this article describes about the basic of set theory with MATLAB application

1. 1
Teori Himpunan
Dosen: Ir. Sihar, M.T.
Fak. Teknologi Informasi
Bandung 2012
Referensi:
[1]. Chapman, S.J. Matlab Programming for Engineers. Bookware Companion Series.
Thomson-Engineering. 2001.
[2]. Hunt, B.R., etc. A Guide to Matlab for Beginners and Experienced Users.
Cambride University Press. 2001.
[3]. Shen, A., Vereschagin, N.K. Basic Set Theory. American Mathematical Society.
2002
[4]. Simangunsong, W. Matematika Dasar. Penerbit Erlangga. 1998.
[5]. Weinstein, G. Advanced Calculus. 1999.
Himpunan adalah sekumpulan elemen-elemen yang memiliki sifat yang sama.
Misalkan:
A = {a, e, i, o, u} disebutkan bahwa A adalah himpunan yang beranggotakan huruf
vokal.
Dalam script Matlab dituliskan sbb:
>> A=['a ' 'e ' 'i ' 'o ' 'u'];
>> A
A =
a e i o u
>>
Sepintas dapat disebutkan bahwa A merupakan larik yang berisikan elemen-
elemen data tipe karakter (‘char’); atau A juga dapat disebutkan matriks dengan
elemen 1 x 5, yakni 1-baris, 5-kolom.
Misalkan:
A1 = [1 2 3] A2 = ൥
1
2
3
൩
Maka,
Jika A1 x A2 didapatkan: [ሺ1‫1ݔ‬ሻ + ሺ2‫2ݔ‬ሻ + ሺ3‫3ݔ‬ሻ] = 14
Dituliskan dalam script Matlab sbb:
>> clear all
>> A1=[1 2 3];
>> A2=[1;2;3];
>> A1*A2
ans =

2. 2
14
>>
Contoh himpunan yang lain:
mahasiswa = {‘Khoe Jie’,’Wita’,’Nora’,’Suze’}
Integer = {1,-1,4,10,31}
Larik (array) dinyatakan dalam dimensi-1 dan dimensi-2, jika dimensi-1 relatif
tergolong sebuah himpunan; sedangkan dimensi-2 disebut dengan matriks.
Misalkan:
Z = {1,3,5} ⇒ matriks dengan dimensi 1x3 yakni: 1-baris dan 3-kolom;
Jika dituliskan dalam script Matlab sbb:
>> Z=[1,3,5];
>> Z
Z =
1 3 5
Dengan kata lain, jika dituliskan sbb:
>> clc %hapus layar
>> clear all %hapus semua variabel
>> Z(1,2) %menampilkan baris-1, kolom-2
ans =
3
>>
Selanjutnya dapat dijelaskan juga melalui script berikut ini:
>> A1=[1;-1;2];
>> A1
A1 =
1

3. 3
-1
2
>> size(A1) %mendapatkan informasi dimensi matriks A1
ans =
3 1
Hasilnya menjelaskan bahwa A1 matriks dengan dimensi 3x1, yakni: 3-baris, 1-
kolom.
>> A2=[1,-1,2];
>> A2
A2 =
1 -1 2
>> size(A2) %mendapatkan informasi dimensi matriks A2
ans =
1 3
>>
Hasilnya menjelaskan bahwa A2 matriks dengan dimensi 1x3, yakni: 1-baris, 3-
kolom.
Matriks yang terdiri dari single-column disebut dengan vector.
Misalkan:
A1 = ൥
1
−1
2
൩
Dalam script Matlab dapat dituliskan sbb:
>> A1=[1;-1;2];
>> A1
A1 =
1
-1
2
>>
Di sisi lain bisa disebutkan himpunan Z yang terdiri dari:
• n(Z) = 3
• jumlah himpunan bagian Z = 23 = 8, yaitu: ∅, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5},
{1,3,5}
Suatu array yang beranggotakan sbb:
Z[0] = 1;
Z[1] = 3;
Z[3] = 5;
Dituliskan dalam script Matlab sbb:

