Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Pendugaan parameter

5,258 views

Published on

  • Be the first to comment

Pendugaan parameter

  1. 1. 38. VII. PENDUGAAN PARAMETERInferensi statistik , yaitu pengambilan kesimpulan mengenai populasi berdasarkan hukum statis-tika , berhubungan dengan persoalan pendugaan parameter dan pengujian hipotesis.Informasi yang relevan dari populasi dapat dinyatakan dengan cara memilih ukuran-ukurandeskriptif yang bersifat numerik yang disebut : parameter.VII.1. Pendugaan Titik dan Pendugaan Interval.Pendugaan Titik.Parameter populasi yang biasanya tidak diketahui nilainya dapat diduga dengan menggunakanstatistik sampel. Dalam pendugaan titik , kita tentukan suatu nilai tunggal yang mendekati nilaiparameter tersebut. Suatu penduga yang baik adalah penduga yang memenuhi sifat antara lain :takbias dan paling efisien.Definisi.Suatu statistik θ dikatakan penduga tak bias dari parameter θ jika : $ ( ) $ E θ =θContoh :Misalkan X 1 , X 2 , × × × X n saling bebas , masing-masing mempunyai mean µ dan variansi σ . × ×, 2Penduga tak bias untuk µ dan σ 2 adalah X dan S 2 dimana : 1 n 1 n X= ∑ Xi n i =1 dan S2 = ∑ ( X i − X )2 n − 1 i =1Definisi.Pandang kelas yang terdiri atas semua penduga tak bias bagi parameter θ . Jika dapat dicari suatu µ µpenduga ,misalnya θ ∗ sehingga variansi θ ∗ terkecil dibandingkan variansi penduga tak bias µyang lain , maka θ ∗ disebut penduga paling efisien bagi θ .
  2. 2. 39Pendugaan IntervalPada pendugaan titik, parameter yang tak diketahui hanya diduga dengan satu nilai, sehinggakecil kemungkinannya untuk menduga parameter secara tepat. Akan lebih baik bila kita dapatmenentukan suatu interval dimana kita berharap bahwa nilai parameter yang sebenarnya akanterletak di dalam interval tersebut.Suatu dugaan/taksiran interval bagi parameter θ adalah sebuah interval yang berbentuk^ ^ ^ ^ ^ ^θ L< θ < θU θL θU , dimana dan bergantung pada statistic Θ dan distribusi sampling dari Θ . ^Karena sampel-sampel yang berbeda akan menghasilkan nilai-nilai yang berbeda bagi dan Θ ^ ^tentunya juga nilai-nilai dari θL dan θ U , sehingga ujung-ujung interval merupakan nilai-nilai ^ ^ ^dari variable-variabel acak ΘL dan ΘU . Berdasarkan distribusi sampling dari Θ , dapat ^ ^ ^ ^ ^ ^ Θ L< θ < Θ U θ L< θ < θU ) = 1 − α , dimana 0 < α < 1 . Intervalditentukan ΘL dan ΘU sehingga Pr (yang dihitung dari sampel yang terpilih dinamakan interval kepercayaan (1 − α )100% bagi θ ,dan 1 − α disebut koefisien kepercayaan atau tingkat kepercayaan.VII.2. Pendugaan Interval untuk Mean PopulasiKasus 1 :
