Números reales y plano numérico

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para La Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto, Estado Lara.
Programa Nacional de Formación en Contaduría Pública
Números Reales y Plano Numérico
Estudiantes:
Diana Herrera
C.I: 28363951
Sección: 0104
Docente:
Carlos Lucena
Matemática

2. Definición de Conjuntos.
Un conjunto lo forman unos elementos de la misma naturaleza, es decir, elementos diferenciados entre sí pero que
poseen en común ciertas propiedades o características, y que pueden tener entre ellos, o con los elementos de otros
conjuntos, ciertas relaciones.
En matemáticas es común denotar a los elementos mediante letras minúsculas y a los conjuntos por letras mayúsculas,
así por ejemplo:
C = {a, b, c, d, e, f, g, h}
En ocasiones un conjunto viene expresado por la propiedad (o propiedades) que cumplen sus elementos, por ejemplo:
es el conjunto de los números reales comprendidos entre el 1 y el 2 ( incluidos ambos).
Dos conjuntos A y B son iguales, expresado A = B, solamente cuando constan de los mismos elementos.
𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑅, 1 ≤ 𝑥 ≤ 2}

3. Operaciones con conjuntos.
Unión o reunión de conjuntos.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá
a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. El símbolo que se usa para
indicar la operación de unión es el siguiente: ∪.
Ejemplo:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

4. ‒ Intersección de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es
decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los
elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para
indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será A∩B={4,5}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

5. ‒ Diferencia de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá
todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia
de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se
usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

6. ‒ Diferencia de simétrica de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá
todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica
estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación
de diferencia simétrica es el siguiente: △.
Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

7. ‒ Complemento de un conjunto.
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto universal. Es decir dado un
conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al
conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se
opera, algo como esto A' en donde el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.
Ejemplo
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los
siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

8. Números Reales
Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen expansión decimal periódica o tienen
expansión decimal no periódica. Por ejemplo:
a) 3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000….
b) ½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….
Conjunto de los números Reales
Es la unión de dos tipos de números; los números racionales, los números irracionales.
A su vez, los números racionales se clasifican en:
Números Naturales (N)
{1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9,
10, 11, …}
Números Enteros (Z)
{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}
Números Fraccionarios
a/b con a, b enteros y b ≠ 0
Números Algebraicos
√3
Números Trascendentales
∈ 𝑦 𝜋

9. Desigualdades.
Inecuaciones y desigualdades
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se
relacionan por uno de estos signos:
< Menor que 2x − 1 < 7
≤ Menor o igual que 2x − 1 ≤ 7
> Mayor que 2x − 1 > 7
≥ Mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7

10. Definición de Valor Absoluto
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.
Si el valor original del numero ya es positivo o cero, el valor absoluto es el mismo. Si el valor
original es negativo, simplemente nos deshacemos del signo.

11. Los signos negativos dentro y fuera de los paréntesis
se cancelan cuando son multiplicados.
-1(-3)=
-1 • -3= 3
Pero -1|-3| = -3. No puedes multiplicar a través de
las barras de valor absoluto, por lo Como el valor
absoluto de -3 es 3, la operación se convierte en -
1(+3).
-1|-3|=
-1 • 3=-3
Considera la expresión |6 − 4|. tenemos que efectuar la
resta. Cuando hacemos eso, |6 − 4| se convierte |2|.
Ahora podemos calcular el valor absoluto de la
expresión — es el valor absoluto 2.
|6 − 4| = |2| = 2
El |3| es 3. En éste caso, el valor original y el valor
absoluto se posicionan 3 unidades a la derecha del
cero en la recta numérica.

12. Desigualdades con Valor Absoluto
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b .

13. Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | > b , entonces a > b O
a < - b .

14. Ejemplo Desigualdades de valor absoluto (<):
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos
descomponerla en una desigualdad compuesta .
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
Ejemplo Desigualdades de valor absoluto (>):
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así: