1. Dokumen tersebut membahas tentang struktur aljabar khususnya grup simetri dan grup siklik. 2. Grup simetri adalah grup dari semua permutasi dari himpunan unsur, sedangkan grup siklik adalah grup yang dibangkitkan oleh satu elemen yang disebut generator. 3. Dokumen tersebut juga menjelaskan definisi, contoh, dan teorema-teorema terkait grup simetri dan grup siklik.

1. STRUKTUR ALJABAR
GRUP SIMETRI DAN GRUP SIKLIK
DISUSUN OLEH :
SHOLIHA NURWULAN : 15.1.12.4.108
SEMESTER/KELAS : VD
DOSEN PEMBIMBING :
SYAHARUDDIN, M.pd
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI
MATARAM
2014
Kelompok 5 VD-108;104;115;120;121;131

2. A. Grup Simetri
1. Definisi-definisi
Definisi 1:
Misalkan S suatu himpunan berhingga yang banyak elemennya adalah n. Suatu pemetaan
satu-satu dari S ke S sendiri disebut suatu permutasi dari elemen-elemen S. Banyaknya
elemen dari S merupakan tingkat permutasi itu sendiri.
Definisi 2:
Misalkan A adalah suatu himpunan berhingga dan S(A) adalah himpunan semua
pemetaan bijektif dari himpunan A pada dirinya sendiri, maka komposisi pemetaan
<S(A), ○> adalah merupakan Grup Permutasi.
Definisi 3:
Grup dari semua permutasi dari himpunan unsur disebut Grup Simetris Berderajat n dan
dinyatakan dengan (Sn, ○).
Order dari Sn adalah n! Dan bila n > 2 dimana n bilangan bulat positif, maka Sn tidak
komutatif.
Dalam konteks yang lebih luas, grup simetri merupakan bagian dari grup transformasi
atau grup automorfism. Ketika kita mengetahui struktur matematika yang kita dalami,
kita dapat mengetahui pemetaan dari struktur itu.
Contoh:
Misalkan f dan g dua permutasi yang didefinisikan sebagai berikut :
1 2 3
2 1 5
푓 = (
4 5 6
3 6 4
1 2 3
3 1 2
) dan 푔 = (
4 5 6
5 6 4
)
Tentukan 푓 표 푔 푑푎푛 푔 표 푓 serta tentukan orbit dan sikelnya !
Penyelesaian :
1 2 3
5 2 1
푓 표 푔 = (
4 5 6
6 4 3
)
Orbitnya = ( 1 5 4 6 3 )
Sikelnya = 1
1 2 3
1 3 6
푔 표 푓 = (
4 5 6
2 4 5
)
Orbitnya = ( 2 3 6 5 4 )
Sikelnya = 1
Key Word:
Grup Simetris  Komposisi Fungsi
Obit dan Sikel
Grup Siklik  Generator (Perpangkatan)
Urutan baris pertama dapat diubah, asal bayangan masing-masing anggota tetap, dan
akan menghasilkan permutasi(simetri) yang sama
Contoh:
(
1 2 3
2 1 5
4 5 6
3 6 4
1 4 6
2 3 4
) = (
2 3 5
1 5 6
2 1 4
1 2 3
) =(
6 3 5
4 5 6
)
B. Grup Siklik
1. Definisi-definisi
Definisi 1:
Kelompok 5 VD-108;104;115;120;121;131

3. Misalkan G suatu grup dan a ∈ G. Periode (Order/Ordo) a yang disimbolkan p(a) adalah
suatu bilangan bulat positif terkecil misalnya m sedemikian sehingga am = e. Apabila
bilangan bulat positif m demikian itu tidak ada, maka dikatakan bahwa periode a adalah
takhingga atau nol.
Definisi 2:
Grup G disebut grup siklik apabila ada suatu elemen G, misalnya a ∈ G, sedemikian
sehingga untuk setiap x ∈ G, x = am untuk suatu bilangan bulat m. selanjutnya, a disebut
generator (elemen penghasil) dari G dan ditulis G = (a).
Definisi 3: (terhadap perkalian)
Grup (G, .) disebut siklik, bila ada elemen a|G sedemikian hingga G = {an | n|Z}. Elemen
a disebut generator dari grup siklik tersebut.
Contoh :
Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G, .).
Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.
Penyelesaian :
Generator dari G = {-1, 1} adalah -1 dan 1
[-1] = {(-1)n | n ∈ Z} = {(-1)0, (-1)1, (-1)2, …}
= {-1, 1}
[1] = {(1)n| n ∈ Z} = {(1)0, (1)1, (1)2, …} = {1}
generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga :
[-1] = {-1, 1}
generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga :
[1] = {1}.
Definisi 4 : (terhadap penjumlahan)
Grup (G, +) disebut siklik, bila ada elemen a|G sedemikian hingga G= {na | n | Z}.
Contoh:
Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G,+).
Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.
Penyelesaian :
Generator dari G = {0, 1, 2, 3} adalah 0, 1, 2 dan 3
[0] = {n(0) | n ∈ Z}
= {0}
[1] = {n(1) | n ∈ Z}
= {0.1, 1.1, 2.1, 3.1, …}
= {0, 1, 2, 3}
[2] = {n(2) | n ∈ Z}
= {0.2, 1.2, 2.2, 3.2, …}
= {0, 2}
[3] = {n(3) | n ∈Z}
= {0.3, 1.3, 2.3, 3.3, …}
= {0, 3, 2, 1}
generator 1 dan 3 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga :
[1] = [3] = {0, 1, 2, 3}
Kelompok 5 VD-108;104;115;120;121;131