  3. 3. 40Misalkan X 1 , X 2 , × × ×, X n suatu sampel acak yang diambil dari populasi berdistribusi normal × ××dengan mean µ dan variansi σ maka mean sampel X akan berdistribusi normal dengan mean 2µ dan variansi σ , sehingga 2 n X −µ Z= ~ N(0,1) σ nKita dapat menyatakan : ( P − zα 2 < Z < zα 2 = 1 − α ) − X−µDengan mensubstitusikan Z diperoleh : P(− z α / 2 < < zα / 2 ) = 1 − α σ/ n −Jadi, jika x adalah mean dari sampel acak berukuran n yang diambil dari populasi normaldengan variansi σ diketahui, maka interval kepercayaan ( 1 − α ) 100 % untuk µ adalah : 2 − − x − zα / 2 σ n < µ < x + zα / 2 σ n ^ ^Dalam hal ini jelas bahwa nilai-nilai dari variable random ΘL dan Θ U yang dijelaskansebelumnya, adalah : ^ − σ ^ − σ θ L = x − zα / 2 dan θ U = x + zα / 2 n n −Sampel yang berbeda akan menghasilkan nilai x yang berbeda sehingga taksiran interval bagibagi parameter µ yang dihasilkan juga akan berbeda.Kasus 2 :Misalkan X 1 , X 2 , × × ×, X n suatu sampel acak yang diambil dari populasi berdistribusi semba- × ××rang dengan mean µ dan variansi σ . Jika ukuran sampel n cukup besar, mean sampel X akan 2mendekati distribusi normal dengan mean µ dan variansi σ n . Jadi : 2
  4. 4. 41 X −µ Z= mendekati distribusi N ( 0,1) σ n ( )Dengan cara yang sama pada kasus 1, P − zα 2 < Z < zα 2 = 1 − α sehingga − X−µP (− z α / 2 < < zα / 2 ) = 1 − α . σ/ n −Jadi, jika x adalah mean dari sampel acak berukuran n ( n besar) yang diambil dari populasisebarang dengan variansi σ diketahui, maka interval kepercayaan ( 1 − α ) 100 % untuk µ 2adalah : − − x − zα / 2 σ n < µ < x + zα / 2 σ nKasus 3:Jika pada kasus 2 σ tidak diketahui, asalkan n besar maka melalui suatu penurunan rumus 2tertentu, diperoleh : − X−µ Z= mendekati distribusi N ( 0,1) . S n −Sehingga jika x adalah mean dari sampel acak berukuran n ( n besar) yang diambil daripopulasi sebarang dengan variansi σ tidak diketahui, maka interval kepercayaan ( 1 − α ) 100 % 2untuk µ adalah : − s − s x − zα / 2 < µ < x + zα / 2 n nKasus 4:Jika sampel berukuran kecil diambil dari populasi normal dimana variansi σ tidak diketahui, 2maka interval kepercayaan untuk µ dapat diperoleh dengan menggunakan distribusi t.
  5. 5. 42 X −µ t= S : tn −1 n ( ) P −tα 2;n −1 < t < tα 2;n−1 = 1 − α −Sehingga jika x adalah mean dari sampel acak berukuran n ( n kecil) yang diambil daripopulasi normal dengan variansi σ tidak diketahui, maka interval kepercayaan ( 1 − α ) 100 % 2untuk µ adalah : − s − s x −tα / 2;n−1 < µ < x + tα / 2;n−1 n nContoh.1.Sebuah mesin minuman ringan diatur sehingga banyaknya minuman yang dikeluarkan ber- distribusi normal dengan standar deviasi 1,5 desiliter. Bila suatu sampel acak 36 gelas mem- punyai isi rata-rata 22,5 desiliter,tentukan interval kepercayaan 95% untuk rata-rata banyak- nya minuman yang dikeluarkan oleh mesin tersebut. Jawab. X: banyaknya minuman ringan yang dikeluarkan oleh mesin X~N( µ, (1.5) 2 ) n = 36 ; σ = 1,5 ; x = 22,5 ( 1 − α ) = 0.95 → α = 0, 05 ; zα 2 = z0,025 = 1,96 σ 1,5 σ x − zo ,025 = 22,5 − 1,96 × = 22, 01 ; x + z0,025 = 22,99 n 36 n Jadi interval kepercayaan 95% untuk µ ialah : 22,01 < µ < 22,992. Suatu sampel acak 8 batang rokok merk tertentu mempunyai kadar nikotin rata-rata 3,6 mili gram dan standar deviasi 0,9 miligram. Tentukan interval kepercayaan 99% untuk kadar ni – kotin rata-rata dari rokok merk tersebut bila diasumsikan kadar nikotin berdistribusi normal.
