1. Menggunakan Basic Counting 2. Prinsip Sarang Merpati

1. CHAPTER
Counting 1
6 Yanyan Ahmad Yani (90115004)
Magister Pengajaran Matematika
Institut Teknologi Bandung
2015
Subbab:
 6.1 Menggunakan Basic Counting
 6.2 Menggunakan Prinsip Sarang Merpati
KOMBINATORIKA

2. Combinatorics dan Counting
2
• Kombinatorika
• Ilmu yang mempelajari pengaturan obyek-obyek
• Solusi yang ingin diperoleh dengan kombinatorika adalah jumlah
pengaturan obyek-obyek tertentu di dalam kumpulannya.
• Bagian penting dari Matematika Diskrit
• Enumerasi
• Penghitungan obyek dengan sifat tertentu atau menghitung (count)
satu persatu setiap kemungkinan jawaban.
• Bagian penting dari Kombinatorika

3. Contoh Masalah yang Diselesaikan dengan
Kombinatorika
“Password dalam suatu sistem komputer terdiri dari 6, 7, atau
8 karakter. Setiap karakter boleh berupa angka atau huruf
dalam alfabet. Setiap password harus memuat paling sedikit
satu digit bilangan desimal.
Berapa banyak password yang dapat dibuat?”
“Berapa banyak cara yang mungkin dilakukan dalam memilih
11 pemain dalam suatu tim sepak bola yang memiliki 20
pemain?”
“Misalkan nomor plat mobil di negara X terdiri atas 5 angka
diikuti dengan 2 huruf. Angka pertama tidak boleh 0.
Berapa banyak nomor plat mobil yang dapat dibuat?”

4. Cara yang paling sederhana untuk menyelesaikan persoalan
diatas adalah dengan mengenumerasi semua kemungkinan
jawabannya.
Mengenumerasi artinya mencacah atau menghitung
(count) satu persatu setiap kemungkinan jawaban.
Misalnya pada contoh persoalan terakhir, bila kita
mengenumerasi semua kemungkinan jawabannya adalah
seperti di bawah ini:
12345AB
12345AC
12345BC
…
34567AB
34567AC
…
dan seterusnya …

5. Dasar-dasar Counting
• The Product Rule (Aturan Perkalian)
• The Sum Rule (Aturan Penjumlahan)
• The Subtraction Rule (Aturan Pengurangan)
• Tree Diagrams (Diagram Pohon)
5

6. Aturan perkalian
Misalkan suatu prosedur dapat dibagi menjadi dua pekerjaan yang
berurutan. Jika terdapat n1 cara untuk melakukan tugas pertama dan
n2 cara untuk melakukan tugas kedua setelah tugas pertama selesai
dilakukan, maka terdapat n1 n2 cara untuk melakukan prosedur
tersebut.
6
Contoh 1:
Sebuah perusahaan baru dengan dua karyawannya, yaitu Sanchez dan
Patel , menyewa gedung/bangunan di dalamnya terdapat 12 ruangan
kantor. Berapa banyak cara untuk menempatkan dua karyawan
tersebut di ruangan kantor yang berbeda?

7. Solusi:
Prosedur penempatan ruangan kantor untuk dua karyawan
tersebut terdiri dari menugaskan kantor untuk Sanchez , yang
dapat dilakukan dalam 12 cara ,
maka menugaskan sebuah kantor untuk Patel berbeda dari yang
kantor ditugaskan untuk Sanchez , yang dapat dilakukan dalam
11 cara.
Dengan aturan perkalian , ada 12 · 11 = 132 cara untuk
menetapkan ruangan kantor untuk dua karyawan tersebut .
12 11. = 132 cara

8. Contoh 2:
Kursi-kursi yang ada di auditorium akan diberi nomor dengan
sebuah huruf kapital diikuti dengan bilangan bulat positif yang
tidak lebih dari 100 (misalnya A12, B99, dan seterusnya). Berapa
jumlah maksimum kursi yang dapat dinomori?
Solusi:
26
Banyak cara
memilih huruf kapital
Banyak cara
memilih bilangan
bulat posotif <=100
100 =
Jumlah penomoran
kursi yang dapat dibuat
2600
Jadi, maksimum kursi yang dapat dinomori adalah 2600 buah

