Conjuntos numeros reales_o2020

CONJUNTOS Y
NÚMEROS REALES
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS UNIVERSITARIOS
Dra. Patricia García Godines
Mtra. Ana Rosa Faraco Pérez

 Colección de Objetos
 Característica común
Formas de representación:
 Por extensión:
 Por comprensión:
 Descripción Verbal:
⇒ Lista de los elementos dentro de llaves y separados por comas
⇒ Enunciado que describe la característica que es común
 Diagramas de Venn:
⇒ Los elementos se determinan a través de una condición que se
establece entre llaves.
⇒ Regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de
un conjunto o las relaciones entre conjuntos
Conjuntos:

 𝐴 = 1,2,3,4,5
Nombre del conjunto ⇒ Letras Mayúscula
 Por extensión:
 Por comprensión:
 Descripción Verbal:
⇒ 𝑨 = 1,2,3,4,5
⇒ El conjunto A está formado por los números enteros mayores
o iguales a uno y menores o iguales a cinco.
 Diagramas de Venn:
Elemento del conjunto ⇒ Letra minúscula
⇒ 𝐴 = 𝒙 ∈ ℤ: 1 ≤ 𝑥 ≤ 5
1
2
3
4 5
A
⇒ 𝐴 = 𝒙 ∈ ℤ 1 ≤ 𝑥 ≤ 5
Notación:

∈ ⇒ Pertence ⇒ Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto
∉ ⇒ No Pertence
⊂ ⇒ Es Subconjunto ⇒ Para indicar que un conjunto de elementos están todos
contenidos en otro conjunto.
⊄ ⇒ No es subconjunto de
𝐴 ⇒ Cardinal del conjunto A ⇒ Cantidad de elementos que tiene el conjunto A.
También se puede representar por 𝜂(𝐴)
Símbolos Especiales:

 Conjunto Universo ( 𝑼) ⇒ Contiene a todos los elementos posibles
 Conjunto Vacío (∅ ó { } ) ⇒ NO contiene elementos
 Conjunto Finito ⇒ Sus elementos pueden ser contados
 Conjunto Infinito ⇒ Sus elementos NO pueden ser contados
 Conjunto Discreto ⇒ Sus elementos se pueden separar: entre cada par de
elementos del conjunto no hay más elementos
 Conjunto Continuo ⇒ Sus elementos NO se pueden separar: entre cada par de
elementos del conjunto, siempre se pueden encontrar más
elementos.
Conjuntos Especiales:

Unión
⇒ Conjunto de elementos de A con todos los elementos de B sin
repetir ninguno
⇒ La unión de dos conjuntos 𝐴 , 𝐵:
𝑨 ∪ 𝑩
𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ B
𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ó 𝑥 ∈ B
Operaciones con Conjuntos:

Intersección
⇒ Conjunto de elementos de A que también pertenecen a B
⇒ La intersección de dos conjuntos 𝐴 , 𝐵:
𝑨 ∩ 𝑩
𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ B
𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 𝒚 𝑥 ∈ B

Complemento
⇒ Conjunto de elementos del conjunto Universo 𝑼 que no están en A
⇒ El complemento de un conjunto 𝐴:
𝑨′
𝑨′ = 𝑥 ∈ 𝑼: 𝑥 ∉ 𝐴
𝑨′ = 𝑥 ∈ 𝑼 𝑥 ∉ 𝐴

Diferencia
⇒ Conjunto de elementos que pertenecen a 𝑨 y NO pertenecen a 𝑩
⇒ La diferencia de dos conjuntos 𝐴 y 𝐵
𝑨 − 𝑩
𝑨 − 𝑩 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝑨 ∧ 𝑥 ∉ 𝑩
𝑨 − 𝑩 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝑨 𝑦 𝑥 ∉ 𝑩
𝑨 − 𝑩 = 𝑨 − (𝑨 ∩ 𝑩)
𝑨 − 𝑩 = 𝑨 ∩ 𝑩′

