1. Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 1
LIMIT FUNGSI
a. Limit Fungsi Aljabar
Secara umum bentuk limit ditulis : (x)f
ax
lim

= f (a)
Jika f (a) = k, maka (x)f
ax
lim

= k
Jika f (a) =
k
0
, maka (x)f
ax
lim

= 0
Jika f (a) =
0
k
, maka (x)f
ax
lim

= ∞
Untuk menentukan nilai dari limit, x diganti dengan a (batas dari limit).
Contoh :
1. 54x
2x
lim 

= 4 . 2 + 5 = 13
2.
x
32x
3x
lim


=
3
33.2 
=
3
36 
=
3
9
= 3
3.
5x
54xx
1x
lim
2


= 0
5
0
5
541
)1(5
5)1(4)1( 2




4.
2x
43xx
0x
lim
2


= 





0
4
0
400
)0(2
4)0(3)0( 2
Jika (x)f
ax
lim

= 0 dan (x)g
ax
lim

= 0, sehingga
0
0
g(x)
f(x)
lim
ax


maka harus difaktorkan
atau diuraikan terlebih dahulu.
Contoh :
1.
2-x
23x-x
2x
lim
2


 substitusi langsung :
0
0
22
22.322



(tidak boleh)
2-x
23x-x
2x
lim
2


=
)2(
)2.....)((
lim
2x 

 x
xx
(perhatikan angka belakang : berapa kali (-2)
hasilnya (+2)  (-1))
2-x
23x-x
2x
lim
2


= 1-x
2)-(x
2)-(x.1)-(x
limlim 2x2x 
 = 2 – 1 = 1
2.
65xx
103xx
lim 2
2
2x 


= ....
Substitusi langsung :
6)2(5)2(
10)2(3)2(
2
2


=
6104
1064


=
0
0
(tidak boleh)
65xx
103xx
lim 2
2
2x 


=
2)(x(x.....)
2)(x(x.....)
lim
2x 


(perhatikan angka belakang : berapa kali (+2) hasilnya (-10) dan berapa kali (+2)
hasilnya (+6)  (-5) dan (+3))
65xx
103xx
lim 2
2
2x 


=
2)(x3)(x
2)(x5(x
lim
2x 


=
3)(x
5)(x
lim
2x 


=
32
52


=
1
7
= –7
3.
4x
64x
4x
lim
3



→ substitusi langsung :
44
6443


=
0
0
(tidak boleh)

2. Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 2
4x
64x
4x
lim
3



=
4)(x
16)4x(x.4)(x
4x
lim
2



= 16)4x(x
4x
lim 2


= 42
+ 4 . 4 + 16 = 16 + 16 + 16 = 48
4.
3x-x
6x5x-x
0x
lim 2
23


→ substitusi langsung :
0.30
0.60.50
2
23


=
0
0
(tidak boleh)
3x-x
6x5x-x
0x
lim 2
23


=
3)-(xx
6)5x-(xx
0x
lim
2


=
3)-(x
6)5x-(x
0x
lim
2


=
30
60.502


=
3
6

= –2
Jika (x)f
ax
lim

= 0 dan (x)g
ax
lim

= 0 dengan f(x) dan g(x) fungsi akar, sehingga
0
0
g(x)
f(x)
lim
ax


maka harus dikalikan dengan nilai satu dari faktor sekawannya.
(a + b)  sekawannya : (a – b) atau sebaliknya
(a – b)  sekawannya : (a + b)
Contoh :
1.
2x
2x
2x
lim



