INI LENGKAP BANGET KOK :))))) SEMANGAT YAAAH BELAJARNYA. SEMOGA YANG AKU SHARE INI BERMANFAAT BUAT SEMUANYA YAH :)

1. DISTRIBUSI
PROBABILITAS
Pokok Bahasan ke-6
1

2. Variabel Random :
2
 adalah suatu fungsi yang menghubungkan
sebuah bilangan riil dengan setiap unsur
didalam ruang sampel S.
 Untuk menyatakan variabel random
digunakan sebuah huruf besar, misalkan X.
Sedangkan huruf kecilnya, misalkan x,
menunjukkan salah satu dari nilainya.

3. Contoh :
3
 S = {BBB, BBC, BCB, CBB, BCC, CBC, CCB,
CCC}
dengan B menunjukkan “tanpa cacat (baik)”
dan C menunjukkan “cacat”.
 Variabel random X yang menyatakan jumlah
barang yang cacat pada saat tiga komponen
elektronik diuji, maka ditulis X = 0, 1, 2, 3.

4. Variabel random diskrit:
4
 Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah
kemungkinan terhingga atau urutan yang
tidak terbatas dengan unsur sebanyak
bilangan bulat, maka ruang sampel ini
disebut Ruang Sampel Diskrit, dan variabel
random yang didefinisikan disebut Variabel
Random Diskrit.

5. Variabel random kontinu:
5
 Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah
kemungkinan tak terhingga yang sama
dengan jumlah titik-titik didalam sebuah
segmen garis, maka ruang sampel ini disebut
Ruang Sampel Kontinu, dan variabel random
yang didefinisikan disebut Variabel Random
Kontinu.

6. Distribusi Probabilitas :
6
 Kumpulan pasangan nilai-nilai dari
variabel acak X dengan probabilitas
nilai-nilai variabel random X, yaitu
P(X=x) disebut distribusi probabilitas X
(distribusi X)

7. Distribusi Probabilitas Diskrit X
(1) :
7
 Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah
sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat
probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu
variabel random diskrit X bila untuk setiap
keluaran x yang mungkin, berlaku :
- P(X = x) = f(x)
-
- 1)(
1
=∑=
n
x
xf
0)( ≥xf

8. Distribusi Probabilitas Diskrit X
(2) :8
 Distribusi kumulatif F(x) dari suatu
variabel random diskrit X dengan
distribusi probabilitas f(x), adalah :
∞<<∞−=≤= ∑≤
xuntuktfxXPxF
xt
)()()(

9. Distribusi Probabilitas Diskrit X
(3) :9
 Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah
(rata-rata) dari variabel random diskrit X.
 Dinyatakan dengan E(X), yaitu:
∑= )(.)( ii xfxXE

10. Contoh:
10
 Sebuah pengiriman 8 mikrokomputer yang
serupa ke suatu jaringan eceran berisi 3 yang
cacat. Bila suatu sekolah melakukan suatu
pembelian acak 2 dari mikrokomputer ini,
 Carilah distribusi probabilitas untuk jumlah
yang cacat.
 Carilah distribusi kumulatif untuk jumlah yang
cacat.
 Dengan menggunakan F(x), buktikan f(2) =
3/28
 Hitung nilai rata-rata X.

11. Jawab (1):
11
 Ambil X sebagai variabel random yang didefinisikan sebagai
banyaknya mikrokomputer yang cacat yang mungkin akan
dibeli oleh sekolah tersebut. Maka dapat dituliskan :
 X = banyaknya mikrokomputer cacat yang mungkin akan
dibeli oleh sekolah
= 0, 1, 2
 Sehingga dapat dihitung :
28
10
2
8
2
5
0
3
)0()0( =


















=== XPf
28
15
2
8
1
5
1
3
)1()1( =


















=== XPf 28
3
2
8
0
5
2
3
)2()2( =


















=== XPf
 Jadi, distribusi probabilitas dari X adalah
x 0 1 2
f(x) 10/28 15/28 3/28
Rumus distribusi probabilitas adalah 2,1,0,
2
8
2
5
.
3
)()( =












−





=== xuntuk
xx
xfxXP

12. Jawab (2):
12
 Distribusi kumulatif F(x) adalah :
F(0) = f(0) = 10/28
F(1) = f(0) + f(1) = 10/28 + 15/28 = 25/28
F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 10/28 + 15/28 + 3/28
= 1
Sehingga :
1 , untuk x < 0
F(x) = 10/28 , untuk 0 ≤ x < 1
25/28 , untuk 1 ≤ x < 2
1 , untuk x ≥ 2

