1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación Universitaria
Universidad Politecnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto – Estado Lara
:Estudiante: Daniel Cordero
Cedula: 27.198.240
Sección: IN0201
2. Conjunto
En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos
con características similares considerada en sí misma como
un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las
siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc.
Diversos conjuntos numéricos.
En Matemáticas empleamos diversos conjuntos de números, los más
elementales son:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, .. }. El conjunto de los números naturales, o números
que sirven para contar.
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... }. El conjunto de los números enteros, o
números que sirven para designar cantidades enteras.
Q = {..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } . El conjunto de los números
racionales, o números que pueden ser expresados como un cociente entre
dos enteros, fracción, p/q.
No obstante, en Q no se hallan algunos números como 1,4142136... (raíz
cuadrada de 2) , o el 3,141592... (el número 𝜋 )no pueden expresarse en la
forma p/q. A estos números se les llama "números irracionales".
R = Q U {"números irracionales"} . El conjunto de los números reales,
formado por la unión de Q y de todos los números irracionales. Este
conjunto suele denominarse recta real , pues los puntos de una recta
pueden ponerse en correspondencia con los infinitos números de R.
3. Operaciones Con Conjuntos
Unión o Reunión de Conjuntos
Es la operación que nos permite unir dos o
más conjuntos para formar uno que
contendrá todos los elementos sin que se
repitan. El símbolo que se utiliza para esta
operación es: ∪. Ejemplo:
1.-
A={1,C,W,D}, B= {2,4,5,D}
A ∪ B = 1,2,4,5, C, W, D
2.-
C={14,23,R}, D={13,A,C,X}
C ∪ 𝐷 = {13,14,23, 𝐴, 𝐶, 𝑅, 𝑋}
𝐴 ∪ 𝐵
𝐶 ∪ 𝐷
1
2 4 5
C D W
13
A C X
14 23
R
Intersección de Conjuntos
Son los elementos comunes entre
dos conjuntos. Los elementos no
comunes son excluidos. Se utiliza el
símbolo ∩. Ejemplo:
1.-
A= {2,5,6} B= {3,5,6}
𝐴 ∩ 𝐵 = 5,6
2.-
C={D,A,E,I} D={A,E,U,C}
𝐶 ∩ 𝐷 = 𝐴, 𝐸
𝐴 ∩ 𝐵
5
6
𝐶 ∩ 𝐷
A
E
3
2
D
I
U
C
4 1
E F
T
B
D
Diferencia entre conjuntos
Es el conjunto resultante de todos
los elementos del primer conjuntos
que no pertenecen al segundo
conjunto. Se utiliza el símbolo -.
Ejemplo:
1.-
A={1,2,3} C={4,3,2}
𝐴 − 𝐶 = 1
2.-
B={B,C,D} D={C,E,F,T}
𝐵 − 𝐷 = 𝐵, 𝐷
𝐴 − 𝐶
2
3
𝐵 − 𝐷
C
4. Operaciones entre conjuntos
Diferencia de simetría entre
conjuntos
Es el conjunto de los elementos no comunes entre
dos o más conjuntos. Su símbolo es: ∆. Ejemplo:
1.-
A= {M,T,D,R,S} B={C,D,T,R,S,G}
𝐴∆𝐵 = 𝐺, 𝐶, 𝑀
C={14,54,13,20} B={14,20,13,27,28}
𝐶∆𝐷 = 54,27,28
𝐴∆𝐵
T D
R S
𝐶∆𝐷
14
20
13
M
G
C
27
28
54
Complemento de conjunto
conjunto con todos los elementos del conjunto de
referencia o universal, que no están en el conjunto. Es
decir dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto
universal U, entonces el conjunto complemento de A es
el conjunto formado por todos los elementos del conjunto
universal pero sin considerar a los elementos que
pertenezcan al conjunto A. En esta operación el
complemento de un conjunto se denota con un apostrofe
sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en
donde el el conjunto A es el conjunto del cual se hace la
operación de complemento. Ejemplo:
1.-
U= {1,2,A,C,D,8,9,X}, A={1,A,C,D}. A’={2,8,9,X}
Conjunto U
A A’
2
8 9
X
1
A
C D
5. Numeros Reales
son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ.
La palabra real se usa para distinguir estos números del número imaginario i, que es igual a la raíz cuadrada de -1, o √-1. Esta expresión se usa para
simplificar la interpretación matemática de efectos como los fenómenos eléctricos.