4. 4
Misalkan:
Z1 = ൥
1.2 0.4 ߨ
1 −1 0
0 1.75 2
൩
Maka,
a) Untuk mendapatkan dimensi Z1:
>> Z1=[1.2,0.4,pi;1,-1,0;0,1.75,2];
>> Z1
Z1 =
1.2000 0.4000 3.1416
1.0000 -1.0000 0
0 1.7500 2.0000
>> size(Z1)
ans =
3 3
>>
b) Untuk mendapatkan nilai Z123
>> Z1(2,3)
ans =
0
>>
c) Jika 2.Z1, maka didapatkan:
>> 2*Z1
ans =
2.4000 0.8000 6.2832
2.0000 -2.0000 0
0 3.5000 4.0000
>>
Himpunan Semesta adalah himpunan yang terdiri dari sejumlah himpunan bagian
dan bersifat universal dalam hal kesamaan status, tempat, karakteristik, dan
tujuan. Disimbolkan dengan S atau U.
Misalkan diperlihatkan pada Diagram Venn berikut:

5. 5
maka, S = A1 ∪ A2
dan
A1 ∈ S ; A2 ∈ S
Himpunan Bagian, merupakan sejumlah anggota kumpulan yang dikelompokkan
dalam sifat yang sama dan dituliskan dengan simbol ‘⊂’.
Misalkan:
A = {-1, 6,
గ
ଶ
, 4.5, -3} , maka yang dimaksud dengan himpunan bagian adalah:
{ } ⊂ A ; {-1} ⊂ A ; {6} ⊂ A ; {
గ
ଶ
} ⊂ A ; {4.5} ⊂ A ; {-3} ⊂ A ;
{-1,6} ⊂ A ; {-1,
గ
ଶ
} ⊂ A ; {-1,4.5} ; {-1,-3} ⊂ A ;
{6,
గ
ଶ
} ⊂ A ; {6,4.5} ⊂ A ; {6, -3} ⊂ A ;
{
గ
ଶ
,4.5} ⊂ A ; {
గ
ଶ
,-3} ⊂ A ;
{4.5-,3} ⊂ A ;
{-1,6,
గ
ଶ
} ⊂ A ; {-1,6,4.5} ⊂ A ; {-1,6,-3} ⊂ A ;
dst.
Dirumuskan banyak himpunan bagian A sebanyak: 2n(A) dimana n(A) = jumlah
elemen A yakni 5.
Sehingga jumlah himpunan bagian dari A = 32
Dalam script Matlab untuk mendapatkan jumlah elemen himpunan dapat dicari
sbb:
>> A=[-1,6,pi,4.5,-3];
>> A
A =
-1.0000 6.0000 3.1416 4.5000 -3.0000
>> length(A) %mendapatkan informasi jumlah anggota larik/himpunan
ans =
5
>>
Jika himpunan bagian sebanyak 3 anggota dari A, maka jumlahnya diketahui sbb:
{x,yz} ⇒
ହ!
ଷ!ሺହିଷሻ!
=
ହ!
ଷ!
=
ହ௫ସ௫ଷ
ଷ௫ଶ௫ଵ
= 10
Dirumuskan: ‫ܣ‬௠
௡
=
௡!
௠!ሺ௡ି௠ሻ!
; dimana n: jumlah elemen himpunan bagian dan m:
jumlah elemen dari himpunan bagian yang dicari/ditetapkan.
Contoh lain:
Z = {-3,2,4,12}
Jumlah elemen = n(Z) = 4
Jumlah himpunan bagian = 24 = 16
Jumlah himpunan
Misalkan: A={a,e,i,o,u} digambarkan dalam Diagram Venn sbb:

