2. PETA KONSEP
BARISAN DAN
DERET
Pola Bilangan
Notasi Sigma
Barisan dan Deret Aritmatika
Barisan dan Deret Geometri
Deret Geometri Tak Hingga
Penerapan Deret Aritmatika dan
Deret Geometri
3. A. POLA BILANGAN
Perhatikan bentuk-bentuk berikut ini
a. 1, 2, 3, 4, . . . , 50
b. 2, 4, 6, 8, . . . , 100
c. 1, 4, 9, 16, . . . , 100
β’ Jika diperhatikan Bilangan-bilangan tersebut ditulis berdasarkan pola atau aturan
tertentu.
β’ Susunan bilangan dengan aturan atau ketentuan-ketentuan tertentu disebut
sebagai barisan.
β’ Sedangkan apabila barisan itu kita tuliskan dalam bnetuk jumlah disebut deret
bilangan.
4. Perhatikan contoh deret bilangan berikut.
a. 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 50
b. 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 100
c. 1 + 4 + 9 + 16 + . . . + 100
Secara umum deret suatu bilangan dapat dinyatakan sebagai berikut.
π1 + π2 + π3 + π4+ . . . . +ππ
Dengan
π1, π2, π3, . . . . , ππ sebagi suku
π1 = suku ke-1.
π2 = suku ke-2, demikian seterusnya.
5. B. NOTASI SIGMA
β’ Suatu cara untuk menuliskan penjumlahan berurutan secara singkat dengan
menggunakan tanda β (dibaca sigma) dan dinamakan βtanda sigmaβ.
β’ Notasi sigma yaitu huruf Yunani untuk S dari perkataan βsumβ yang berarti
jumlah.
Contoh:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 =
π=1
10
π
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 =
π=1
7
(2π β 1)
7. C. BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
1. Barisan Aritmatika
Perhatikan barisan bilangan berikut ini.
i) 1, 3, 5, 7, . . . ,99
ii) 2, 4, 6, 8, . . . , 100
iii) 16, 13, 10, 7, . . . , -5
Dari beberapa barisan diatas tampak bahwa antara suku-suku pada barisan ini
memiliki pola tertentu, yaitu selisih antara kedua suku yang berurutan selalu sama
(tetap). Barisan bilangan dengan pola tersebut dinamakan barisan aritmatika.
8. Rumus suku ke-n
Misalkan π1, π2, π3, . . . . , ππ adalah barisan aritmatika dengan selisih dua suku yang
berurutan adalah b dan suku pertama π, maka
π1 = π
π2 = π1 + b = π + b
π3 = π2 + b = (π + b) + b = π + 2b
ππ = ππβ1 + b
= ( π + (n β 2) b ) + b
= π + ( n β 1 ) b
ππ = π + ( n β 1 ) b
9. 2. Deret Aritmatika
Rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmatika
Karena ππ = π + ( n β 1 ) b, maka dapat juga ditentukan dengan rumus:
ππ =
π(π+ππ)
2
=
π
2
(π + ππ)
ππ =
π
2
2π + (π β 1)b
Diketahui rumus suku ke β n deret aritmatika adalah ππ = 5 β 3π. Hitunglah jumlah
15 suku pertama.
Solusi:
π1 = 5 β 3 1 = 2
π15 = 5 β 3 15 = β40
π15 =
15
2
2 + β40 = β285
Jadi, jumlah 15 suku pertama deret aritmatika itu adalah -285
ππ = ππ β ππβ1
10. 3. Menuliskan Deret Aritmatika dengan Notasi Sigma
Untuk menghitung nilai sigma dapat menggunakan rumus jumlah n suku pertama
deret aritmatika berikut.
ππ =
π
2
2π + π β 1 π atau ππ =
π
2
π + ππ
Suatu deret aritmatika dapat ditulis secara singkat menggunakan notasi sigma.
Misal diberikan deret aritmatika berikut.
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23
Suku pertama U1 = a = 2
Beda = b = U2 β U1 = 5 β 2 = 3
Banyak suku = n = 8
Rumus suku ke- n (Un) = a + (n β 1)b
= 2 + (n β 1)3
= 2 + 3n β 3 = 3n β 1
Jadi, 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 = βπ=1
8
(3π β 1)
11. D. BARISAN DAN DERET GEOMETRI
1. Barisan Geometri
Perhatikan barisan berikut.
a. 2, 4, 8, 16, . . . , 256
b. 128, 64, 32, 1, . . . ,
1
32
c. (1,03), 1,03 2
, 1,03 3
, . . . , 1,03 8
Ketiga barisan tersebut disusun dengan mengalikan suatu bilangan tertentu ke
bilangan sebelumnya untuk memperoleh suku berikutnya. Barisan yang disusun
dengan cara seperti itu disebut barisan geometri.