 Conjuntos Iguales ⇒ Tienen exactamente los mismos elementos
 Conjuntos Desiguales ⇒ Si por lo menos difieren en un elemento
 Conjuntos Equivalentes ⇒ Si tienen la misma cantidad de elementos (misma cardinalidad)
 Conjunto Disjuntos o Ajenos ⇒ NO tienen elementos en común.
𝑨 = 𝑩
𝑨 ≠ 𝑩
𝑨 ∩ 𝑩 = { }
𝑨 ≈ 𝑩 ⇒ 𝑨 = 𝑩
𝑨 ≈ 𝑩 ⇒ 𝜼(𝑨) = 𝜼(𝑩)
Más Conjuntos Especiales:

 Propiedades Asociativas:
 Propiedades Conmutativas
 Propiedades Distributivas
Propiedades de las Operaciones con Conjuntos:

 Primera ley: El complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de sus complementos
Leyes de Morgan:

 Segunda ley: El complemento de la intersección de dos conjuntos es la unión de sus complementos
Leyes de Morgan:

Números y Conjuntos
En equipos de 3 integrantes, realiza una
presentación acerca del sistema de los
números reales. Puedes incluir
diagramas, gráficos, o lo que consideres
necesario.
¿Qué sabes acerca del sistema de los números reales?
https://view.genial.ly/5613c4481561f30cfc43e228

Números Naturales  
N 1,2,3,4,...

 Sirven para contar/ordenar
 Están ligados a objetos
 Operaciones bien definidas para
ellos: ADICIÓN, MULTIPLICACIÓN

Números Enteros: Cuando en el sistema numérico se incluye al
cero y a los enteros negativos
 
Z ..., 2, 1,0,1,2,3,4,...
  
 Operaciones bien definidas:
SUMA/RESTA/MULTIPLICACIÓN.
N Z

 
Z Z 0 Z
 
  

Números Racionales: cuando se introducen fracciones
Q : , Z, 0
p
p q q
q
 
  
 
 
N Z Q
 
Notación decimal
1
0.333... 0.3
3
 
 Operaciones bien definidas:
SUMA/RESTA/MULTIPLICACIÓN/DIVISIÓN
 Decimales finitos
 Decimales periódicos
=> Cociente de dos enteros

 
Q Q 0 Q
 
  

Números Irracionales:
Uno de los discípulos de Pitágoras demostró que el número . Los
números que no pertenecen a los racionales son llamados números irracionales.
Q' I

irracionales algebraicos
I=
irracionales trascendentes



2 Q

 Decimales infinitos
no periódicos

Números Irracionales:
 Racional + Irracional = Irracional
 Racional - Irracional = Irracional
 Racional ≠ 0 x Irracional= Irracional
 El cociente entre Racional ≠ 0 e Irracional = Irracional
 El inverso de un número irracional es un número irracional

Q Q' R
 
Números Reales:

Propiedad de Densidad de la Recta numérica:
¿Cuál es el mayor de los números en el intervalo −2, 4) ?
¿ El número más grande en el intervalo es 3. 9 ?
¿ El número menor número en el intervalo (-3, 8] es −2. 9 ?

Propiedad de Densidad:
 Entre dos números racionales, siempre puedes encontrar un irracional.
 Densidad de los números reales: “Por más cercano que esté un par de números
reales, siempre existe un conjunto infinito de números reales entre ellos”.

1. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso de ser falsa,
proporciona argumentos que lo demuestren.
a. A cada número Natural le corresponde un solo punto en la recta numérica.
b. A cada punto sobre la recta numérica le corresponde un número entero.
c. El conjunto de los números Naturales es cerrado bajo la sustracción.
d. El conjunto de los números Naturales es cerrado bajo la suma.
e. El Conjunto de los números Enteros es cerrado bajo el producto.
f. El conjunto de los números Enteros es cerrado bajo la división.
g.
22
7
= 𝜋.
h. El conjunto de los números naturales está contenido en el conjunto de los números
enteros.
i. 0 ∈ 𝐼.
j. 𝑍 ∪ 𝑄 = 𝑅.