6. 6
S merupakan himpunan semesta, dan A
merupakan himpunan bagian dari S, dan
a,e,i,o,u adalah anggota himpunan dari A.
Himpunan Ekivalen, jika jumlah anggota himpunan A sama dengan jumlah
anggota himpunan B, dan anggotanya masing-masing sama; maka disebutkan A
dan B adalah himpunan ekivalen, dan dapat dituliskan sbb: n(A) = n(B)
Contoh:
A={x,y,z}
B={x|3≤x≤5 ; x∈A}
C={x|1≤x≤3 ; x∈ℜ}
Maka, n(A) = n(B) → A ≅ B
Misalkan A,B,C, dst adalah himpunan; dan a,b,c, ... atau x,y,z... adalah
anggotanya,
maka:
b ∈ A jika b elemen dari A, dan B ∈ A, jika masing-masing A dan B adalah
himpunan dan B elemen dari A; dan disebutkan c ∉ A, jika c bukan elemen dari A,
dan merupakan ∅ ∈ A atau suatu himpunan.
Himpunan Ekivalen memenuhi kriteria apabila n(A) = n(B), misalkan:
A = {-1,6,5,4,1.2} dan B = {2x,π,-1,7,x3}
Maka, n(A) = n(B) = 5
Jika A, B, dan C adalah himpunan, maka dapat dibangun relasi sbb:
(A ∩ B) ∪ C
⇔ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
Misalkan:
A = {1,-a,12}
B = {-1,12,-a,7}
C = {1,-1,3a,8,21,s1,12}
maka,
z = A ∩ B = {-a,12}
dan z ∪ C = {1,-1,3a,8,21,s1,12,-a}
z1 = A ∪ C = {1,-a,12,-1,3a,8,21,s1}
z2 = B ∪ C = {-1,12,-a,7,1,3a,8,21,s1}
sehingga, z1 ∩ z2 = {-a,12,-1,3a,21,s1,1,8}
Terbukti!
(A ∪ B) ∩ C
⇔ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Misalkan:
A = {1,-a,12,3}
B = {-1,12,-a,3,7}
C = {1,-1,3a,8,21,s1,12}

7. 7
maka,
z = A ∪ B = {1,-1,-a,12,3,7}
dan z ∩ C = {1,-1,12}
z1 = A ∩ C = {1,12}
z2 = B ∩ C = {-1,12}
sehingga, z1 ∪ z2 = {1,12,-1}
Terbukti!
Pernyataan Notasi
Misalkan: {x|x adalah Bilangan Asli dan x<8}
maka dapat disebutkan dan dibaca sbb: “untuk semua himpunan x, disebutkan
bahwa x adalah Bilangan Asli dan x<8”
Contoh lain:
{x|x adalah karakter dari alpabetikal Jawa}
maka dapat disebutkan dan dibaca sbb: “untuk semua himpunan x, disebutkan
bahwa x adalah karakter dari alpabetikal Jawa”
Contoh yang lain:
{y|y adalah seorang mahasiswa UNIBBA dan y berumur lebih muda 25 th.}
maka dapat disebutkan dan dibaca sbb: “untuk semua himpunan y, disebutkan
bahwa y adalah seorang mahasiswa UNIBBA dan y berumur lebih muda 25 th.”
Oleh sebab itu jika dinyatakan dalam sebuah kasus sbb:
Asumsi bahwa y1 menyatakan umur dan y2 menyatakan mahasiswa UNIBBA
dimana angka 25 merepresentasikan ‘mahasiswa UNIBBA’.
Maka jika dituliskan dalam script MATLAB dapat ditunjukkan sbb:
y1=30;
y2=25; %asumsi nilai 25 menyatakan mhs UNIBBA
if(y1<=25&&y2==25)
disp('Himpunan y');
else
disp('Bukan himpunan y');
end
Hasilnya:
Bukan himpunan y
Jika diganti y1=20, maka hasilnya:
Himpunan y
Hint:
Tuliskan dalam M-files (editor Matlab), dan jalankan dengan meng-klik: Run pada
M-files, dan hasilnya ditampilkan pada command-line pada Matlab.
Aturan recursive
Misalkan Himpunan E beranggotakan bilangan genap lebih besar dari 3, maka
dapat disebutkan bahwa:
a) 4 ∈ E
b) Jika x ∈ E, maka x+2 ∈ E
c) Tidak ada satupun nilai anggota E
Artinya:
Statement a merupakan aturan pokok yang telah terdefinisikan sesuai dengan
rules; statement b merupakan derivatif dari a untuk pokok turunan berikutnya