13. Jawab (3):
13
 Dengan menggunakan F(x), maka
f(2) = F(2) – F(1)
= 1 – 25/28
= 3/28
 Nilai Ekspektasi X adalah
E(X) = 0.f(0) + 1.f(1) + 2.F(2)
= (0). (10/28) + (1). (15/28) +
(2). (3/28)
= 21/28

14. Distribusi Probabilitas Kontinu X
(1):
14
 Himpunan pasangan tersusun (x, f(x))
adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi
padat probabilitas, atau distribusi
probabilitas dari suatu variabel random
kontinu X bila untuk setiap keluaran x yang
mungkin, berlaku :
Rxsemuauntukxf ∈≥ ,0)(
1)( =∫
∞
∞−
dxxf
∫=<<
b
a
dxxfbxaP )()(

15. Distribusi Probabilitas Kontinu X
(2):15
 Distribusi kumulatif F(x) dari suatu
variabel random diskrit X dengan
distribusi probabilitas f(x), adalah :
∞<<∞−=≤= ∫∞−
xuntuktdtfxXPxF
x
,)()()(
)()()( aFbFbxaP −=<<

16. Distribusi Probabilitas Kontinu X (3):
16
 Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah
(rata-rata) dari variabel random kontinu X.
 Dinyatakan dengan E(X), yaitu:
∫= dxxfxXE )(.)(

17. Contoh:
17
 Suatu variabel random X mempunyai fungsi
probabilitas f(x) = 1/3 pada interval 1 ≤ x ≤ 4
◦ Tunjukkan bahwa luas daerah dibawah kurva f
sama dengan 1.
◦ Hitunglah P(1,5 < x < 3)
◦ Hitunglah P( x < 2,5)
◦ Hitunglah P(x ≥ 3,0)
◦ Hitug F(x), kemudian gunakan menghitung P( x <
2,5)
◦ Hitung nilai E(X)

18. Distribusi Binomial
(Distribusi Probabilitas Diskrit)
18
 Percobaan Bernoulli :
Sifat-sifat sebagai berikut :
 Percobaan itu terdiri dari n pengulangan
 Tiap pengulangan memberikan hasil yang dapat
diidentifikasi sukses atau gagal
 Probabilitas sukses dinyatakan dengan p, tetap
konstan (tidak berubah) dari satu pengulangan ke
pengulangan lainnya, sedangkan probabilitas
gagal adalah q = 1- p
 Tiap pengulangan dan pengulangan lainnya
saling bebas.

19. Distribusi Binomial
19
 Banyaknya X sukses dalam n
pengulangan suatu percobaan bernoulli
disebut sebagai variabel random
Binomial, sedangkan distribusi
probabilitasnya disebut distribusi
Binomial dan nilainya dinyatakan
sebagai :
b(x,n,p) dimana x = 1, 2, …, nxnx
qp
x
n
)p,n;x(b −








=

20. Rata-rata dan Variansi Distribusi
Binomial :20
 Rata-rata =
 Variansi =
np=µ
npq2
=σ

21. Contoh
21
Probabilitas bahwa seorang pasien
sembuh dari penyakit darah yang langka
adalah 0,4. Bila 15 orang diketahui telah
terkena penyakit ini, berapakah probabilitas
:
Paling sedikit 10 orang yang selamat
Dari 3 sampai 8 orang yang selamat
Tepat 5 orang yang selamat
Hitung rata-rata dan variansinya

22. Distribusi Poisson
(Distribusi Probabilitas Diskrit)
22
 Percobaan Poisson :
 Jika suatu percobaan menghasilkan variabel
random X yang menyatakan banyak-nya sukses
dalam daerah tertentu atau selama interval waktu
tertentu, percobaan itu disebut percobaan
Poisson.

23. Distribusi Poisson
23
 Jumlah X dari keluaran yang terjadi selama
satu percobaan Poisson disebut Variabel
random Poisson, dan distribusi
probabilitasnya disebut distribusi Poisson.
 Bila x menyatakan banyaknya sukses yang
terjadi , λ adalah rata-rata banyaknya sukses
yang terjadi dalam interval waktu atau
daerah tertentu, dan e = 2,718 , maka rumus
distribusi Poisson adalah :
,......2,1,0,
!
);( ==
−
x
x
e
xp
x
λ
λ
λ

24. Rata-rata dan Variansi Distribusi
Poisson24
 Mean (rata-rata) dan variansi dari distribusi
Poisson adalah λ.
Catatan :
 Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk
pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar
, sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan.
 Sehingga bila n besar dan p mendekati 0,
distribusi Poisson dapat digunakan untuk
memperkirakan probabilitas Binomial, dengannp=λ

