Dokumen tersebut membahas tentang konsep integral untuk menghitung luas daerah bidang datar. Terdapat beberapa contoh soal yang mendemonstrasikan penggunaan integral untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva, baik secara vertikal maupun horizontal. Metode pengirisan digunakan untuk mendekati luas daerah tersebut.

1. MATEMATIKA DASAR II
5.1 Luas Daerah Bidang Datar
Dita Monita
Universitas Palangka Raya

2. Luas Daerah Bidang Datar
Pembahasan singkat tentang luas daerah pada Subbab 4.1 diperlukan untuk
memberikan dasar tentang definisi integral tentu. Setelah mempelajari TDK I dan
TDK II, kita bisa menghitung integral tentu dengan cara yang jauh lebih sederhana
(seperti yang kita pelajari di SMA), sehingga sekarang kita bisa menggunakan
integral tentu untuk menghitung luas daerah yang lebih rumit.

3. Contoh 1 (Daerah di Atas Sumbu-x)
Carilah luas daerah R di bawah kurva y = 𝑥4 − 2𝑥3 + 2 di antara x = -1 dan x = 2.
Jawab:
Luas daerah R diperlihatkan dalam Gambar 1 di samping. Nilai estimasi wajar untuk luas R
adalah alas kali rata-rata tinggi = 3 . 2 = 6, sedangkan nilai eksaknya adalah
𝐿 𝑅 =
−1
2
𝑥4
− 2𝑥3
+ 2 𝑑𝑥 =
𝑥5
5
−
2𝑥4
4
+ 2𝑥
−1
2
=
𝑥5
5
−
𝑥4
2
+ 2𝑥
−1
2
=
25
5
−
24
2
+ 2(2) −
−1 5
5
−
−1 4
2
+ 2 −1 =
32
5
− 8 + 4 −
−1
5
−
1
2
− 2
=
51
10
= 5,1.
Nilai 5,1 cukup dekat dengan nilai estimasi 6, sehingga kita bisa yakin dengan
kebenarannya.
Gambar 1

4. Contoh 2 (Daerah di Bawah Sumbu-x)
Carilah luas daerah R yang dibatasi oleh y =
𝑥2
3
− 4, sumbu-x, x = -2 dan x = 3.
Jawab:
Daerah R diperlihatkan oleh Gambar 2 di samping. Kita tahu bahwa jika grafik terletak di
bawah sumbu-x, maka nilai integral tentu 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 adalah bilangan negtaif. Padahal
kita tahu bahwa luas daerah tidak mungkin bernilai negatif. Namun sebenarnya, negatif
dari hasil integral tersebut tidak lain adalah luas daerah R. Oleh karena itu, luas daerah R
bisa kita hitung sebagai berikut.
𝐿 𝑅 = − −2
3 𝑥2
3
− 4 𝑑𝑥 = −
1
3
.
𝑥3
3
− 4𝑥
−2
3
= −
𝑥3
9
+ 4𝑥
−2
3
= −
27
9
+ 12 −
8
9
− 8 =
145
9
= 16,11.
Nilai ini tidak terlalu jauh dengan nilai estimasi L = alas x tinggi = 5 x 3 = 15, sehingga
perhitungan kita yang demikian (yang dikali negatif) bisa kita yakini benar.
Gambar 2

5. Problem 1
Bagaimana jika daerah yang ingin dicari luasnya sebagiannya berada di atas sumbu-x dan
sebagian lainnya berada di bawah sumbu-x? Untuk memahaminya, coba kalian kerjakan soal
berikut.
Tentukan luas daerah diarsir di bawah ini menggunakan integral tentu.

6. Daerah di Antara Dua Kurva
Tinjaulah daerah R yang dibatasi kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan g(x) ≤ f(x)
pada a ≤ x ≤ b, misalkan seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 3 di samping. Kita
gunakan metode “iris, aproksimasikan, integrasikan” untuk mencari luasnya. Pastikan
bahwa f(x) – g(x) memberikan nilai tinggi yang benar untuk irisan tipis tersebut
sekalipun grafik g ada yang berada di bawah sumbu-x. Dalam kasus ini, saat kita
mengurangkan f(x) dengan g(x) yang negatif, maka sama saja dengan menambahkan
f(x) dengan bilangan positif, sehingga f(x) – g(x) memang mewakili tinggi dari irisan-
irisan daerah diarsir. Anda juga bisa memeriksa bahwa f(x) – g(x) memberikan nilai
tinggi yang benar sekalipun f(x) dan g(x) keduanya negatif.
𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑖𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ∆𝑥
𝐿 𝑅 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
Catatan: Fungsi dengan grafik lebih tinggi dikurang fungsi dengan grafik lebih rendah.
Gambar 3
R

7. Contoh 3 (Pengirisan Tegak)
Carilah luas daerah di antara kurva y = x4 dan y = 2x – x2.
Jawab:
Kita mulai dengan mencari titik-titik potong dari dua kurva tersebut. Untuk
ini, kita perlu menyelesaikan x4 = 2x – x2, suatu persamaan berderajat
empat yang biasanya sukar dicari penyelesaiannya. Namun dalam kasus ini,
cukup jelas bahwa x = 0 dan x = 1 adalah penyelesaiannya (coba saja
substitusikan untuk memeriksanya). Sketsa daerah tersebut, beserta
aproksimasi dan integral yang bersangkutan (lihat Gambar 4).
𝐿 𝑅 =
0
1
(2𝑥 − 𝑥2
) − 𝑥4
𝑑𝑥 = 𝑥2
−
𝑥3
3
−
𝑥5
5 0
1
= 1 −
1
3
−
1
5
=
7
15
.
Gambar 4

8. Contoh 4 (Pengirisan Mendatar)
Carilah luas daerah di antara parabola y2 = 4x dan garis 4x – 3y = 4.
Jawab:
Persamaan 1: 4x = y2
Persamaan 2: 4x = 3y + 4.
Sama seperti contoh sebelumnya, kita cari dulu titik potongnya dengan cara menyamakan
kedua persamaan di atas. Pandang,
y2 = 3y + 4
y2 – 3y – 4 = 0
(y – 4)(y + 1) = 0
y = 4 atau y = -1
Ketika y = 4, maka x = 4 dan ketika y = -1, maka x =
1
4
. Jadi, kita simpulkan bahwa titik potong
adalah (4, 4) dan (
1
4
, -1). Daerah di antara kurva-kurva diberikan oleh Gambar 5.