→ substitusi langsung :
22
22


=
0
0
(tidak boleh)
2x
2x
2x
lim



=
2x
2x
2x
lim



.
2x
2x


=
)2(x
)2x(.2)(x
2x
lim



= 2x
2x
lim 

= 2 + 2
= 2 2
2.
3
21
lim
3x 

 x
x
 substitusi langsung :
0
0
0
22
33
213





(tidak boleh)
3
21
lim
3x 

 x
x
=
3
21
lim
3x 

 x
x
.
21
21


x
x
=
)21)(3(
4)1(
lim
3x 

 xx
x
=
)21)(3(
)3(
lim
3x 

 xx
x
=
)21(
1
lim
3x  x
=
213
1

=
4
1
22
1


Jika 

f(x)lim
x
dan 

g(x)lim
x
, sehingga



 g(x)
f(x)
lim
x
maka harus dibagi dengan
pangkat tertinggi dari pembilang atau penyebutnya.
Contoh :
1.
3x4x-x
8-6x2x
23
2
x
lim 


 substitusi langsung :





.3.4
8.6.2
23
2
(tidak boleh)
f (x) atas dan bawah harus dibagi dengan pangkat tertinggi.
3x4x-x
8-6x2x
23
2
x
lim 


=
33
2
3
3
333
2
x
x
x3
x
x4
x
x
x
8
x
6x
x
2x
lim



=
2
32
x
x
3
x
4
1
x
8
x
6
x
2
lim




3. Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 3
= 0
1
0
00-1
0-00
34
1
862













2.
xxx
xxx
362
453
lim 23
23
x 


 substitusi langsung :
)(3)(6)(2
)(4)(5)(3
23
23


=


(tidak boleh)
xxx
xxx
362
453
lim 23
23
x 


=
33
2
3
3
33
2
3
3
462
453
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x



=
2
2
46
2
45
3
lim
x
xx
x
xx



=








36
2
45
3
=
002
003


=
2
3
Untuk menjawab soal pilihan ganda :
Untuk soal :
0
0
g(x)
f(x)
lim
0x


maka yang harus dilihat x pangkat terendahnya.
Jika ada diatas hasilnya = ∞, jika ada dibawah hasilnya = 0 dan jika atas dan bawah pangkat
terendahnya sama maka hasilnya lihat angka didepan x.
3x-x
6x5x-x
0x
lim 2
23


=
3
6

= -2
Untuk soal :



 g(x)
f(x)
lim
x
maka harus dilihat pangkat tertingginya
Jika diatas hasilnya = ∞, jika pangkat tertingginya dibawah hasilnya = 0 dan jika atas dan
bawah pangkat tertingginya sama maka hasilnya lihat angka di depan x.
3x4x-x
8-6x2x
23
2
x
lim 


=
1
0
= 0 ;
34x-3x
5x-7x3x
2
23
x
lim 


=
0
3
= ∞ ;
27x-2x
4x-6x3x
3
23
x
lim 


=
2
3
b. Limit Fungsi Trigonometri
1
xsin
x
x
xsin
limlim 0x0x


atau 1
axsin
ax
ax
axsin
limlim 0x0x


1
xtan
x
x
xtan
limlim 0x0x


atau 1
axtan
ax
ax
axtan
limlim 0x0x


Untuk bentuk yang lainnya, jika dimasukan langsung hasilnya
0
0
funsi f (x) harus diuraikan
dengan aturan rumus trigonometri.
Contoh :
1.
3x
5xsin
0x
lim

=
3x
5xsin
0x
lim

.
5
5
=
3
5
.
5x
5xsin
0x
lim

=
3
5
. 1 =
3
5
atau :
3x
5xsin
0x
lim

=
3
5

4. Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 4
2.
3xtan
4xsin
0x
lim

=
3xtan
4xsin
0x
lim

.
4x
4x
.
3x
3x
=
3x
4x
.
4x
4xsin
0x
lim

.
3xtan
3x
0x
lim

=
3
4
atau :
3xtan
4xsin
0x
lim

=
3
4
3.
sin xxcos
2xcos
4
x
lim

= oo
o
45sin45cos
45.2cos

= oo
o
45sin45cos
90cos

=
2
2
1
2
2
1
0

=
0
0
fungsi x harus diuraikan dengan aturan rumus trigonometri.
cos 2x = cos2
x – sin2
x = (cos x – sin x) (cos x + sin x)
sin xxcos
2xcos
4
x
lim