  6. 6. 43 Jawab. X : kadar nikotin dan X~N( µ, σ 2 ) n=8 ; x = 3, 6 ; s = 0,9 1 − α = 0,99 → α = 0, 01 ; d.b = n – 1 = 7 ; t0,005,7 = 3, 499 s 0,9 s x − t0,005;7 = 3, 6 − 3, 499 × = 2, 49 ; x + t0,005;7 = 4, 71 n 8 8 Jadi interval kepercayaan 99% untuk µ ialah : 2,49 < µ < 4,71VII.3. Pendugaan Interval untuk Beda Dua Mean Populasi A. Dua Sampel yang Saling Bebas Kasus 1 :Misalkan gX 11 , X 12 ,K , X 1n1 adalah sampel acak berukuran n1 dari populasi normal yang mempunyai mean µ1 dan variansi σ 1 . 2 gX 21 , X 22 ,K , X 2 n2 adalah sampel acak berukuran n2 dari populasi normal yang mempunyai mean µ 2 dan variansi σ 2 . 2Dalam hal ini µ1 dan µ 2 tidak diketahui, sedangkan σ 1 dan σ 2 diketahui. 2 2Penduga titik tak bias untuk ( µ1 − µ2 ) adalah ( X 1 − X 2 ) , sehingga − − ( X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ 2 ) Z= σ 12 σ 2 2 ~ N(0,1) + n1 n2Kita dapat menyatakan bahwa : ( P − z α < Z < zα = 1 − α 2 2 )Dengan mensubstitusikan Z diperoleh :    ÷  − z < ( X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ 2 ) < z ÷ = 1 − α P α 2 ÷ α  2 σ 12 σ 2 2 ÷  + ÷  n1 n2 
  7. 7. 44 − −Jika x 1 dan x 2 adalah rata-rata dari dua sampel random yang salin bebas yang berukuran n1dan n2 yang diperoleh dari 2 populasi normal yang saling bebas dengan variansi σ 1 dan σ 2 , maka 2 2interval kepercayaan ( 1 − α ) 100% untuk ( µ1 − µ2 ) adalah : ( x1 − x2 ) − z σ12 + σ 22 < µ1 − µ 2 < ( x1 − x2 ) + z α 2 σ12 2 α n1 n n1 + σ 22 n 2 2Kasus 2 :Misalkan gX 11 , X 12 ,K , X 1n1 adalah sampel acak berukuran n1 dari populasi sebarang yang mempunyai mean µ1 dan variansi σ 1 . 2 gX 21 , X 22 ,K , X 2 n2 adalah sampel acak berukuran n2 dari populasi sebarang yang mempunyai mean µ 2 dan variansi σ 2 . 2Jika n1 dan n2 besar,maka : Z= (X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ2 ) → N ( 0,1) σ 12 σ 22 + n1 n2Kita dapat menyatakan bahwa : ( P − z α < Z < zα = 1 − α 2 2 )Dengan mensubstitusikan Z diperoleh :    ÷  − z < ( X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ 2 ) < z ÷ = 1 − α P α 2 ÷ α  2 σ 12 σ 2 2 ÷  + ÷  n1 n2 
  8. 8. 45 − −Jika x 1 dan x 2 adalah rata-rata dari dua sampel random yang saling bebas yang berukuran n1dan n2 ( n1 dan n2 besar) yang diperoleh dari 2 populasi sebarang yang saling bebas denganvariansi σ 1 dan σ 2 diketahui, maka interval kepercayaan ( 1 − α ) 100% untuk ( µ1 − µ2 ) 2 2 adalah : ( x1 − x2 ) − z σ12 + σ 22 < µ1 − µ 2 < ( x1 − x2 ) + z α 2 σ 12 2 α n1 n n1 + σ 22 n 2 2Kasus 3 :Jika pada kasus 2, σ 1 dan σ 2 tidak diketahui tetapi ukuran sampel n1 dan n2 cukup besar , 2 2melalui suatu penurunan rumus tertentu, − − ( X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ 2 ) Z= S12 S 2 2 → N (0,1) + n1 n2 − −Sehinnga jika x 1 dan x 2 adalah rata-rata