12. Rumus suku ke-n
Misalkan π1, π2, π3, . . . . , ππ adalah barisan geometri dengan pembanding dua suku
yang berurutan adalah r dan suku pertama π, maka
π1 = π = ππ0 = ππ1β1
π2 = π1π = ππ = ππ2β1
π3 = π2π = ππ2 = ππ3β1
ππ = ππβ1π = πππβ1
ππ = πππβ1 , dengan π =
ππ
ππβ1
13. 2. Deret Geometri
Rumus Jumlah n suku pertama dari deret geometri
Atau dapat juga ditentukan dengan rumus:
ππ =
π(ππβ1)
πβ1
untuk π β 1, π > 1
ππ =
π(1βππ)
1βπ
untuk π β 1, π < 1
ππ = ππ β ππβ1
14. Dari suatu geometri π = 7 , π = 3 , dan ππ = 847, tentukan banyak suku deret itu.
Solusi:
ππ =
π(ππ
β 1)
π β 1
847 =
7(3π β 1)
3 β 1
847 =
7
2
(3π
β 1)
βΊ 3π
β 1 = 847 .
7
2
βΊ 3π = 242 + 1
βΊ 3π
= 243
βΊ π = 5
Jadi banyaknya suku ke β π deret geometri tersebut adalah 5
15. 3. Menuliskan Deret Geometri dengan Notasi Sigma
Seperti deret aritmatika, deret geometri dapat pula dinyatakan dengan menggunakan
notasi sigma dengan cara mencari suku umum deret tersebut.
Contoh:
Nyatakan deret geometri berikut dalam notasi sigma.
2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128
Solusi:
Suku pertama ( π1 ) = a = 2
rasio (π) =
π2
π1
=
4
2
= 2
Banyak suku (n) = 7
Rumus suku ke-n (ππ) = πππβ1
= 2 . 2πβ1
= 2n
Jadi, deret tersebut adalah
π=1
7
2π
16. E. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
Perhatikan contoh deret geometri
a. 128 + 64 + 32 + 1 + . . . .
b. 1 + 4 + 16 + 64 + . . . .
c. 20 + 10 + 5 +
5
2
+
5
4
+ . . . .
Deret geometri dengan banyak sukunya tak terhingga (tak terbatas) disebut deret
geometri tak hingga. Biasanya untuk menyatakkan suatu deret geometri tak hingga,
suku-sukunya dituliskan dengan titik-titik pada akhir deret.
17. Secara umum, jumlah deret geometri tak hingga dapat ditentukan oleh rumus:
π =
π
1βπ
dengan π β 1
Hitunglah jumlah dari 20 + 10 + 5 +
5
2
+
5
4
+ . . . .
Solusi:
π = 20, π =
1
2
π =
π
1βπ
=
20
1β
1
2
= 40
Jadi jumlah dari 20 + 10 + 5 +
5
2
+
5
4
+ . . . adalah 40
18. F. PENERAPAN DERET ARITMATIKA
DAN DERET GEOMETRI
Setelah mempelajari tentang deret aritmatika dan geometri, tentunya banyak
masalah dalam mata pelajaran lain seperti ekonomi dan dalam kehidupan nyata yang
dapat dengan cepat kita selesaikan menggunakan kaidah-kaidah kedua deret
tersebut.
19. Contoh:
Jumlah penduduk kota adalah 6.000 orang. Setiap tahun penduduk kota itu bertambah 3%.
Tentukan jumlah penduduk pada kahir tahun ke-10
Solusi:
π1 = 6.000
π2 = 6.000 +
3
100
β 6.000 = 6000(1 +
3
100
)
π3 = π2 +
3
100
β π2 = π2 (1 +
3
100
) = 6.000 1 +
3
100
1 +
3
100
= 6.000(1 +
3
100
)
2
Tampak bahwa π1 , π2 , π3 merupakan suku-suku geometri dengan
π = 6.000
π = (1 +
3
100
)
π11 = ππ11β1
= 6.000 (1 +
3
100
)
10
= 8.063,5 = 8.063 orang