25. Contoh
25
 Di suatu simpang jalan rata-rata terjadi 6
kecelakaan sebulan, maka hitunglah
probabilitas :
 Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan itu
terjadi 7 kecelakaan
 Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan terjadi
minimal 4 kecelakaan
 Pada suatu minggu tertentu di simpang jalan itu
terjadi 4 kecelakaan

26. Hubungan Distribusi Poisson
dengan Distribusi Binomial26
 Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk
pembatasan distribusi Binomial pada saat n
besar , sedangkan p mendekati 0 , dan np
konstan.
 Sehingga bila n besar dan p mendekati 0,
distribusi Poisson dapat digunakan untuk
memperkirakan probabilitas Binomial, dengan
λ = np

27. Contoh
27
 Dalam suatu proses produksi yang
menghasilkan barang dari gelas, terjadi
gelembung atau cacat yang menyebabkan
barang tersebut sukar dipasarkan. Rata-rata 1
dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai
satu atau lebih gelembung. Hitung probablitas
dalam sampel random sebesar 8000 barang
akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung.

28. Distribusi Normal
(Distribusi Probabilitas Kontinu)
28
 Kurva Normal dan Variabel Random Normal
 Distribusi probabilitas kontinu yang terpenting
adalah distribusi normal dan grafiknya disebut
kurva normal.
 Variabel random X yang distribusinya berbentuk
seperti lonceng disebut variabel random normal.
σ
xµ
σσ

29. Sifat kurva normal, yaitu :
29
 Kurva mencapai maksimum pada
 Kurva setangkup terhadap garis tegak
yang melalui
 Kurva mempunyai titik belok pada
 Sumbu x merupakan asimtot dari kurva
normal
 Seluruh luas di bawah kurva, di atas
sumbu x adalah 1
µ=x
µ=x
σ±µ=x

30. Distribusi Normal
30
 Variabel random X berdistribusi normal,
dengan mean dan variansi mempunyai
fungsi densitas
)2()x( 22
e
2
1
),;x(n σµ−−
πσ
=σµ
∞<<∞− x

31. 31
 luas daerah di bawah kurva dinyatakan dengan :
)xXx(P 21 <<=
∫∫
σµ−−
πσ
=σµ=<<
2
1
222
1
x
x
)2()x(
x
x
21 dxe
2
1
dx),;x(n)xXx(P
1dxe
2
1
)X(P )2()x( 22
=
πσ
=∞<<−∞ ∫
∞
∞−
σµ−−
X1
x
X2µ

32. Distribusi Normal Standar (1)
32
σ
µ−
=
x
Z
∫∫∫ =
π
=σ
πσ
=<<
−− 2
1
2
1
22
1
2 z
z
z
z
z
2
1z
z
z
2
1
21 dz)1,0;z(ndze
2
1
dze
2
1
)zZz(P
ternyata substitusi
menyebabkan distribusi normal
menjadi , yang disebut distribusi normal standar.
σ
µ−
=
x
Z
),;z(n σµ
)1,0;z(n
• apabila variabel X ditransformasikan dengan
substitusi
maka :

33. Distribusi Normal Standar (2):
33
 Karena transformasi ini, maka selanjutnya nilai
ini dapat dihitung dengan menggunakan tabel
distribusi normal standar.
)xXx(P 21 <<

34. Contoh:
34
 Rata-rata berat 500 mahasiswa STIKOM adalah
55 kg dan deviasi standarnya 3.4 kg. Berapakah
banyaknya mahasiswa yang mempunyai berat
◦ kurang dari 53 kg
◦ di antara 53 kg dan 57 kg
 Bila nilai ujian statistika mempunyai mean 74 dan
deviasi standar 7.9, hitunglah
◦ Nilai lulus terendah, bila mahasiswa dengan nilai 10%
terendah mendapat E.
◦ Nilai B tertinggi, bila probabilitas mahasiswa dengan
nilai 5% tertinggi men-dapat A .