dari dua sampel random yang saling bebas yangberukuran n1 dan n2 ( n1 dan n2 besar) yang diperoleh dari 2 populasi sebarang yang saling bebasdengan variansi σ 1 dan σ 2 tidak diketahui, maka interval kepercayaan ( 1 − α ) 100% untuk 2 2( µ1 − µ2 ) adalah : − − s12 s 2 2 − − s12 s 2 2 ( x 1 − x 2 ) − zα / 2 + < µ1 − µ 2 < ( x1 − x 2 ) + zα / 2 + n1 n 2 n1 n2Kasus 4 :Misalkan : X 11 , X 12 ,K , X 1n1 : sampel acak dari populasi normal dengan mean µ1 dan variansi σ 12 . X 21 , X 22 ,K , X 2 n2 : sampel acak dari populasi normal dengan mean µ 2 dan variansi σ 2 . 2
  9. 9. 46 Ukuran sampel n1 dan n2 kecil, σ 1 dan σ 2 tidak diketahui dan kedua sampel saling 2 2 bebas.Kasus 4.1 : Bila diasumsikan σ 12 = σ 22 = σ 2 , maka t= (X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ2 ) 2 1 1 berdistribusi t dengan d.b = n1 + n2 − 2 Sp  + ÷  n1 n2  dimana : S 2 = ( n1 − 1) S12 + ( n2 − 1) S22 p n1 + n2 − 2 adalah variansi rata-rata kedua sampel dan merupakan dugaan titik untuk σ . 2Kita dapat menyatakan : ( P −t α < t < t α = 1 − α 2 2 )Dengan mensubstitusikan t , diperoleh :   P  −t α < ( X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ2 ) < t ÷= 1 − α  2 ÷ ( ) α  S p n11 + n12 2 ÷ 2   − −Jika x 1 dan x 2 adalah rata-rata dari dua sampel random yang saling bebas yang berukuran n1dan n2 ( n1 dan n2 kecil) yang diperoleh dari 2 populasi normal yang saling bebas denganvariansi σ 1 dan σ 2 tidak diketahui tapi diasumsikan sama, maka interval kepercayaan 2 2( 1 − α ) 100% untuk ( µ1 − µ2 ) adalah : ( x1 − x2 ) − t α 2 s2 p ( 1 n1 ) + n12 < µ1 − µ2 < ( x1 − x2 ) + t α s 2 2 p ( 1 n1 + n12 ) t α : nilai distribusi t dengan d.b = n1 + n2 − 2 2
  10. 10. 47Kasus 4.2 : Bila diasumsikan σ 12 ≠ σ 22 . t= (X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ 2 ) S12 2 S2 mempunyai distribusi yang mendekati distribusi t dengan d.b = k + n1 n2 dimana : 2  s12 s2   n + 2 ÷  1 n2  2 k =  s2   s2  1 2  n÷  n ÷  1 +  2 n1 − 1 n2 − 1 − −Jika x 1 dan x 2 adalah rata-rata dari dua sampel random yang saling bebas yang berukuran n1dan n2 ( n1 dan n2 kecil) yang diperoleh dari 2 populasi normal yang saling bebas denganvariansi σ 1 dan σ 2 tidak diketahui tapi diasumsikan tidak sama, maka interval kepercayaan 2 2( 1 − α ) 100% untuk ( µ1 − µ2 ) adalah : ( x1 − x2 ) − t + n22 < µ1 − µ2 < ( x1 − x2 ) + t α ; k 2 2 2 2 α ;k s1 n1 s s1 n1 + n22 s 2 2 B. Dua Sampel BerpasanganMisalkan kita ingin menguji keefektifan suatu diet dengan menggunakan 7 individu yang diamatibobot badannya (dalam kilogram) sebelum dan sesudah mengikuti program diet itu selama 2minggu. Datanya adalah sebagai berikut : 1 2 3 4 5 6 7 Bobot Sebelum ( X 1i ) 58,5 60,3 61,7 69,0 64,0 62,6 56,7