9. Jika suatu prosedur terdiri dari barisan tugas-tugas T1, T2, …, Tm
yang dapat dilakukan dalam n1, n2, …, nm cara, secara berurutan, maka
terdapat n1  n2  …  nm cara
untuk melaksanakan prosedur tersebut.
Contoh 1
Berapa banyak strings dengan panjang tujuh yang mungkin terbentuk dari
dua bit (0 dan 1)?
Solusi:
Dengan aturan perkalian diperoleh 27
= 128 strings yang berbeda dengan
panjang 7 karakter.
2 2 2 2 2 2 2

10. Solusi:
Terdapat 26 kemungkinan untuk memilih huruf pertama,
10 kemungkinan untuk menentukan digit pertama, 10 untuk digit kedua, dan 10
untuk digit ketiga,
kemudian 26 kemungkinan untuk memilih huruf kedua dan 26 untuk huruf ketiga.
Jadi, terdapat 26  10  10  10  26  26 = 17576000 plat nomor kendaraan yang
berbeda.
26 10 10 10 26 26
Contoh 2
Berapa banyak plat nomor kendaraan yang berbeda yang dapat dibuat,
dengan ketentuan memuat tepat satu huruf, tiga digit bilangan desimal,
dan dua huruf?

11. Contoh3
Sebuah fungsi dari himpunan dengan m
elemen domain ke n elemen kodamain
adalah relasi yang memasangkan setiap
anggota domain pada tepat satu anggota
kodomain, dengan aturan perkalian
𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑛 ⋯ 𝑛 = 𝑛 𝑚
11
Solusi:
Ada berapa fungsi dari himpunan dengan m
anggota ke himpunan dengan n anggota?
𝑚 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

12. Contoh3
Ada berapa fungsi satu-satu dari himpunan dengan
m anggota ke himpunan dengan n anggota?
Solusi:
Ketika m > n tidak akan ada fungsi satu-satu dari himpunan
dengan m anggota ke himpunan dengan n anggota.
Misal 𝑚 ≤ 𝑛. Andaikan elemen pada domain adalah
𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎 𝑚 . Ada n cara untuk memilih nilai fungsi di 𝑎1. Karena
fungsi ini fungsi satu-satu , nilai Fungsi di 𝑎2 dapat diambil
dengan n - 1 cara ( karena nilai yang digunakan untuk 𝑎1 tidak
dapat digunakan lagi ) . Secara umum , nilai fungsi pada 𝑎 𝑘 dapat
dipilih dengan n - k + 1 cara . Dengan aturan perkalian, ada n ( n -
1 ) ( n - 2 ) ··· ( n - m + 1 ) fungsi satu-satu dari himpunan dengan
m anggota ke tepat satu dengan n anggota.

13. Aturan penjumlahan
Jika suatu pekerjaan dapat dilaksanakan dengan n1 cara
dan pekerjaan kedua dengan n2 cara;
serta jika kedua tugas ini tidak dapat dilakukan dalam
waktu yang bersamaan, maka terdapat
n1 + n2 cara
untuk melakukan salah satu pekerjaan tersebut.
Contoh:
Jabatan ketua himpuanan pengajaran matematika dapat
diduduki oleh mahasiswa angkatan tahun 2014 atau
angkatan tahun 2015. Jika terdapat 30 orang mahasiswa
angkatan 2014 dan 15 orang mahasiswa angkatan 2015,
berapa cara memilih jabatan ketua himpunan? 13

14. Solusi:
Jabatan yang ditawarkan hanya ada satu, yang dapat
diduduki oleh salah seorang mahasiswa dari dua angkatan
yang ada.
Ada 30 cara memilih satu orang mahasiswa dari angkatan
2014, dan 15 cara memilih satu orang dari angkatan 2015,
namun hanya satu dari kedua angkatan itu yang terpilih
(angkatan 2014 atau angkatan 2015).
Dengan aturan penjumlahan, jumlah cara memilih jabatan
ketua himpunan tersebut sama dengan jumlah mahasiswa
pada kedua angkatan, yaitu 30 + 15 = 45 cara.
14