=
sin x)x(cos
sin x)x(cossinx)x(cos
4
x
lim



= sin x)x(cos
4
x
lim 

= cos 45o
+ sin 45o
=
2
1
2 +
2
1
2 = 2
4.
sin x5x
2xcos1
lim
0x


 substitusi langsung :
0
0
0.0
11
0sin).0(5
0cos1




o
o
(tidak boleh)
f(x) harus diuraikan dengan menggunakan rumus trigonometri
sin x5x
2xcos1
lim
0x


=
sin x5x
x)2sin(11
lim
2
0x


 cos 2x = 1 – 2sin2
x
=
sin x5x
x2sin11
lim
2
0x


=
sin x5x
x2sin
lim
2
0x 
=
sin x
sin x
lim.
x
sin x
lim
5
2
0x0x 
=
5
2
. 1 . 1
=
5
2
Pembahasan soal-soal :
1.
3-x
27x
lim
3
3x


= ….
A. 9 B. 12 C. 18 D. 21 E. 27
UN 03/04
Jawab : E
Penyelesaian :
3-x
27x
lim
3
3x


=
3)-x(
3)-(x.9)3x(x
lim
2
3x


= 9)3x(xlim 2
3x


= 32
+ 3 . 3 + 9
= 9 + 9 + 9
= 27
atau dengan cara diturunkan.
3-x
27x
lim
3
3x


=
1
3x
lim
2
3x 
= 3 . 32
= 3 . 9
= 27
2.
2x85x
5x103x
lim 3
3
x 


= ….

5. Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 5
A.
5
2
B.
5
3
C.
3
5
D.
2
5
E. ∞
UN 03/04
Jawab : B
Penyelesaian :
2x85x
5x103x
lim 3
3
x 


=
333
3
333
3
x
x
2
x
8x
x
5x
x
5
x
x10
x
3x
lim



=
32
32
x
x
2
x
8
5
x
5
x
10
3
lim



=








 28
5
510
3
lim
x
=
005
003


=
5
3
atau dengan cara langsung, yaitu jika atas dan bawah pangkat tertingginya sama maka lihat
angka didepan x pangkat tertinggi
2x85x
5x103x
lim 3
3
x 


=
5
3
3.
2x
23xx
lim
2
2x 


= ….
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 
UN 04/05
Jawab : A
Penyelesaian :
2x
23xx
lim
2
2x 


=
2x
23xx
lim
2
2x 


.
2x
2x


=
2)(x
2x1)(x2)(x
lim
2x 


= 2x1)(xlim
2x


= (2 – 1) . 22 
= 1 . 0
= 0
4. 20x 5x
2xcos1
lim


= ….
A.
2
5
B.
2
3
C.
3
2
D.
5
2
E. 
UN 04/05
Jawab : D
Penyelesaian :

6. Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 6
20x 5x
2xcos1
lim


= 2
2
0x 5x
x)sin2(11
lim


= 2
2
0x 5x
xsin2
lim

=
5
2
.
x
sin x
lim
0x 
.
x
sin x
lim
0x 
=
5
2
. 1 . 1
=
5
2
5. Nilai dari
74xx
52x3x2x
lim 3
23
x 


= ….
A. 0 B.  C. 2 D. 3 E. 4
UN 05/06
Jawab : C
Penyelesaian :
Untuk limit dengan batas x  , yang harus diperhatikan adalah pangkat tertingginya.
74xx
52x3x2x
lim 3
23
x 


=
1
2
= 2
6. 2xcotg.2xsin4lim
0x 
= ….
A.  B. –1 C. 0 D. 2 E. 4
UN 05/06
Jawab : E
Penyelesaian :
2xcotg.2xsin4lim
0x 
 cotg 2x =
2xsin
2xcos
2xsin
2xcos
.2xsin4lim
0x 
= 2xcos4lim
0x 
= 4 . cos 0o
= 4 . 1
= 4
7. Nilai 2
2
x 2x
2xx
lim