  11. 11. 48 Bobot Sesudah ( X 2i ) 60,0 54,9 58,1 62,1 58,5 59,9 54,4Kedua sampel diatas tidak bebas karena pengukuran X 1i dan X 2i ; i = 1, 2, × × × diambil dari × ×7individu yang sama. Prosedur inferensi untuk persoalan ini adalah sebagai berikut:Misalkan dua kelompok variabel acak berdistribusi normal { X 11 , X 12 , ××××× X 1n } , dan{ X 21 , X 22 , ××××× X 2n } berelemen sama atau berpasangan. Definisikan n variabel acak baru,yaitu : , Di = X 1i − X 2 i ; i = 1, 2, × × ×n × ×.Karena X 1 dan X 2 berdistribusi normal, maka Di juga berdistribusi normal. Jadi{ D1 , D2 , ××××× Dn } merupakan sampel acak berukuran n dari suatu populasi normal dengan mean ,µ D = µ1 − µ2 dan variansi σ D . 2 1 n 1 n ∑ Di ∑ ( Di − D ) 2 g D= ; SD = 2 n i =1 n − 1 i =1 D − µD g t = SD : tn −1 nInterval kepercayaan ( 1 − α ) 100% untuk µ D dapat diperoleh dengan menyatakan : ( ) P −t α < t < t α = 1 − α 2 2  S S Dengan mensubstitusikan t , diperoleh : P  D − tα D < µ D < D + tα D ÷ = 1 − α  2 n 2 nJadi interval kepercayaan ( 1 − α ) 100% untuk µ D adalah : sd s d − tα < µ D < d + tα d 2 n 2 nContoh:
  12. 12. 49Lihat data diatas. 1 2 3 4 5 6 7 Sebelum ( x1i ) 58,5 60,3 61,7 69,0 64,0 62,6 56,7 Sesudah ( x2i ) 60,0 54,9 58,1 62,1 58,5 59,9 54,4 di = x1i − x2i - 1,5 5,4 3,6 6,9 5,5 2,7 2,3 7 ∑( d −d ) 2 1 7 d = ∑ di = 3,5 ; i : sd = 2, 77 7 i =1 sd = 2 i =1 = 7, 7 7 −1Dengan α = 0, 05 diperoleh : t0,025:6 = 2, 447Jadi interval kepercayaan 95% untuk µ D adalah : 2, 77 2, 77 3,5 − ( 2, 447 ) < µ D < 3,5 + ( 2, 447 ) 7 7 0,94 < µ D < 6, 06VII.4. Pendugaan ProporsiX suatu variabel binomial ( n,p ) dengan p tidak diketahui. Penduga titik bagi proporsi popu- X Xlasi p adalah statistik . Jika ukuran sampel n cukup besar , maka distribusi dari mendekati n ndistribusi normal dengan mean dan variansi : µX = p p ( 1− p) dan σ2 = X n n nJadi : X −p Z= n p (1− p) → N ( 0,1) nKita dapat menyatakan bahwa : ( P − z α < Z < zα = 1 − α 2 2 )
  13. 13. 50 X −pSubstitusikan Z = n p ( 1− p ) , maka : n X p ( 1− p) X p (1− p)  P  − zα < p < + zα ÷= 1− α n 2 n n 2 n ÷  Jika ukuran sampel n cukup besar , harga X n (1− X ) n mendekati p ( 1− p) . n nInterval kepercayaan ( 1 − α ) 100% untuk p adalah : x − zα x n (1− x n) < p < x + z α x n (1− x n) n 2 n n 2 nContoh: Dari suatu sampel acak 900 petani disuatu daerah,ternyata 610 orang diantaranya adalah buruh tani. Tentukan interval kepercayaan 90% untuk proporsi buruh tani diantara semua petani dida- erah tersebut.Jawab X : banyak buruh tani n = 900 ; X : b( x ,900, p ) ; x = 610 1 − α = 0,90 → α = 0,10 , zα2 = z0,05 = 1, 645 x − zα x n ( 1 − x n ) = 0, 65 ; x + zα x n ( 1 − x n ) = 0, 71 n 2 n n 2 n ∴ interval kepercayaan 90% untuk p adalah : 0,65 < p < 0,71VII.5. Pendugaan Beda Dua Proporsi Populasi
