Dokumen tersebut membahas tentang: 1. Penggunaan integral tentu untuk menghitung luas daerah bidang dan volume benda putar 2. Metode kulit tabung untuk menghitung volume benda putar 3. Rumus panjang kurva dan luas permukaan benda putar

1. PENGGUNAAN
INTEGRAL TENTU
BY. KELOMPOK 5
Muhammad Fatkhurrozi, Eka Pratama Rahmad Putra, Muhammad Fahmi Hally, Ahmad Thoriq
Maudrey Kbarek, Risyah Nauroh Mahdiyah, Rinzani Cyzaria Putri

2. 1. LUAS DAERAH BIDANG RATA
• Daerah di atas sumbu – x
Andaikan 𝑦=𝑓(𝑥) menentukan persamaan sebuah kurva di bidang 𝑥𝑦 dan andaikan
𝑓 kontinu dan tak negatif pada selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Perhatikan daerah 𝑅 yang dibatasi oleh
grafik – grafik 𝑦=𝑓(𝑥), 𝑥=𝑎, 𝑥=𝑏, dan 𝑦=0. Kita menggunakan acuan 𝑅 sebagai daerah di
bawah 𝑦=𝑓(𝑥), antara 𝑥=𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑥=𝑏. Luasnya 𝐴(𝑅) diberikan oleh
A(R) = 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥

3. CONTOH 1 (EXAMPLE 1 EBOOK HALAMAN 275)
• Temukan luas wilayah R di bawah 𝑦 = 𝑥4 − 2𝑥3 + 2 antara x = -1 dan x = 2
Grafik R ditunjukkan pada gambar 2, perkiraan yang masuk akal untuk area R adalah
waktu dasar dan tinggi rata-rata

4. • Daerah di bawah sumbu – x
Luas dinyatakan oleh bilangan yang tak negatif. Apabila grafik 𝑦=𝑓(𝑥) terletak di
bawah sumbu x, maka 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 adalah bilangan negatif, sehingga tidak dapat
menyatakan suatu luas. Akan tetapi bilangan itu adalah negatif dari luas daerah yang
dibatasi oleh 𝑦=𝑓(𝑥),𝑥=𝑎,𝑥=𝑏,dan 𝑦=𝑜
• Contoh 2 : Example 2 ebook halaman 275
• Contoh 3 : Example 3 ebook halaman 276

5. • Cara pengerjaan yang dapat membantu :
Untuk daerah sederhana yang sudah dibahas sebelumnya, mudah sekali untuk
menuliskan integral yang benar. Bilamana meninjau daerah yang lebih rumit, tugas
pemilihan integral yang benar jadi lebih sukar. Terdapat suatu cara berpikir yang dapat
sangat membantu. Berikut langkah – langkahnya :
• Langkah 1 : Gambarlah daerah yang bersangkutan
• Langkah 2 : Irislah menjadi irisan – irisan kecil ; berilah label pada suatu irisan tertentu
• Langkah 3 : Hampiri luas irisan tertentu ini, dengan menganggap berupa sebuah segi-
empat

6. • Langkah 4 : Jumlahkanlah hampiran – hampiran luas irisan tersebut
• Langkah 5 : Ambillah limit dengan lebar masing – masing irisan mendekati nol, sehingga
diperoleh suatu integral tentu
• Secara umum langkah tersebut dapat dipersingkat menjadi tiga langkah, yaitu iris,
hampiri, integrasikan.
• Contoh 4 : Example 4, ebook halaman 276

7. • Daerah di antara Dua Kurva
Perhatikan kurva – kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan 𝑦 = 𝑔(𝑥) dengan 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) pada 𝑎 ≤
≤ 𝑏. Kurva – kurva dan selang itu menentukan daerah yang diperlihatkan pada
gambar. Kita menggunakan metode iris, hampiri, dan integrasikan untuk
luasnya. Perhatikan bahwa 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) memberikan tinggi yang benar dari irisan tipis
tersebut, walaupun grafik 𝑔 berada di bawah sumbu 𝑥. Sebab dalam kasus ini 𝑔(𝑥)
negatif; jadi mengurangkan dengan 𝑔(𝑥) berarti menambahkan dengan bilangan
positif. Kalian dapat memeriksa bahwa 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) juga memberikan tinggi yang
benar, sekalipun 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) dua – duanya negatif.
• Contoh soal : Example 5 ebook halaman 277.