35. Soal 1
35
 Sebuah pengiriman 7 set televisi berisi 2 set
cacat. Sebuah hotel melakukan pembelian
secara acak 3 set dari semua set televisi
yang ada. Bila x adalah jumlah set televisi
yang cacat yang dibeli oleh hotel tersebut,
◦ Carilah distribusi probabilitas X
◦ Carilah distribusi kumulatif F(x)
◦ Dengan menggunakan F(x), hitunglah P(X = 1)
dan P(0 < x ≤ 2)
◦ Hitung nilai E(X)

36. Soal 2
36
 Jumlah jam total, yang diukur dalam satuan 100 jam, bahwa
suatu fungsi keluarga menggunakan pengisap debu pada
periode satu tahun merupakan suatu variabel random
kontinu X yang mempunyai fungsi probabilitas :
f(x) = x , untuk 0 < x < 1, f(x) = 2 – x , untuk 1 ≤ x < 2, dan
f(x) = 0, untuk x lainnya
◦ Tunjukkan bahwa P(0 < x < 2) = 1
◦ Carilah probabilitas bahwa pada periode satu tahun, sebuah
keluarga menggunakan pengisap debu mereka kurang dari 120
jam
◦ Carilah probabilitas bahwa pada periode satu tahun, sebuah
keluarga menggunakan pengisap debu mereka antara 50
sampai 100 jam.
◦ Carilah probabilitas bahwa pada periode satu tahun, sebuah
keluarga menggunakan pengisap debu mereka lebih dari 150
jam.
◦ Hitung nilai harapan X.

37. Soal 3
37
 Sebuah industri yang menghasilkan sabun mandi telah
mengambil sampel 3 buah sabun mandi dengan aroma
melati dan 7 aroma mawar. Semua sabun mempunyai
bentuk dan ukuran sama. Semua sampel dimasukkan
dalam kotak dan kemudian diambil 4 sabun.
Didefinisikan variabel random X adalah banyaknya
sabun mandi beraroma melati yang terambil, tentukan:
 Nilai dari variabel random X
 Distribusi probabilitas variabel random X
 Distribusi kumulatif F(x) kemudian hitung P(X=2)
 Hitung rata-rata dan variansinya

38. Soal 4
38
 Proporsi orang yang menjawab suatu tawaran
lewat pos berbetuk varaibel random kontinu X
yang mempunyai fungsi padat probabilitas
untuk 0 < x < 1 dan f(x) = 0
untuk nilai x lainnya.
 Buktikan bahwa f(X) merupakan fungsi padat
probabilitas.
 Hitung P( ½ < x < ¼)
 Tentukan distribusi kumulatif F(x) kemudian hitung
P( ½ < x < ¼)
5
)2(2
)(
+
=
x
xf

39. Soal 5
39
 Probabilitas menghasilkan produk cacat dari PT
Idaman, sebuah perusahaan yang menghasilkan lemari
es, adalah 0,2. Dalam rangka untuk mengendalikan
kualitas lemari es, maka bagian pengendali kualitas
bermaksud melakukan penelitian tentang probilitas
kerusakan lemari es. Sebagai langkah awal diambillah
sampel sebanyak 8 lemari es. Dari 8 lemari es tersebut
berapakah probabilitas diperoleh :
◦ Dua lemari es rusak
◦ Tiga lemari es baik
◦ Paling banyak 7 lemari es baik
◦ Antara 3 sampai 5 lemari es rusak
◦ Paling sedikit 2 lemari es baik
◦ Paling banyak 2 lemari es rusak

40. Soal 6
40
 Disket yang diproduksi oleh PT Akbar ternyata
sangat berkualitas. Hal ini terbukti dari 100
buah disket ternyata hanya ada 2 disket yang
tidak berfungsi. Apabila diambil 150 buah
disket, maka probabilitas:
◦ Tiga diantaranya tidak berfungsi
◦ Maksimum 5 tidak berfungsi
◦ Antara 3 sampai 6 tidak berfungsi
◦ Minimum 145 berfungsi

41. Soal 7
41
 Rata-rata banyaknya makanan kaleng yang
ada di gudang telah kadaluarsa adalah 5.
Diambil sampel random sebanyak 10 buah
makanan kaleng di gudang, hitung
probabilitas:
◦ Lima diantaranya kadaluarsa
◦ Maksimum 4 telah kadaluarsa
◦ Antara 5 sampai 8 telah kadaluarsa
◦ Minimum 186 masih bisa dimakan

42. Soal 8
42
 Tes IQ 600 calon mahasiswa mempunyai
mean 115 dan deviasi standarnya 12.
Mahasiswa dikatakan lulus tes, bila
mempunyai IQ paling rendah 95, berapakah
mahasiswa yang dinyatakan tidak lulus ?
 Gaji pegawai suatu perusahaan rata-rata
Rp.525,- per jam dengan deviasi standar
Rp.60,-.
◦ Berapa persen karyawan yang bergaji Rp.575,-
dan Rp.600,- per jam ?
◦ Di atas berapa rupiahkah 5% gaji per jam
tertinggi ?