= ....
A. 0 B.
2
1
C. 1 D. 2 E. 
UN 07/08
Jawab : B
Penyelesaian :
Untuk limit dengan batas tak terhingga, jika pangkat tertinggi antara atas dan bawah sama
maka lihat angka yang ada di depan pangkat tertinggi.
2
2
x 2x
2xx
lim


=
2
1
8. Nilai
3xsin.x
4xtan.3x
lim 2
2
0x 
adalah ....
A. 4 B. 2 C.
3
5
D.
3
4
E.
3
1
UN 07/08

7. Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 7
Jawab : D
Penyelesaian :
3xsin.x
4xtan.3x
lim 2
2
0x 
=
3xsin
3x
lim
0x 
.
3xsin
x
lim
0x 
.
x
4xtan
lim
0x 
=
3xsin
3x
lim
0x 
.
3xsin
x
lim
0x 
.
3
3
.
x
4xtan
lim
0x 
.
4
4
=
3
4
.
3xsin
3x
lim
0x 
.
3xsin
3x
lim
0x 
.
4x
4xtan
lim
0x 
=
3
4
. 1 . 1 . 1
=
3
4
Soal latihan :
1.
2
4
lim
2
2x 

 x
x
= ….
A. -2 B. 0 C. 4 D. 6 E. 8
2. Nilai dari
42x
162x3x
lim
2
2x 


= ….
A. 7 B. 6 C. 4 D. 2 E. 0
3.
63x
145xx
lim
2
2x 


= ….
A. –3 B. –
3
4
C. 2 D. 6 E. 9
4.
16
4
lim ....
16x
x
x



A.
8
1
B.
4
1
C.
2
1
D. 4 E. 8
5.
21x
62x
lim
3x



= ....
A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 E. 
6.
x
x



3
9
lim
9x
= ….
A. 9 B. 6 C. 3 D. 1 E. 0
7.
2
2
(2 3) ( 4)
lim ....
(4 3)(2 1)x
x x
x x
 

 
A. 4 B. 2 C.
4
3
D.
2
1
E.
3
1
8.
)14(2
)13(
lim 2
3
x 

 xx
x
= ….
A.
8
3
B.
4
3
C.
2
3
D.
8
27
E. 3
9.
4x3x5
2x3x2
3
23
~x
lim



= ....
A.
5
7
B.
5
4
C.
5
3
D.
5
2
E.
5
1
10. Nilai dari 32
23
4x2x8
3x5x2x
lim
x 


= ....

8. Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 8
A. –
2
5
B. –
2
1
C. 0 D.
4
1
E. 
11. Nilai dari
sin x4x
1-2xcos
lim
0x 
= ….
A.
2
1
 B.
4
1
 C. 0 D.
4
1
E.
2
1
12. xtg.xcos2lim
2
x


= ....
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. 
13. 2
0x x2
1x2cos
lim


= ….
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2
14.
sin xxcos
2xcos
lim
4
x


= ….
A.
2
1
2 B. 2 C. 2 D. 2 2 E. 
15. xcos.tan x2lim
2
x


= ….
A.  B. 2 C. 1 D. 0 E. –1
16. Nilai dari
sin x4x
2xcos-1
lim
0x 
= ….
A.
2
1
 B.
4
1
 C. 0 D.
4
1
E.
2
1
17.
82xx
4x
lim 24x 


= ….
A.
8
1
B.
6
1
C.
4
1
D.
3
1
E.
2
1
18.
12xx
37x2x
lim 2
2
3x 


= ….
A.
3
5
B.
7
5
C.
5
2
D. –
5
2
E. –
3
5
19.
213x
22x
lim
1x



= ….
A.
3
2
B. 1
3
2
C. 2
3
1
D. 2
3
2
E. 3
3
1
20.
35x2x
45xx
lim 2
2
0x 


= ….
A.
3
4
B. 1 C.
2
1
D. –
2
1
E. –
3
4