15. Generalisasi aturan penjumlahan
Jika terdapat pekerjaan-pekerjaan T1, T2, …, Tm yang dapat
dilakukan dalam n1, n2, …, nm cara, dan tidak ada dua di
antara pekerjaan-pekerjaan tersebut yang dapat dilakukan
dalam waktu yang bersamaan, maka
terdapat n1 + n2 + … + nm cara
untuk melakukan salah satu dari tugas-tugas tersebut.
15

16. Solusi:
16
Mahasiswa dapat memilih proyek dengan memilih
sebuah proyek dari daftar pertama, daftar yang kedua,
atau daftar yang ketiga. Dengan aturan penjumlahan
ada 23 + 15 + 19 = 57 cara untuk memilih sebuah
proyek.
Contoh:
Seorang mahasiswa dapat memilih satu tugas proyek
Matematika Diskrit dari tiga buah daftar, yang masing-
masing berisikan 23, 15, dan 19 proyek. Ada berapa tugas
proyek yang dapat dipilih?

17. Prinsip Dasar Counting
Aturan penjumlahan dan perkalian juga dapat
direpresentasikan dalam istilah himpunan.
Aturan penjumlahan
Misalkan A1, A2, …, Am himpunan yang saling lepas.
Maka banyaknya cara untuk memilih anggota dari
gabungan A1  A2  …  Am adalah jumlah dari
banyaknya anggota setiap himpunan.
|A1  A2  …  Am | = |A1| + |A2| + … + |Am|.
Aturan perkalian
Misalkan A1, A2, …, Am himpunan hingga. Maka
banyaknya cara untuk memilih satu anggota dari hasil
kali Cartesian A1  A2  …  Am dilakukan dengan
memilih satu anggota dari A1, satu anggota dari A2, …,
dan satu anggota dari Am.
|A1  A2  …  Am | = |A1|  |A2|  …  |Am|. 17

18. More Complex Counting Problems
Contoh:
Password suatu login pada sistem komputer
panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiap karakter
boleh berupa huruf atau angka; huruf besar dan
huruf kecil tidak dibedakan. Berapa banyak
password yang dapat dibuat untuk suatu login?
18

19. Solusi:
Banyak huruf alfabet adalah 26 (A-Z) dan banyak angka desimal adalah 10 (0-9),
jadi seluruhnya 36 karakter.
Untuk password dengan panjang 6 karakter, jumlah kemungkinan password
adalah
(36) (36) (36) (36) (36) (36) = (36)6
Untuk password dengan panjang 7 karakter, jumlah kemungkinan password
adalah
(36) (36) (36) (36) (36) (36) (36) = (36)7
Untuk password dengan panjang 8 karakter, jumlah kemungkinan password
adalah
(36) (36) (36) (36) (36) (36) (36) (36) = (36)8
Dengan menggunakan aturan penjumlahan, jumlah seluruh password adalah
(36)6 + (36)7 + (36)8 = 2.901.650.833.888 buah.
Jadi, untuk suatu login akan mempunyai 2.901.650.833.888 buah kemungkinan
password.
19

20. Prinsip Inklusi-Eksklusi
20
Jika tugas dapat dilakukan baik dengan n1 cara atau n2 cara,
maka sejumlah cara untuk melakukan tugas tersebut
adalah n1 + n2 dikurangi jumlah cara untuk melakukan tugas
yang umum untuk dua cara yang berbeda.
Prinsip ini digunakan untuk menentukan kardinalitas
dari gabungan himpunan-himpunan yang tidak
harus saling lepas.
A  B= A+B - A  B

21. Berapa banyak strings dengan panjang 8 yang mungkin terbentuk, baik
yang dimulai dengan 1 atau berakhir dengan 00?
Solusi:
Pekerjaan 1: Konstruksi string biner dengan panjang 8 yang dimulai
dengan 1.
Terdapat satu cara untuk memilih bit pertama (1),
dua cara untuk memilih bit kedua (0 or 1),
dua cara untuk memilih bit ketiga (0 or 1),
...
dua cara untuk memilih bit kedelapan (0 or 1).
Aturan perkalian: Pekerjaan 1 dapat dilakukan dengan 127 = 128 cara.
Contoh:
1 2 2 2 2 2 2 2