2. Representa al conjunto de números naturales pares mayores a 2 y menores o
iguales a 24.
¿La forma de representación que elegiste es única?
3. Representa a los números impares positivos.
¿Cuántos números impares positivos existen?
¿Cuántos números pares existen?
¿Cuántos números naturales existen?
¿Hay más números naturales o enteros?
4. Ubica en la recta numérica un número 𝑐 < 0. Desarrolla un procedimiento para
ubicar el número 𝑐/3 y −𝑐.

Notación de Intervalos
Un objeto es lanzado hacia arriba con una velocidad inicial de 32 pies por segundo
desde un punto que está a 20 pies sobre el nivel del piso. En la siguiente tabla se
muestran los datos de la altura del objeto al tiempo t.
t 0 .2 .4 .6 .8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.5
altura 20 25.76 30.24 33.44 35.36 36 35.36 33.44 30.24 25.76 20 12.96 4.64 0
¿Qué representa el conjunto de números {0, .2, .4, .6, .8, 1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2, 2.2, 2.4, 2.5}?
¿El tiempo salta de 1 a 1.2 segundos? , ¿nunca toma el valor de 1.1 o 1.01 o 1.001?

Se puede ver que  
0 2
t t
  
 
0,2
t
Intervalo cerrado cuando contiene a los
extremos
Denota a todos lo
números reales
comprendidos entre
0 y 2.

Ejemplos
1. El siguiente gráfico representa la temperatura en una fría mañana de invierno
desde la 1:00 am hasta las 8:00 am. Usa notación de intervalos para describir
cuándo la temperatura es menor a 0°

2. Usa notación de intervalos para representar a todos los números comprendidos
entre 3 y 2.
3. Usa notación de intervalos para representar al conjunto de números mostrado en la
siguiente línea.
4. Describe los números reales mayores que -2 y menores que 4, usando notación de
intervalos.

5. En el siguiente gráfico, suponga que el número 1 simboliza que cierta especie
de animales existe y el número -1 simboliza que la especie se ha extinguido. Use
notación de intervalos para describir cuando la especie se habrá extinguido.

6. Usa notación de intervalos para representar a todos los números menores o iguales a -7.
7. Usa notación de intervalos para describir los puntos en los que la V está por arriba de la recta real.

8. Usa notación de intervalos para describir cuando la Z está arriba y cuando está debajo de la
recta real.
9. Describe el conjunto números en la intersección .
  ]
12
,
7
[
5
,
2 
10. Describe al conjunto de números en la intersección (−3.25,
121
40
∩ −3, )
0

Axiomas de los números reales.

Propiedades de una igualdad
Si , entonces Propiedad de la adición
Si , entonces Propiedad de la sustracción
Si , entonces Propiedad de la multiplicación
Si 𝑎 ∙ 𝑏 = 0, entonces 𝑎 = 0 ó 𝑏 = 0 o ambos. Propiedad del factor cero
a b
 , , , R
a c b c a b c
    
a b
 , , , R
a c b c a b c
    
, , , R, 0
ac bc a b c
   
a b


Propiedades de una igualdad
Si , entonces Propiedad de la división
𝒂
𝒃
=
𝒂
𝒃
×
𝒄
𝒄
=
𝒂𝒄
𝒃𝒄
∀𝒄 ∈ 𝑹: 𝒄 ≠ 𝟎 Fracciones Equivalentes
Identidad multiplicativa
a b
 , , , R, 0
a b
a b c
c c
   

Propiedades de una desigualdad
Propiedad de adición
Propiedad de sustracción
Propiedad de multiplicación por un número positivo
Si , entonces , , R
a b a c b c a b c
     
Si , entonces , , R
a b a c b c a b c
     
Si , entonces , R, 0.
a b ac bc a b c
    

Propiedades de una desigualdad
Propiedad de multiplicación por un número negativo
Propiedad de la división por un número positivo
Propiedad de la división por un número negativo
a b ac bc a b c
    
a b
a b a b c
c c
    
a b
a b a b c
c c
    

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