu dikemukakan di sini.
Misalkan untuk semua di , maka
(Wono Setya Budhi : 2001, Hal 205-206)
9
Kalkulus Peubah Banyak II

10. BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Pada pokok bahasan “Arti Geometri Integral Lipat Dua”, diperoleh pengertian
integral rangkap dua yang ditulis dalam bentuk :
Ialah pengintegralan pertama dilakukan terhadap dengan memandang sebagai
fungsi dari dan dianggap tetap (konstan), sedang batas integral yaitu ke ,
kemudian hasil pengintegralan pertama diintegrasikan terhadap dengan batas integrasi dari
ke .
Bila integral diberikan dalam bentuk:
Maka pengintegralan pertama dilakukan terhadap dengan batas dari ke ,
kemudian hasilnya diintegrasikan terhadap dengan batas ke . Batas dan
merupakan konstanta.
Secara umum bentuk integral lipat dua dapat ditulis :
atau
10
Kalkulus Peubah Banyak II

11. Dimana diinterasikan melalui daerah (region) integrasi S, daerah integrasi
merupakan sebuah persegi empat yang setiap sisinya sejajar dengan salah satu sumbu
koordinat.
3.2 Saran
Di dalam makalah ini terdapat pembahaan mengenai arti geometris integral lipat dua
yang mengkaji permasalahan mengenai integral lipat dua di antaranya pengertian geometris
integral lipat dua. Untuk itu sangat di sarankan untuk dipahami sebagai modal untuk lebih
memahami materi selanjutnya.
11
Kalkulus Peubah Banyak II

12. DAFTAR PUSTAKA
Ayres JR, Frank. 2002. SCHAUM OUTLINE SERIES Terjemahan Lengkap Kalkulus .
Jakarta : Yustadi Cipta Science Team
Setya Budhi,Wono.2001.KALKULUS PEUBAH BANYAK DAN PENGGUNAANNYA.
Bandung : ITB Bandung.
http://www.google.com/#hl=en&tbo=d&sclient=psy- ab&q=definisi+integral+lipat+dua
+secara+umum.doc diakses tanggal 10 feb 2013 Pukul 19:08 WIB
12
Kalkulus Peubah Banyak II