Dokumen tersebut membahas tentang aturan pencacahan yang terdiri dari 4 bab yaitu kejadian suatu peristiwa, aturan penjumlahan dan perkalian, permutasi, dan kombinasi. Aturan pencacahan digunakan untuk menghitung berbagai kemungkinan yang terjadi pada suatu peristiwa dengan menggunakan aturan penjumlahan apabila hanya satu kemungkinan yang terpilih, dan aturan perkalian apabila semua kemungkinan harus ter

1. Aturan Pencacahan
Atika Faradilla
Matematika Wajib – Kelas XII

2. Aturan Pencacahan
01
02
03
04
Kejadian Suatu Peristiwa
Aturan Penjumlahan dan
Perkalian
Permutasi
Kombinasi

3. Pernahkah kalian melihat plat kendaraan?
Seperti yang kalian ketahui, tiap kendaraan memiliki plat yang berbeda – beda. Plat
kendaraan Indonesia misalnya, kita menggunakan kombinasi 4 angka digabung
dengan 1, 2, atau 3 huruf di belakangnya, dan 1 atau 2 huruf didepan merupakan
petunjuk wilayah di mana kendaraan tersebut didaftarkan. Sebagai contoh plat
kendaraan di Lampung menggunakan BE.
Sekarang bagaimana kalau ditanya, ada berapa banyak plat kendaraan di Lampung?
Nah, bagaimana menjawabnya? Tentunya ada cara untuk menghitung ini, kalau
tidak, bagaimana mereka menentukan berapa banyak kombinasi angka dan huruf
di plat? Bagaimana mereka yakin bahwa ada lebih banyak kombinasi plat
dibanding banyaknya kendaraan yang ada? Bisakah kalian bayangkan kalau di plat
kendaraan hanya terdiri dari 1 angka? Kalau begitu, hanya ada 9 plat yang mugkin
dibuat, maka akan menyebabkan banyak mobil dengan plat yang sama. Sehingga
akan menjadi kekacauan.
Jika kalian perhatikan, disekitar kalian ada banyak permasalahan seperti ini, seperti
password, nomor ID kalian, dsb. Mereka harus memastikan bahwa setiap orang
memiliki kombinasi angka / huruf yang berbeda – beda.
Nah, ada materi matematika yang bisa membantu kita menghitungnya, materi ini
bernama Aturan Pencacahan.

4. Kejadian Suatu
Peristiwa • Ruang sampel:
S = {A, G}
• Banyaknya titik
contoh:
n(S) = 2
Misalkan kita melemparkan sekeping uang logam. Hasil yang
mungkin adalah muncul gambar (G) atau angka (A) dan keduanya
tidak bersamaan. Sehingga, jika S melambangkan ‘hasil yang
mungkin’. Semua kemungkinan hasil dari suatu peristiwa disebut
ruang sampel. Setiap gugus dari suatu ruang sampel
disebut titik contoh.

5. Banyaknya titik contoh /
ruang sampel:
n(S) = 2 x 6 = 12
Misalkan kita melemparkan sekeping uang logam
dan satu buah dadu. Hasil yang mungkin adalah
muncul gambar (G) atau angka (A) dan salah satu
mata dadu pada 6 mata dadu.
Maka, ruang sampel:
S = {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4), (A, 5), (A, 6), (G, 1), (G, 2), (G, 3), (G, 4)
,

6. Section Break

7. Jika ada beberapa kegiatan saling lepas dan salah satunya
harus dilakukan, maka jumlahkan banyak cara melakukan ma
sing-masing kegiatan).
Aturan penjumlahan dipakai jika:
• Ada beberapa kegiatan berbeda, namun hanya satu yang
dilakukan, atau
• Kita sedang membagi kasus (walaupun ketika membagi
kasus, aturan penjumlahan biasanya dipakai beriringan
dengan kaidah atau rumus lain),
Aturan Penjumlahan

8. Contoh 1:
Dari kota A ke kota B ada beberapa jenis angkutan yang
dapat digunakan. Ada 4 travel, 2 kapal laut, dan 1 pesawat
terbang yang dapat dipilih. Ada berapa total cara berbeda
untuk berangkat dari kota A menuju kota B?
Jawab:
Dalam kasus ini, ada tiga pilihan transportasi yang berbeda.
ita tidak mungkin menggunakan ketiga transportasi
tersebut sekaligus, kita hanya memilih satu. Oleh karena itu
ta gunakan aturan penjumlahan.
Sehingga ada 4+2+1 = 7 cara berbeda untuk berangkat dar
ri
kota A menuju kota B.
Aturan Penjumlahan

9. Contoh 2:
Untuk mengikuti kompetisi matematika, sebuahsekolah
diwajibkan mengirim 1 siswa perwakilan. Jika dalam tahap
akhir seleksi terpilih 3 siswa laki – laki dan 2 siswa
perempuan, tentukan banyaknya cara sekolah tersebut
memilih wakilnya untuk mengikuti kompetisi matematika.
Jawab:
Dalam kasus ini, kita hanya memilih satu dan ini bukan
peristiwa berpasangan. Oleh karena itu kita gunakan aturan
enjumlahan.
Sehingga ada 3+2 = 5 cara berbeda dalam memilih wakil
untuk kompetisi matematika
Aturan Penjumlahan