8. 8
dari rules pokok yang telah terdefinisi; sedangkan statement c merupakan kriteria
dan nilai lain di luar a dan b.
Oleh sebab itu dapat disimpulkan bahwa himpunan pokok hasil adalah tiga
luaran, yakni: pokok uraian, turunan dari pokok uraian, dan nilai di luar pokok
uraian dan turunan dari pokok uraian.
Power sets
Seperti telah disebutkan sebelumnya, bahwa jika disebutkan Himpunan A={a,b}
maka:
Power sets A, atau jumlah himpunan bagian A adalah dinotasikan dengan ℘(A)
atau dituliskan juga dengan 2n(A).
Sehingga dapat disebutkan bahwa:
n(A) = 2, sehingga ℘(A) = 4, dibuktikan sbb:
Himpunan Bagian A, dituliskan ‘⊂’.
Bedakan ‘member-of’ dan ‘subset of’.
A={a,b}
℘(A) = {∅,{a},{b},{a,b}}
Sehingga:
a∈A ; {a}∈℘(A) ; {a}⊂A ; ∅⊂A ; ∅∉A ; ∅∈℘(A) ; ∅⊂℘(A)
Mendapatkan selisih
Jika A1 dan A2 masing-masing himpunan, maka:
A1 – A2 = {x|x∈A1 dan x∉A2}
sehingga, apabila diketahui masing-masing himpunan tsb adalah sbb:
A1 = {k,o,e}
A2 = {k,o,l,0,t}
maka, A1 – A2 = {e}
dan n(A1 – A2) = n(A1) – n(A1∩A2) ; n(A1∩A2) = 2
= 3 – 2
= 1
∴jika X ⊂ Y dan Y ⊂ Z, maka X ⊂ Z
Komplemen (Negasi)
Jika Z={-2,3,0,9,b2,z1,33} dan A={3,0,9} maka A ∈ Z dan sekaligus A ⊂ Z, sehingga
‫ܣ‬̅ = {-2,b2,z1,33}
A ∪ ‫ܣ‬̅ = Z ; dan A ∩ ‫ܣ‬̅ = ∅
Oleh sebab itu: A – ‫ܣ‬̅ = ‫ܣ‬̅ – A= ∅
Sehingga, n(A) + n(‫ܣ‬̅) = n(Z)
n(A), n(‫ܣ‬̅), n(Z) disebut Bilangan Kardinal
Kasus-1
Apabila X1={2,4} ; X2={2,4,11} ; X3={2,4,11,12,14}
maka, (X1∪X2)∩X3 adalah sbb:
Jika X = X1∪X2 = {2,4,11} ; X∩X3 = {2,4,11}
Kasus-2
Jika X1={x|-2 < x <10} dan X2={x|5 ≤ x ≤12} ; x∈ℜ
maka:
X1 = {-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ; X2 = {5,6,7,8,9,10,11,12}
a) X1 – X2 = {-1,0,1,2,3,4}