8. 2. VOLUME BENDA PUTAR
Metode Kulit tabung adalah salah satu cara untuk mencari volume benda putar.
Untuk banyak persoalan, metode ini lebih mudah digunakan ketimbang metode lainnya.
Sebuah kulit tabung adalah sebuah benda yang dibatasi oleh dua tabung lingkaran tegak
yang sepusat. Jika jari – jari dalam adalah 𝑟1 dan jari – jari luar adalah 𝑟2, dan tinggi
tabung adalah ℎ, maka volumenya diberikan oleh :
𝑣 = 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑎𝑠 ∙ 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖
= (𝜋𝑟2
2
− 𝜋𝑟1
2
) ∙ ℎ
= 𝜋 𝑟2 + 𝑟1 𝑟2 − 𝑟1 ∙ ℎ
= 2𝜋
𝑟2+𝑟1
2
ℎ 𝑟2 − 𝑟1

9. • Persamaan
𝑟2+𝑟1
2
yang akan kita tandai dengan 𝑟, adalah rata – rata dari 𝑟1 dan 𝑟2. Jadi,
𝑉 = 2𝜋 ∙ (𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎) ∙ (𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖) ∙ (𝑡𝑒𝑏𝑎𝑙)
= 2𝜋𝑟ℎΔ𝑟
• Berikut adalah cara untuk mengingat rumus, jika kulit tabung sangat tipis dan fleksibel
(seperti kertas), kita dapat memotongnya sepanjang sisi, membuka sehingga membentuk
selembar siku empat, kemudian menghitung volumenya dengan menganggap bahwa
lembaran ini berbentuk sebuah kotak tipis dengan panjang 2𝜋𝑟, tinggi ℎ, dan tebal Δ𝑟

10. • Metode kulit tabung
Perhatikan suatu daerah semacam yang diperlihatkan pada Gambar, irislah daerah
itu secara tegak dan kemudian putar mengelilingi sumbu 𝑦. Maka akan terbentuk sebuah
benda putar dan tiap irisan akan membentuk sebuah potongan yang menyerupai kulit
tabung. Untuk memperoleh volume benda ini, kita hitung volume suatu kulit tabung Δ𝑉,
jumlahkan, dan kemudian ambillah limitnya apabila tebal kulit tabung menuju nol. Dan
kemudian integralkan.
• Contoh Soal : Example 1 ebook halaman 289

11. 3. PANJANG KURVA
• Definisi :
A. Kurva :
Kurva itu merupakan grafik sebuah fungsi.
Lingkaran menyarankan cara pemikiran lain tentang kurva. Ingatlah kembali dari trigonometri
bahwa : 𝑥 = a cos 𝑡 , 𝑦 = 𝑎 sin 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 menggambarkan lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎2. Pikirkanlah 𝑡
sebagai waktu dan 𝑥 dan 𝑦 sebagai sebuah partikel pada waktu 𝑡. Peubah 𝑡 disebut parameter. Baik
𝑥 maupun 𝑦 dinyatakan dalam bentuk parameter ini. Kita katakan bahwa 𝑥 = a cos 𝑡, 𝑦 = asin 𝑡,
0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋. Adalah persamaan parametrik yang menggambarkan lingkaran.

12. B. Kurva bidang :
Ditentukan oleh sepasang persamaan parametric 𝑥 = 𝑓(𝑡), 𝑦 = 𝑔(𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, dengan fungsi
𝑓 dan 𝑔 kita andaikan kontinu pada selang tersebut. Anggap 𝑡 menyatakan waktu. Apabila 𝑡
bertambah dari 𝑎 hingga 𝑏, titik (𝑥, 𝑦) menyelusuri suatu kurva di bidang.
C. Definisi sebuah kurva bidang disebut mulus (smooth) jika kurva ditentukan oleh
sepasang persamaan parametric 𝑥 = 𝑓(𝑡), 𝑦 = 𝑔(𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, dengan 𝑓′ dan 𝑔′ ada dan
kontinu pada [𝑎, 𝑏], dan 𝑓′(𝑡) dan 𝑔′(𝑡) tidak bersama – sama nol pada selang (𝑎, 𝑏).

13. D. Luas Permukaan Benda Putar
Jika sebuah kurva bidang mulus diputar mengelilingi sebuah sumbu dalam bidangnya, maka
kurva membentuk suatu permukaan benda putar.
• Jika kurva diberikan secara parametric oleh 𝑥 = 𝑓(𝑡), 𝑦 = 𝑔(𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, maka rumus luas
permukaan menjadi :
𝐴 = 2𝜋
𝑎
𝑏
𝑦 𝑑𝑠 = 2𝜋
𝑎
𝑏
𝑔(𝑡) [𝑓′ 𝑡 ]2 + [𝑔′(𝑡)]2 𝑑𝑡
• Contoh Soal : example 7 ebook halaman 299