  14. 14. 51Misalkan ada dua populasi binomial dengan proporsi masing-masing p1 dan p2 . X1Dari populasi I diambil sampel acak berukuran n1 dengan proporsi sampel . n1 X2Dari populasi II diambil sampel acak berukuran n2 dengan proporsi sampel n2 ( X 1 dan X 2 : banyak “sukses” )Sampel acak yang diambil dari kedua populasi cukup besar dan saling bebas. X1 X 2Penduga titik untuk beda dua proporsi populasi p1 − p2 adalah − . n1 n2 X1 X 2Ukuran sampel n1 dan n2 cukup besar,maka distribusi dari − mendekati normal dengan n1 n2mean dan variansi : µ X1 − X 2 = p1 − p2 p1 ( 1 − p1 ) p2 ( 1 − p2 ) dan σ 21 − X 2 = X + n1 n2 n1 n2 n1 n2Jadi : Z= ( p1 − p2 ) − ( p1 − p2 ) ˆ ˆ  N ( 0,1) → X1 X2 p1q1 p2 q2 p1 = ˆ , p2 = ˆ + n1 n2 n1 n2 q1 = 1 − p1 , q2 = 1 − p2Kita dapat menyatakan bahwa : ( P − z α < Z < zα = 1 − α 2 2 )Interval kepercayaan ( 1 − α ) 100% untuk ( p1 − p2 ) adalah : ˆ ˆ ˆ ˆ p1q1 p2 q2 ˆ ˆ ˆ ˆ p1q1 p2 q2 ( p1 − p2 ) − z ˆ ˆ α + < p1 − p2 < ( p1 − p2 ) + z α ˆ ˆ + 2 n1 n2 2 n1 n2Contoh
  15. 15. 52Disuatu Universitas,diantara 2000 lulusan mahasiswa pria terdapat 114 orang yang lulus denganIPK ≥ 2,75 , sedangkan diantara 1000 lulusan mahasiswa wanita terdapat 61 orang lulus denganIPK ≥ 2,75. Tentukan interval kepercayaan 98% untuk beda proporsi lulusan dengan IPK ≥ 2,75antara mahasiswa pria dan wanita.JawabX : banyaknya mahasiswa yang lulus dengan IPK ≥ 2,75 x1 = 114 , n1 = 2000 , p1 = 0, 057 ˆ , q1 = 0,943 ˆ x2 = 61 , n2 = 1000 , p2 = 0, 061 ˆ , q2 = 0,939 ˆ 1 − α = 0,98 → z α = z0,01 = 2,33 , p1 − p2 = −0, 004 ˆ ˆ 2Interval kepercayaan 98% untuk p1 − p2 : −0, 0254 < p1 − p2 < 0, 0174VII.6. Pendugaan Variansi PopulasiSampel acak berukuran n diambil dari populasi normal dengan variansi σ . Dari sampel acak 2dapat dihitung variansi sampel S 2 .Interval kepercayaan untuk σ dapat diperoleh dengan menggunakan : 2 χ2 = ( n − 1) S 2 yang berdistribusi χ 2 dengan d.b = n-1 σ2 ( ) g P χ12− α < χ 2 < χ α2 = 1 − α 2 2Dengan mensubstitusikan χ 2 diperoleh :  ( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2  = 1 − α P <σ2 <   χ α2 χ12− α  2  2 Interval kepercayaan ( 1 − α ) 100% untuk σ adalah : 2
  16. 16. 53 ( n − 1) s 2 <σ2 < ( n − 1) s 2 χ α2 χ12− α 2 2Contoh Kita ingin menduga variansi IQ suatu populasi pelajar SMA disuatu daerah M dengan interval kepercayaan 90%. Dari sampel acak 20 orang pelajar, diperoleh variansinya adalah 214,1. Diasumsikan bahwa IQ berdistribusi normal.Jawab X : IQ pelajar SMA didaerah M n = 20 , s 2 = 214,1 α = 0,10 ; d.b = 20 – 1 = 19 ; χ α2 ;19 = χ 0,05;19 = 30,144 ; χ1− α2 ;19 = χ 0,95;19 = 10,117 2 2 2 2 ( n − 1) s 2 ( 19 ) ( 214,1) ( n − 1) s 2 ( 19 ) ( 214,1) = = 134,95 ; = = 402,09 χ 0,05;19 2 30,144 χ 0,95;19 2 10,117 Jadi interval kepercayaan 90% untuk σ 2 adalah : 134,95 < σ 2 < 402,09VII.7. Pendugaan Ratio Dua Variansi PopulasiMisalkan ada dua populasi normal,masing-masing mempunyai variansi σ 1 dan σ 2 . 