Dominio de los números reales
Entonces, tal y como hemos dicho, los números reales son los números comprendidos entre los extremos infinitos.
Características de los números reales
Orden
Todos los números reales tienen un orden: 1<2<3<4
En el caso de fracciones y decimales: 0,785<0,815<1,150
1
2 < 2
3 < 5
3
Integral
La característica de integridad de los números reales es que no hay espacios vacíos en este conjunto de números. Esto
significa que cada conjunto que tiene un límite superior, tiene un límite más pequeño. Por ejemplo,
Infinitud
Los números irracionales y racionales son infinitamente numerosos, es decir, no tienen final, ya sea del lado positivo como
del negativo.
Expansión decimal
Un número real es una cantidad que puede ser expresada como una expansión decimal infinita. Se usan en mediciones de
cantidades continuas, como la longitud y el tiempo.
Cada número real se puede escribir como un decimal. Los números irracionales tienen cifras decimales interminables e
irrepetibles, por el ejemplo, el número pi π es aproximadamente 3,14159265358979...
6. Clasificación de los números reales
Números naturales
De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales(N). Estos son los números con los que estamos más cómodos: 1, 2, 3, 4, 5, 6,
...hasta el infinito.
Ejemplo
Los números naturales nos sirven para decir cuántos compañeros tenemos en clases, la cantidad de flores que hay en un ramo y el número de
libros que hay en una biblioteca.
Números enteros
El conjunto de los números enteros comprende los números naturales y sus números simétricos. Esto incluye los enteros positivos, el cero y los
enteros negativos. Los números negativos se denotan con un signo "menos" (-). Se designa por la letra mayúscula Z
Los enteros positivos son números mayores que cero, mientras que los números menores que cero son los enteros negativos.
Los números enteros nos sirven para:
•representar números positivos: ganancias, grados sobre cero, distancias a la derecha;
•representar números negativos: deudas, pérdidas, grados bajo cero y distancias a la izquierda.
Ejemplos
En el polo Norte la temperatura está por debajo de 0ºC durante casi todo el año, entre -43 ºC y -15ºC en invierno
Números racionales
Los números fraccionarios surgen por la necesidad de medir cantidades continuas y las divisiones inexactas. Medir magnitudes continuas tales
como la longitud, el volumen el peso, llevó al hombre a introducir las fracciones. El conjunto de números racionales se designa con la letra
Q:
Ejemplos
Un pastel dividido entre tres personas se representa como 1/3 un tercio para cada persona; una décima parte de un metro es 1/10 m= 0,1m.
Números irracionales
Los números irracionales comprenden los números que no pueden expresarse como la división de enteros en el que el denominador es distinto
de cero. Se representa por la letra mayúscula I.
Aquellas magnitudes que no pueden expresarse en forma entera o como fracción que son inconmensurables son también irracionales. Por
ejemplo, la relación de la circunferencia al diámetro el número π=3,141592…
Las raíces que no pueden expresarse exactamente por ningún número entero ni fraccionario, son números irracionales:
7. Desigualdad
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de
ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser
comparados.
La notación a < b significa a es menor que b;
La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como
"estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que"
La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de
magnitud.
La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son
comparables.
8. Valor absoluto de un números entero
El valor absoluto de un número entero es
el número natural que resulta al suprimir su signo.
El valor absoluto lo escribiremos entre barras
verticales.
|−5| = 5
|5| = 5
Valor absoluto de un número real
Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|,
es el mismo número a cuando es positivo o cero,
y opuesto de a, si a es negativo. Ejemplo:
|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0
|x| = 2 x = −2 x = 2
Propiedades del valor absoluto
Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
|a| = |−a|
|5| = |−5| = 5
El valor absoluto de un producto es igual al producto
de los valores absolutos de los factores.
|a · b| = |a| ·|b|
|5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10
El valor absoluto de una suma es menor o igual que la
suma de los valores absolutos de los sumandos.
|a + b| ≤ |a| + |b|
|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| ≤ |5| + |2| 3 ≤ 7
9. Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
Considera la desigualdad simple También, podrías pensar en la recta numérica y los valores de x mayores de tres unidades a partir del
0. Esta vez, 3 y −3 no están incluidos en la solución, entonces hay dos círculos abiertos en estos valores. 2 y −2 no serían soluciones porque
no están a más de tres unidades del 0. Pero 5 y −5 si están y también lo están todos los valores extendiéndose a la izquierda de −3 y a la
derecha de 3. La gráfica se vería como la que está abajo.
