Numero Reales, Valor Absoluto, Desigualdades

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria,
Ciencia y Tecnología
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto Estado Lara
ESTUDIANTE:
Yarimar Vargas
V-22.334.887
Sección CO-0407

2. Números Reales
 Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen expansión
decimal periódica o tienen expansión decimal no periódica.
 Presentamos brevemente el sistema de los números reales.
 Un conjunto de números muy conocido es el conjunto de los números enteros:
Z = …, -3, -2 , -1, 0, 1, 2 , 3,…
Este contiene como subconjunto, al conjunto de los números naturales:
N = 0, 1, 2, 3,…
Otra clase importante de números son los números racionales, a los que se les conoce
comúnmente con el nombre de números fraccionarios. Un numero racional es un cociente
de dos números enteros, donde el denominador es siempre distinto de 0.
Así, son números racionales los siguientes:
1
2
,
−3
4
,
5
−2
, etc. Todo numero entero es un
numero racional de denominador 1. Así, 2=
2
1
, -5=
−5
1

3.  Es usual denotar al conjunto de los números racionales con la letra Q. Esto es:
Q =
𝑎
𝑏
/ a, b ∈ Z y b ≠ 0
Observen la periodicidad de estas expresiones decimales.
a.
1
2
= 0,500 … b.
1
3
= 0,333… c.
11
6
= 1,8333…
El siguiente resultado caracteriza a los números racionales:
Un número es racional si, y solo si su expresión decimal es periódica.
Números Reales

4.  Un numero irracional es un numero que tiene un expresión decimal no periódica.
Como ejemplos de los números irracionales tenemos a 2 , 3 ,
3
2 , el famoso numero
𝜋 y el no menos famoso numero e, base de los logaritmos naturales. Algunas cifras de
sus expresiones decimales son:
2 = 1,41415… 𝜋 = 3,14259… e = 2,7182818284…
 El conjunto R de los números reales es el conjunto formado por la unión del conjunto
de los números racionales con el conjunto de los números irracionales. Es decir,
R = Q U (irracionales)
Números Reales

5.  Recta real
Llamamos recta real a la recta donde cada punto que la conforma es un número real.
Como cada punto de ella está identificado con un número racional o irracional esta recta
es una recta compacta donde no queda ningún “espacio libre” entre dos puntos de ella.
Para tener una idea de esta propiedad imagine que dados dos números racionales siempre
es posible encontrar uno entre ellos. Esto es simple considerando que la semisuma de dos
números cualquiera siempre está entre ellos dos. En la recta real representamos todos los
números (recuerde que todo punto de la recta esta etiquetado con un número real) y en ella
podemos visualizar el orden en que se ubican.
- 2 2 e 𝜋
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Números Reales

6.  En el conjunto R tenemos dos operaciones fundamentales: la adición y la
multiplicación. Las otras dos operaciones básicas, la sustracción y la división, se
definen en términos de las dos primeras. El sistema de los números reales se construye
a partir de 15 axiomas. Estos axiomas nos describen el comportamiento de la adición,
multiplicación, de la relación «menor» (relación de orden) y de una propiedad de
completitud de R.
PROPIEDADES DE LAADICION Y MULTIPLICACION
1. Leyes conmutativas: a+b = b+a y ab = ba, ∀ a, b ∈ r
* El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado
Ejemplo:
2+8 = 8+2 5(-3) = ( -3)5
Números Reales

7.  Leyes asociativas: a + (b + c) = (a+ b) + c y a (bc) = (ab) c, ∀ a, b, c ∈ r
* Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el
resultado
Ejemplo:
7+(6+1) = (7+6)+1 -2(4x7) = (-2x4)7
 Ley distributiva: a (b + c) = ab + ac, ∀ a, b, c ∈ r
*El factor se distribuye a cada sumando
Ejemplos:
2(x+8) = 2(x) + 2(8)
Números Reales

8.  Inverso aditivo: ∀ a ∈ r ∃ -a ∈ r tal que a + (-a) = 0
 Inverso multiplicativo ∀ a ∈ r tal que a ≠ 0, ∃ 𝑎−1 ∈ r tal que a*𝑎−1 = 1
* La suma de opuestos es cero. El producto de recíprocos es 1.
Ejemplos:
15 + (-15) = 0
1
4
(4) = 1
INECUACIONES Y DESIGUALDADES
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se
relacionan por uno de estos signos:
< Menor que 2x − 1 < 7
≤ Menor o igual que 2x − 1 ≤ 7
> Mayor que 2x − 1 > 7
≥ Mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7
Números Reales

9. Ejercicios Propuestos
 4x – 5 < 2x + 3
 En cierto día la temperatura Celcius de una ciudad vario según el intervalo 5 ≤ 𝐶 ≤ 20
¿En que intervalo cambio la temperatura ese día en grados Fahrenheit?

10. Valor Absoluto
 El valor absoluto de un numero real a, denotado por 𝑎 , se define como:
a si 𝑎 ≥ 0
𝑎 =
-a si 𝑎 < 0
O sea, el valor absoluto de un numero real es igual al mismo numero si este es 0 o
positivo y es igual a su inverso aditivo si es negativo.
Sabemos que toso numero positivo x tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra
negativa. A la positiva la denotamos con 𝑥 y a la negativa - 𝑥.
Consideramos que 𝑎2 es la raíz de 𝑎2, se tiene que:
𝑎2 = | 𝑎 |

11.  De la definición obtenemos inmediatamente que:
1. 𝑎 ≥ 0, ∀ 𝑎 𝜖 ℝ
2. − 𝑎 ≤ 𝑎 ≤ 𝑎 , ∀ 𝑎 𝜖 ℝ
3. 𝑥 = 𝑎 ↔ 𝑥 = 𝑎 ó 𝑥 = −𝑎
Ejemplo:
Resolver la ecuación 𝑥 − 3 = 1
𝑥 − 3 = 1 ↔ 𝑥 − 3 = 1 ó 𝑥 − 3 = −1 ↔ 𝑥 = 4 ó 𝑥 = 2
Valor Absoluto

12.  Resolver la ecuación dada.
1. 𝑥 − 5 = 4
2. 2𝑥 + 1 = 𝑥 + 3
 Resolver la inecuación. Ilustrar la solución en la recta
numérica.
1. 𝑥 − 4 < 3
2. 3𝑥 + 1 < 15
Valor Absoluto

13. Bibliografias
 Calculo Diferencial. Autor Jorge Saenz, Segunda
Edicion
 https://es.scribd.com/document/480905894/Nume
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