2 2S12 adalah variansi sampel acak berukuran n1 yang diambil dari populasi I. 2S 2 adalah variansi sampel acak berukuran n2 yang dianbil dari populasi II.Kedua sampel acak saling bebas. σ 12 S2Penduga titik untuk ratio variansi adalah 12 . σ2 2 S2 σ 12Untuk mendapatkan interval kepercayaan untuk 2 kita menggunakan : σ2 S12 σ 12 F= 2 yang berdistribusi F dengan derajat bebas υ1 = n1 − 1 dan υ2 = n2 − 1 S2 σ2 2
  17. 17. 54 ( ) P F1− α < F < Fα = 1 − α 2 2Dengan mensubstitusikan F diperoleh :  S2 1 σ 12 S12 1  1 P  12 < 2 < 2 ÷= 1− α ; = Fα ;υ2 ,υ1  S 2 Fα ;υ ,υ σ 2 S 2 F1− α ;υ ,υ ÷ F1− α ;υ1 ,υ2 2  2 1 2 2 1 2  2 σ 12Interval kepercayaan ( 1 − α ) 100% untuk 2 adalah : σ2 s12 1 σ 2 s2 < 12 < 12 Fα ;υ2 ,υ1 ; υ1 = n1 − 1 , υ2 = n2 − 1 s2 Fα ;υ1 ,υ2 σ 2 s2 2 2 2ContohSuatu eksperimen dilakukan untuk membandingkan kecermatan dua merek detektor merkuridalam mengukur konsentrasi merkuri diudara. Pada suatu siang hari disuatu daerah tertentu dila-kukan pengukuran konsentrasi merkuri , 7 pengukuran dengan detektor merek A dan 6 pengu –kuran dengan detektor merek B. Diasumsikan bahwa hasil pengukuran berdistribusi normal.Diperoleh data : Merek A 0,95 0,96 0,82 0,78 0,71 0,86 0.99 Merek B 0,89 0,91 0,94 0,91 0,90 0,89 σ 12Tentukan interval kepercayaan 90% untuk 2 dimana σ 12 dan σ 2 masing-masing adalah 2 σ2variansi populasi semua hasil pengukuran dengan detektor merek A dan merek B.Jawab X 1 : hasil pengukuran konsentrasi merkuri dengan menggunakan detektor merek A. X 2 : hasil pengukuran konsentrasi merkuri dengan menggunakan detektor merek B . Dari data dapat dihitung : x1 = 0,867 ; s1 = 0, 010858 ; υ1 = 7 − 1 = 6 2 x2 = 0,907 ; s2 = 0, 000346 ; υ2 = 6 − 1 = 5 2
  18. 18. 55 1 − α = 0,90 → α = 0,10 . Dari tabel : F0,05;6,5 = 4,95 dan F0,05;5,6 = 4,39 σ 12Interval kepercayaan 90% untuk 2 : σ2 0, 010858  1  σ 12 0, 010858 < 2< ( 4,39 ) 0, 000346  4,95 ÷ σ 2 0, 000346   σ 12 6,3397 < < 137, 7648 σ2 2
  19. 19. 55 1 − α = 0,90 → α = 0,10 . Dari tabel : F0,05;6,5 = 4,95 dan F0,05;5,6 = 4,39 σ 12Interval kepercayaan 90% untuk 2 : σ2 0, 010858  1  σ 12 0, 010858 < 2< ( 4,39 ) 0, 000346  4,95 ÷ σ 2 0, 000346   σ 12 6,3397 < < 137, 7648 σ2 2
  20. 20. 55 1 − α = 0,90 → α = 0,10 . Dari tabel : F0,05;6,5 = 4,95 dan F0,05;5,6 = 4,39 σ 12Interval kepercayaan 90% untuk 2 : σ2 0, 010858  1  σ 12 0, 010858 < 2< ( 4,39 ) 0, 000346  4,95 ÷ σ 2 0, 000346   σ 12 6,3397 < < 137, 7648 σ2 2
  21. 21. 55 1 − α = 0,90 → α = 0,10 . Dari tabel : F0,05;6,5 = 4,95 dan F0,05;5,6 = 4,39 σ 12Interval kepercayaan 90% untuk 2 : σ2 0, 010858  1  σ 12 0, 010858 < 2< ( 4,39 ) 0, 000346  4,95 ÷ σ 2 0, 000346   σ 12 6,3397 < < 137, 7648 σ2 2

×