22. Pekerjaan 2: Konstruksi string biner dengan panjang 8
yang berakhir dengan 00.
Terdapat dua cara untuk memilih bit pertama (0 or 1),
dua cara untuk memilih bit kedua (0 or 1),
.
.
.
dua cara untuk memilih bit keenam (0 or 1),
satu cara untuk memilih bit ketujuh (0), dan
satu cara untuk memilih bit kedelapan(0).
Aturan perkalian: Pekerjaan 2 dapat dilakukan dalam
26.1.1 = 64 cara. 22
2 2 2 2 2 2 1 1

23. Karena terdapat 128 cara untuk melakukan Pekerjaan 1 dan 64 cara
untuk melakukan Pekerjaan 2, apakah ini berarti bahwa terdapat 192
string biner dengan yang dimulai dengan 1 atau berakhir dengan 00?
Tidak, karena di sini Pekerjaan 1 dan Pekerjaan 2 dapat dilakukan
pada waktu yang bersamaan.
Ketika kita melaksanakan Pekerjaan 1 dan membuat string yang
dimulai dengan 1, beberapa dari string tersebut diakhiri dengan 00.
Jadi, kita kadangkala melakukan Pekerjaan 1 dan 2 pada saat yang
bersamaan, sehingga aturan penjumlahan tidak berlaku.
23

24. Jika kita ingin menggunakan aturan penjumlahan, dalam kasus ini,
kita harus mengurangkan kasus-kasus di mana Pekerjaan 1 dan 2
dilaksanakan pada saat yang bersamaan.
Ada berapa kasus? yaitu, ada berapa banyak string yang dimulai
dengan 1 dan diakhiri dengan 00?
Terdapat satu cara untuk memilih bit pertama (1),
dua cara untuk memilih bit kedua (0 or 1),
.
.
.
dua cara untuk memilih bit keenam (0 or 1),
satu cara untuk memilih bit ketujuh (0), dan
satu cara untuk memilih bit kedelapan(0).
Aturan perkalian: Dalam 25 = 32 kasus, Pekerjaan 1 dan 2
dilaksanakan pada saat yang sama.
24
1 2 2 2 2 2 1 1

25. Karena terdapat 128 cara untuk menyelesaikan
Pekerjaan 1 dan 64 cara untuk menyelesaikan Pekerjaan
2, dan dalam 32 dari kasus-kasus tersebut Pekerjaan 1
dan 2 diselesaikan pada saat yang bersamaan, maka
terdapat
128 + 64 – 32 = 160 cara
untuk melakukan salah satu di antara kedua tugas
tersebut.
25

26. Contoh
Berapa bit-string dengan panjang 4 tidak berisi substring “11” ?
bit ke-1 bit ke-2 bit ke-3 bit ke-4
26
0
0
0
0
1
1
0
1 0 0
1
1 0
0 0
1
1
0
Jadi, terdapat 8 string.
DiagramPohon
Untuk visualisasi guna mempermudah penyelesaian
dalam counting problems.

27. Prinsip Sarang Merpati
Teorema 1
Jika k adalah bilangan bulat positif dan (k + 1) obyek atau lebih
ditempatkan ke dalam k kotak, maka terdapat paling sedikit satu
kotak yang memuat dua atau lebih obyek tersebut.
Obyek  merpati (pigeons)
Kotak  sarang merpati (pigeonholes)
Gambar (1). Burung merpati lebih banyak dari pada sarangnya

28. Kebenaran dari Prinsip SarangMerpati
Bukti:
Misalkan tidak terdapat satu wadah pun yang memuat lebih dari satu
obyek, maka jumlah obyek terbanyak adalah k, sedangkan jumlah
total objeknya k + 1. Namun itu adalah sebuah kontradiksi. Dengan
demikian paling sedikit hanyalah ada k + 1 obyek.