4. generator 0 dan 2 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga :
[0] = {0}
[2] = {0, 2}
Contoh 4.3 :
Grup (Z,+) merupakan Grup Siklik tak hingga yang dibangun
oleh 1.
Penyelesaian :
[1] = {…, -2.1, -1.1, 0.1, 1.1, 2.1, …}
= {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Jadi, 1 merupakan genertor yang membentuk Grup Siklik tak hingga.
Definisi 3 :
Misalkan (G,*) adalah suatu grup da a| G, maka generator a yang membangun suatu Sub
grup [a] dinamakan Sub grup Siklik dari (G,*).
Jadi yang dimaksud dengan Sub grup Siklik yaitu Sub grup yang dibangkitkan
oleh satu unsur.
2. Teorema-teorema
Teorema 1:
Jika G suatu grup berhingga, maka p(a)| n(G), ∀a ∈ G dengan n(G) banyaknya elemen
grup G.
Teorema 2:
Jika grup berhingga G memuat suatu elemen yang periodenya sama dengan order G,
maka G adalah grup siklik dengan generator elemen tersebut.
Teorema 3:
Suatu grup yang berorder prima adalah grup siklik.
Teorema 4:
Setiap subgrup dari grup siklik adalah siklik.
Contoh 1:
Selidiki apakah (Z5, +) merupakan grup siklik? Jika iya tentukan semua generatornya!
Penyelesaian :
Z = {0,1,2,3,4} terhadap penjumlahan modulo 5
Tidak termasuk grup siklik. Karena tidak memiliki generator.
Contoh 2:
Selidiki apakah (Z4, *) merupakan grup siklik? Jika iya tentukan semua generatornya!
Penyelesaian :
Z = {1,2,3} terhadap perkalian modulo 4
11 = 1
12 = 2
13 = 3
21 = 2
22 = 0
23 = 0
31 = 3
32 = 2
33 = 1
Kelompok 5 VD-108;104;115;120;121;131

5. Termasuk grup siklik dengan generatornya adalah 1 dan 3.
RANGKUMAN
1. Misalkan S suatu himpunan berhingga yang banyak elemennya adalah n. Suatu
pemetaan satu-satu dari S ke S sendiri disebut suatu permutasi dari elemen-elemen
S. Banyaknya elemen dari S merupakan tingkat permutasi itu sendiri.
2. Grup G disebut grup siklik apabila ada suatu elemen G, misalnya a ∈ G, sedemikian
sehingga untuk setiap x ∈ G, x = am untuk suatu builangan bulat m. selanjutnya, a
disebut generator (elemen penghasil) dari G dan ditulis G = (a)
Kelompok 5 VD-108;104;115;120;121;131

6. LATIHAN
1. Tuliskan permutasi-permutasi berikut ini sebagai hasil kali sikel-sikel yang saling asing dan
carilah inversnya.

1 2 3 4 5 6 7

7 6 5 4 3 2 1
 
(a)  



1 2 3 4 5 6 7 8 9

3 1 4 2 7 6 9 8 5
 
(b)  



1 2 3 4 5 6 7

7 6 5 3 4 2 1
 
(c)  



1 2 3 4 5 6 7

2 3 1 5 6 7 4
  

 

2. Nyatakan permutasi-permutasi berikut ini sebagai hasilkali sikel-sikel saling asing dan
carilah invers dari setiap permutasi.
(a)   7 5 3 2 1   6742
(b)   2 1   3 1   5 1   4 1   6 2   7 2
(c)   4 3 2 1   4 1 3 2
3. Jika a = 1 3 2 4, tunjukkan bahwa G= {a, a2, a3, a4} dengan komposisi fungsi adalah
suatu grup abelian.
4. Jika a dan b dua sikel yang saling asing, buktikan bahwa ab = ba.
5. Misalkan G suatu grup dan G b a  , , buktikan bahwa
(i) b ab 1  =  a
(ii)  ab =  ba
6. Buktikan setiap grup siklik adalah suatu grup Abelian! Tunjukkan bahwa konversnya tidak
benar!.
7. Manakah dari grup berikut yang termasuk grup siklik dan jelaskan jawaban anda
a. Z5 b. Z4 c. Z6 d. Z7 e. Z9
8. Misalkan I4 = {1, -1, i, -i} adalah Grup bilangan kompleks terhadap
perkalian (I4, .). Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.
Kelompok 5 VD-108;104;115;120;121;131

7. Kelompok 5 VD-108;104;115;120;121;131