9. Sekarang bayangkan kita mengiris daerah ini secara tegak (lihat
Gambar 5). Kita menghadapi masalah karena daerah sebelah kiri x =
¼ merentang dari cabang bawah parabola ke cabang atas parabola,
sedangkan daerah sebelah kanan x = ¼ merentang dari grafik garis
ke cabang atas parabola. Ini berarti daerah R memiliki cara berbeda
dalam menentukan tinggi irisan. Untuk memecahkan masalah ini
dengan irisan tegak, pertama kita harus pisahkan daerah menjadi
dua bagian, menyusun integral untuk masing-masing bagian, dan
kemudian menghitung kedua integral tersebut.
Pendekatan yang jauh lebih sederhana adalah dengan melakukan
irisan mendatar, seperti pada Gambar 6.
Gambar 5
R

10. Untuk melakukan integral dengan irisan mendatar, kita
harus cari dulu persamaan untuk x dari masing-masing
kurva, yaitu
Kurva 1: y2 = 4x ⇒ x =
y2
4
Kurva 2: 4x – 3y = 4 ⇒ x =
3y + 4
4
Perhatikan bahwa lebar irisan mendatar bisa diperoleh
dengan cara mengurangkan x yang lebih besar (grafik
kanan) dengan x yang lebih kecil (grafik kiri), yaitu
3y + 4
4
−
y2
4
. Selanjutnya, tinggi irisan adalah ∆𝑦 .
Sekarang kita siap untuk menghitung luas daerah antar
dua kurva tersebut, yaitu
𝐿 =
−1
4
3y + 4
4
−
y2
4
𝑑𝑦 =
1
4 −1
4
3y + 4 − y2 𝑑𝑦 =
1
4
3𝑦2
2
+ 4𝑦 −
𝑦3
3 −1
4
=
125
4
.
Gambar 6

11. Problem 2
Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut ini.

12. Jarak dan Perpindahan
Pandang suatu benda yang bergerak di sepanjang garis lurus dengan kecepatan v(t) pada saat t.
 Jika v(t) ≥ 0, maka 𝑎
𝑏
𝑣 𝑡 𝑑𝑡 sama dengan jarak yang ditempuh dalam interval a ≤ t ≤ b.
 Jika v(t) kadang kala negatif (yang berarti bergerak ke arah sebaliknya), maka
𝑎
𝑏
𝑣 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑠(𝑡) 𝑎
𝑏
= 𝑠 𝑏 − 𝑠(𝑎)
sama dengan perpindahan benda dan jarak totalnya sama dengan 𝑎
𝑏
𝑣(𝑡) 𝑑𝑡.

13. Contoh 5
Sebuah benda berada pada posisi x = 3 saat t = 0. Kecepatannya pada waktu t
dinyatakan oleh v(t) = 5 sin 6𝜋t. Di mana posisi benda pada saat t = 2 dan berapa
jauh benda tersebut menjelajah (jarak total) selama waktu tersebut?
Jawab:
Perpindahan benda adalah
𝑠 2 − 𝑠 0 =
0
2
𝑣 𝑡 𝑑𝑡 =
0
2
5 sin 6𝜋t 𝑑𝑡 = −
5
6𝜋
𝑐𝑜𝑠6𝜋𝑡
0
2
= 0 .
Jadi, posisi benda saat t = 2 adalah s(2) = s(0) + 0 = 3 + 0 = 3.

14. Sedangkan jarak total yang ditempuh adalah
0
2
𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 =
0
2
5 sin 6𝜋t 𝑑𝑡
Dalam integrasi ini, kita menggunakan sifat simetri (lihat Gambar 7).
Jadi, 0
2
5 sin 6𝜋t 𝑑𝑡 = 12 0
2/12
5 sin 6𝜋t 𝑑𝑡 = 60 −
1
6𝜋
cos 6𝜋𝑡
0
1/6
=
20
𝜋
≈ 6,3662. jarak total
Gambar 7

15. Question
Perhatikan penyelesaian contoh 5 tadi.
1. Saat mencari jarak total, kita menggunakan sifat kesimetrian. Mengapa kita
menggunakan sifat ini?
2. Jelaskan mengapa grafik 𝑣(𝑡) seperti itu (lihat Gambar 7)?
Petunjuk: Bandingkan dengan grafik 𝑣(𝑡).
3. Saat menghitung 0
2
5 sin 6𝜋t 𝑑𝑡, kita menggunakan sifat simetri. Karena sifat
ini, kita bisa menghilangkan tanda mutlak, tetapi batas atas berubah jadi 2/12
dan di depan tanda integral dikali dengan konstanta 12. Jelaskan mengapa
demikian?

16. Referensi
Purcell, Edwin J., Varberg, Dale & Rigdon, Steven E. 2006. Calculus 9th Ed. Prentice
Hall