29. Contoh:
1. Dari antara 367 orang, ada sedikitnya dua orang yang lahir pada
tanggal yang sama.
367 orang  merpati
366 hari  sarang merpati
2. Dari 27 kata ada sedikitnya dua kata yang dimulai dengan huruf
yang sama.
27 kata  merpati
26 huruf  sarang merpati
3. Jika nilai ujian menggunakan skala 0 s/d. 100, berapa orang
mahasiswa yang megikuti ujian tersebut supaya paling sedikit ada
dua orang yang nilainya sama ?
102 mahasiswa  merpati
101 nilai (0..100)  rumah merpati

30. Generalisasi PrinsipSarangMerpati
Teorema 2
Jika N obyek ditempatkan ke dalam k wadah, maka terdapat paling sedikit satu wadah yang
memuat sedikitnya N/k objek.
Bukti:
Misalkan tidak ada wadah yang berisi lebih dari N/k - 1 objek, maka jumlah objek
maksimalnya adalah jumlah wadah dikali isinya yang dilihatkan dalam pertidaksamaan
berikut
𝑘
𝑁
𝑘
− 1 < 𝑘
𝑁
𝑘
+ 1 − 1 ……… (1)
Pertidaksamaan (1) dapat ditulis demikian karena
𝑁
𝑘
tidak mungkin sama atau melebihi
𝑁
𝑘
+ 1. Jika ruas kanan disederhanakan , maka hasilnya adalah N, yang berarti
𝑘
𝑁
𝑘
− 1 < 𝑁
Padahal jumlah objek total adalah N. Maka dari itu, terdapat kontradiksi pada pernyataan,
sehingga prinsip sarang merpati yang digeneralisasikan bernilai benar.

31. Beberapa masalah yang sering muncul biasanya adalah tentang
menentukan banyaknya obyek minimum demikian sehingga paling sedikit r
obyek dari obyek-obyek ini harus terdapat dalam satu dari k kotak jika
obyek-obyek ini didistribusikan di antara kotak-kotak itu. Jika kita memiliki N
obyek, prinsip sangkar burung merpati yang diperumum menyatakan bahwa
paling sedikit terdapat r obyek dalam 1 kotak asalkan
𝑁
𝑘
≥ 𝑟.
Bilangan bulat N terkecil dengan
𝑁
𝑘
> 𝑟 − 1, yaitu 𝑁 = 𝑘 𝑟 − 1 + 1,
merupakan bilangan bulat terkecil yang memenuhi ketidaksamaan
𝑁
𝑘
≥ 𝑟.
Mungkinkah ada nilai N yang lebih kecil? Tentu tidak, karena jika kita
memiliki k(r - 1) obyek, kita menempatkan r - 1 di antaranya pada tiap-tiap
kotak dari k kotak yang tersedia dan tak ada 1 kotak pun yang
ditempati oleh paling sedikit r obyek.

32. Contoh
1. Di antara 100 orang ada paling sedikit 100 / 12 = 9
orang yang lahir pada bulan yang sama.
2. Berapa jumlah minimum mahasiswa di dalam kelas
Matematika Diskrit agar sedikitnya 6 orang memperoleh
nilai yang sama, jika nilai yang mungkin terdiri dari A, B,
C, D, dan E?
Solusi:
Nilai huruf adalah A, B, C, D, E dan dalam suatu kelas
ada paling sedikit 6 orang yang mendapat nilai sama.
Banyaknya mahasiswa di kelas itu minimum 26 orang.
Generalisasi Prinsip Sarang Merpati : N/5 = 6.
N = 5 ∙ 5 + 1 = 26

33. Beberapa aplikasi prinsip sarang merpati
Contoh:
Suatu tim baseball punya 30 hari untuk latihan
sebelum turnamen dimulai. Untuk itu pelatih tim
menerapkan latihan; setiap hari paling sedikit
bermain game sekali, tetapi secara keseluruhan
banyaknya permainan game tidak lebih dari 45 kali.
Buktikan bahwa ada barisan hari berturut-turut
disaat tim bermain game sebanyak tepat 14 kali.