9. 9
b) X2 – X1 = {10,11,12}
c) X1 + X2 = {-1,0,1,2,3,4,10,11,12}
d) X1 ∩ X2 = {5,6,7,8,9}
e) n(X1) – n(X2) = 11 – 8 = 3
Kasus-3
A={1,2,3,4,5}
B={1,3,5,7,9}
C={6,7,8,9}
D={2,4,6,8}
Maka:
A ∩ D = {2,4}
Apakah A ∪ C = B ∪ D, dibuktikan sbb:
A ∪ C = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
B ∪ D = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Terbukti ☺
Kasus-4
Jika S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} merupakan himpunan semesta
X1={x|x∈Bilangan Genap}
X2={ x|x∈Bilangan Prima}
A={2,3,4,5} ; jika A’ adalah komplemen A
Maka:
X1 = {2,4,6,8,10}
X2 = {2,3,5,7}
sehingga,
X1 ∩ X2 = bukan himpunan kosong
X2 ∩ A’ = {7}
(X2 ∪ A) = {2,3,4,5,7}
(X2 ∪ A)’ = {6,8,9,10}
Kasus-5
Jika diketahui X1={x|0≤x<1} dan X2={y|y<7 ; y∈Bilangan Bulat}
Maka: X1∩X2 = {0} dibuktikan sbb:
X1 = {0}
X2 = {...,-1,0,1,2,3,4,5,6}
Kasus-6
Apabila A={x|x2 – 2x – 3 ≤ 0} dan B={x| x2 – 2x > 0}, maka:
x2 – 2x – 3 = (x-3)(x+1) ; x=3 ∪ x=-1 ; -1≤ x ≤3
A = {-1,0,1,2,3}
x2 – 2x = x(x-2) ; x=0 ∪ x=2 ; x<0 ∪ x>2
B = {...-2,-1,3,4,5,...}
A – B = {0,1,2}
Kasus-7
Apabila S adalah himpunan Semesta, X1={x|x2 – 3x – 10 <0} dan X2={x||x|>2}
dimana B’ menyatakan komplemen B, maka:
x2 – 3x – 10 = (x-5)(x+2) ; x=5 ∪ x=-2 ; -2< x <5
X1 = {-1,0,1,2,3,4}
|x|>2 ; x<-2 ∪ x>2

10. 10
X2 = {...,-5,-4,-3,3,4,5,...}
X2’ = {-2,-1,0,1,2}
X1 ∩ X2’ = {-1,0,1,2}
Bisa dinyatakan dengan:
a) -1 ≤ x ≤ 2
b) -2 < x ≤ 2
c) -2 < x < 3
d) -1 ≤ x < 3
Kasus-8
P = {0,1,2,3}
Q = {0,1,-1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6}
Maka:
a) P ⊂ Q dan P ≠ Q
b) P ∪ Q ≠ P
c) P ∩ Q ≠ Q
d) Q ⊄ (P ∩ Q)
Kasus-9
Jika X dan Y masing-masing adalah himpunan, dan X – Y = ∅, maka:
a) Kemungkinan X = Y
b) X ⊂ Y atau Y ⊃ X
Misalkan:
X = {-1,0,1,2,3} dan Y = {-3,-2,-1,0,1,2,3}
Maka: X – Y = ∅ dan X ⊂ Y
Namun jika: X = {-3,-2,-1,0,1,2,3} dan Y = {-3,-2,-1,0,1,2,3}
Maka: X – Y = ∅ dan X ⊂ Y atau Y ⊃ X
Kasus-10
Apabila X1 dan X2 adalah dua himpunan bagian dari suatu himpunan semesta S,
dimana X1’ dan X2’ adalah komplemen X1 dan X2, maka: [X1’∩(X1∪X2)]∪(X1∩X2)
= X2
Misalkan:
S = {-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
X1 = {-2,-1,2,3}
X2 = {2,3,4,5,6}
Maka: X1’ = {-7,-6,-5,-4,-3,0,1,4,5,6,7,8,9} dan
X2’ = {-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,7,8,9}
A = X1∩X2 = {2,3}
B = X1∪X2 = {-2,-1,2,3,4,5,6}
C = X1’∩B = {4,5,6}
Sehingga C ∪ A = A ∪ C = {2,3,4,5,6} adalah X2 ... ☺ terbukti!
Kasus-11
Apabila Himpunan semesta S={0,1,2,3,4,5,6,7,8}, X={1,3,5}, dan Y={2,4,6,8}, maka:
X’ = {0,2,4,6,7,8}
Y’ = {0,1,3,5,7}
Y’ – X = {0,7}
(X ∩ Y’) + X = ∅
(Y’ – X) ∩ Y = ∅
X’ ∩ Y’ = {0,7}