10. Jika ada beberapa kegiatan yang independen dan semuanya
harus dilakukan, maka kalikan banyak cara melakukan
masing-masing kegiatan.
Aturan perkalian dipakai jika:
• Ada satu kegiatan yang terdiri dari beberapa tahap, atau
• Ada beberapa kegiatan berbeda yang semuanya harus
dilakukan.
Aturan Perkalian

11. Contoh 1:
Terdapat 4 jalan yang berbeda dari kota A ke kota B dan 2
jalan yang berbeda dari kota B ke kota C. Tentukan
banyaknya cara seseorang dapat berangkat dari kota A ke
kota C melalui B.
Jawab:
Dalam kasus ini, jalan AB dan BC harus ditempuh semua.
Oleh karena itu kita gunakan aturan perkalian.
Sehingga ada 4x2= 8 cara berbeda untuk berangkat dari
kota A ke kota C melalui B.
Aturan Perkalian
A B C

12. Contoh 2:
Rani memiliki 2 pasang sepatu dan 3 pasang kaus kaki yang
berbeda. Ada berapa banyak cara Rani memasangkan
sepatu dan kaus kakinya?
Jawab:
Dalam kasus ini, setiap pasangan harus terdiri dari kaus
kaki dan sepatu (dua – duanya sekaligus). Oleh karena itu
kita gunakan aturan perkalian.
Sehingga ada 2x3 = 6 cara berbeda dalam memasangkan
sepatu dan kaus kaki.
Aturan Perkalian

13. Section Break

14. Notasi Faktorial
Dalam matematika, faktorial dinotasikan dengan “!”.
Untuk 𝑛 bilangan bulat positif, maka
𝑛! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 … 3 × 2 × 1
Dalam hal ini didefinisikan 1! = 1 dan 0! = 1“
“
Contoh
𝟒! = 𝟒 × 𝟑 × 𝟐 × 𝟏 = 𝟐𝟒
5! = 𝟓 × 𝟒 × 𝟑 × 𝟐 × 𝟏 = 𝟏𝟐𝟎

15. Permutasi & Kombinasi
Kombinasi
Pengaturan atau penyusunan beberapa
unsur tanpa memperhatikan urutan
Contoh: pencampuran warna
Permutasi
Pengaturan atau penyusunan beberapa
unsur dengan memperhatikan urutan
Contoh: PIN

16. Permutasi
Contoh 1:
Dari 10 orang, akan dipilih 2 orang sebagai
juara satu dan juara dua. Tentukan berapa
banyak cara pasangan juara satu dan juara
dua yang dapat dipilih.
𝑃2
10
=
10!
(10−2)!
=
10!
8!
=
10.9.8!
8!
= 90

17. Permutasi
Contoh 2:
Tentukan banyak bilangan ribuan lebih dari 3.
00 yang dapat dibentuk dari angka – angka {2
3, 4, 5, 6} tanpa ada angka yang berulang.
Jawab:
• Dengan filling slot:
• Dengan permutasi:
Tiga tempat lainnya dapat diisi oleh 4
angka yang sisa, dalam permutasi
𝑃3
4
=
4!
(4−3)!
= 4 × 3 × 2 × 1 = 24
Jadi, banyaknya bilangan lebih dari 3000
adalah 4 × 𝑃3
4
= 4 × 24 = 96
4 4 3 2 4 × 4 × 3 × 2 = 96

18. Kombinasi
Contoh 1:
Berapa banyak regu cepat tepat yang berbed
jika 3 siswa dari 9 siswa sebagai calon
peserta?
𝐶3
9
=
9!
(9−3)! 3!
=
9!
6! 3!
=
9.8.7.6!
6! 3. 2
= 84

19. Kombinasi
Contoh 2:
Dari sekelompok remaja terdiri atas 10 pria
dan 7 wanita, dipilih 2 pria dan 3 wanita, mak
banyaknya cara pemilihan adalah ….
𝐶2
10
. 𝐶3
7
=
10!
(10−2)! 2!
.
7!
(7−3)! 3!
𝐶2
10
. 𝐶3
7
=
10!
8! 2!
.
7!
4! 3!
𝐶2
10
. 𝐶3
7
= =
10.9.8!
8! 2.1
.
7.6.5.4!
4! 3.2.1
= 1575

20. Kombinasi
Contoh 3:
Dari 12 orang yang terdiri atas 8 pria dan 4 wanita
akan dibentuk kelompok kerja beranggotakan 4 orang.
Jika dalam kelompok kerja itu terdapat paling sedikit 2 p
ia, maka banyaknya cara membentuknya ada ...
Kemungkinan I: 2 Pria 2 Wanita
𝐶2
8
. 𝐶2
4
=
8!
(8−2)! 2!
.
4!
(4−2)! 2!
= 168
Kemungkinan II: 3 Pria 1 Wanita
𝐶3
8
. 𝐶1
4
=
8!
(8−3)! 3!
.
4!
(4−1)! 1!
= 224
Kemungkinan III: 4 Pria
𝐶4
8
=
8!
(8−4)! 4!
= 70
Sehingga, banyaknya cara penyusunan kelompok
tersebut adalah 168 + 224 + 70 = 462 cara.

21. Thank you