34. Solusi:
Masalah ini berhubungan dengan prinsip sarang merpati. Kita
harus mencoba menghubungkan bilangan-bilangan yang
diberikan untuk membentuk sarang dan merpati yang tepat.
Kita misalkan 𝑎𝑖 sebagai banyaknya permainan game yang telah
dilakukan samapai hari ke-i dengan 𝑖 = 1, 2, ⋯ , 30.
Jika demikian maka 𝑎1 paling tidak 1, 𝑎2 paling tidak 2, dst
sampai 𝑎30 paling banyak 45, atau bisa ditulis menjadi
1 ≤ 𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎30 ≤ 45.
Dan ada 14 banyaknya permaianan yang dilakukan selama
beberapa hari berturut-turut. Hal ini mendorong untuk
menambahkan setiap 𝑎𝑖 dengan 14. Kemudian perhatikan
bahwa 45 + 14 = 59 = 2 ∙ 30 − 1. dengan demikian kita
mempunyai sarang dan merpati yang sesuai.

35. Lanjutan…
Bukti:
Misalkan 𝑎𝑖 banyaknya permainan game yang telah dilakukan sampai i
hari. Karena dalam 30 hari banyaknya permainan game tidak lebih dari
45 kali maka
0 < 𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎30 ≤ 45,
Jumlahkan dengan 14, maka diperoleh
14 < 𝑎1 + 14 < 𝑎2 + 14 < ⋯ < 𝑎30 + 14 ≤ 59.
Ada 59 bilangan (sarang), tetapi merpatinya 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎30, 𝑎1 + 14, 𝑎2 +
14, ⋯ , 𝑎30 + 14, ada 60 buah. Akibatnya ada dua merpati yang
bersarang sama. Maka ada i, j, sehingga
𝑎𝑖 = 𝑎𝑗 + 14
Ekuivalen dengan 𝑎𝑖 − 𝑎𝑗 = 14
Dengan kata lain pada hari ke-j+1, j+2, …, i, tim baseball bermain game
tepat 14 kali.

36. Aplikasi prinsip sangkar burung merpati memperlihatkan
adanya (eksistensi) suatu barisan bagian (subsequence) yang
naik atau turun dengan panjang tertentu dalam sebuah barisan
bilangan bulat. Sebuah barisan bagian dari barisan 𝑎1, 𝑎2, 𝑎 𝑁
didefinisikan sebagai sebuah barisan dalam bentuk
𝑎𝑖1, 𝑎𝑖2, ⋯ , 𝑎𝑖𝑚, dengan 1 ≤ 𝑖1 ≤ 𝑖2 ≤ ⋯ ≤ 𝑖 𝑚 ≤ 𝑖 𝑁. Ini berarti,
sebuah barisan bagian yang diperoleh dari suatu barisan
tertentu diperoleh dengan mengambil beberapa suku dari
barisan tersebut dalam urutan aslinya, dan mungkin tidak
memuat suku-suku lainnya. Sebuah barisan dikatakan naik jika
tiap-tiap sukunya selalu lebih besar daripada suku-suku
sebelumnya, dan dikatakan turun jika tiap-tiap suku selalu lebih
kecil daripada suku-suku sebelumnya.
Teorema 3
Tiap-tiap barisan dari 𝑛2
+ 1 bilangan real yang berbeda
memuat sebuah barisan yang panjangnya n + 1, dan barisan
bagian ini merupakan barisan naik atau turun.

37. TeoriRamsey
Asumsikan bahwa di dalam suatu kelompok yang terdiri dari 6
orang, setiap pasang terdiri dari dua sahabat atau dua musuh.
Tunjukkan bahwa terdapat tiga orang yang saling bersahabat atau
tiga orang yang saling bermusuhan dalam kelompok tersebut.
Solusi:
Misalkan A merupakan salah satu dari keenam orang tersebut,
maka setidaknya tiga orang dari lima orang selain A bermusuhan
atau berteman dengan A (sesuai prinsip pigeonhole). Anggap B,
C, D berteman dengan A. Maka, jika dua dari B, C, D berteman,
akan terbentuk tiga orang yang saling berteman. Sebaliknya, jika
tidak, maka akan terbentuk tiga orang yang saling bermusuhan.

38. TeoriRamsey(2)
Bilangan Ramsey R(m,n), dengan m dan n bilangan bulat positif  2,
adalah jumlah minimum orang dalam suatu pesta sehingga
terdapat m orang yang saling bersahabat atau n orang yang saling
bermusuhan, dengan mengasumsikan setiap pasang orang di pesta
tersebut adalah sahabat atau musuh.