Teori himpunan

749 views

Published on

this article describes about the basic of set theory with MATLAB application

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
749
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
15
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Teori himpunan

  1. 1. 1 Teori Himpunan Dosen: Ir. Sihar, M.T. Fak. Teknologi Informasi Bandung 2012 Referensi: [1]. Chapman, S.J. Matlab Programming for Engineers. Bookware Companion Series. Thomson-Engineering. 2001. [2]. Hunt, B.R., etc. A Guide to Matlab for Beginners and Experienced Users. Cambride University Press. 2001. [3]. Shen, A., Vereschagin, N.K. Basic Set Theory. American Mathematical Society. 2002 [4]. Simangunsong, W. Matematika Dasar. Penerbit Erlangga. 1998. [5]. Weinstein, G. Advanced Calculus. 1999. Himpunan adalah sekumpulan elemen-elemen yang memiliki sifat yang sama. Misalkan: A = {a, e, i, o, u} disebutkan bahwa A adalah himpunan yang beranggotakan huruf vokal. Dalam script Matlab dituliskan sbb: >> A=['a ' 'e ' 'i ' 'o ' 'u']; >> A A = a e i o u >> Sepintas dapat disebutkan bahwa A merupakan larik yang berisikan elemen- elemen data tipe karakter (‘char’); atau A juga dapat disebutkan matriks dengan elemen 1 x 5, yakni 1-baris, 5-kolom. Misalkan: A1 = [1 2 3] A2 = ൥ 1 2 3 ൩ Maka, Jika A1 x A2 didapatkan: [ሺ1‫1ݔ‬ሻ + ሺ2‫2ݔ‬ሻ + ሺ3‫3ݔ‬ሻ] = 14 Dituliskan dalam script Matlab sbb: >> clear all >> A1=[1 2 3]; >> A2=[1;2;3]; >> A1*A2 ans =
  2. 2. 2 14 >> Contoh himpunan yang lain: mahasiswa = {‘Khoe Jie’,’Wita’,’Nora’,’Suze’} Integer = {1,-1,4,10,31} Larik (array) dinyatakan dalam dimensi-1 dan dimensi-2, jika dimensi-1 relatif tergolong sebuah himpunan; sedangkan dimensi-2 disebut dengan matriks. Misalkan: Z = {1,3,5} ⇒ matriks dengan dimensi 1x3 yakni: 1-baris dan 3-kolom; Jika dituliskan dalam script Matlab sbb: >> Z=[1,3,5]; >> Z Z = 1 3 5 Dengan kata lain, jika dituliskan sbb: >> clc %hapus layar >> clear all %hapus semua variabel >> Z(1,2) %menampilkan baris-1, kolom-2 ans = 3 >> Selanjutnya dapat dijelaskan juga melalui script berikut ini: >> A1=[1;-1;2]; >> A1 A1 = 1
  3. 3. 3 -1 2 >> size(A1) %mendapatkan informasi dimensi matriks A1 ans = 3 1 Hasilnya menjelaskan bahwa A1 matriks dengan dimensi 3x1, yakni: 3-baris, 1- kolom. >> A2=[1,-1,2]; >> A2 A2 = 1 -1 2 >> size(A2) %mendapatkan informasi dimensi matriks A2 ans = 1 3 >> Hasilnya menjelaskan bahwa A2 matriks dengan dimensi 1x3, yakni: 1-baris, 3- kolom. Matriks yang terdiri dari single-column disebut dengan vector. Misalkan: A1 = ൥ 1 −1 2 ൩ Dalam script Matlab dapat dituliskan sbb: >> A1=[1;-1;2]; >> A1 A1 = 1 -1 2 >> Di sisi lain bisa disebutkan himpunan Z yang terdiri dari: • n(Z) = 3 • jumlah himpunan bagian Z = 23 = 8, yaitu: ∅, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5}, {1,3,5} Suatu array yang beranggotakan sbb: Z[0] = 1; Z[1] = 3; Z[3] = 5; Dituliskan dalam script Matlab sbb:
  4. 4. 4 Misalkan: Z1 = ൥ 1.2 0.4 ߨ 1 −1 0 0 1.75 2 ൩ Maka, a) Untuk mendapatkan dimensi Z1: >> Z1=[1.2,0.4,pi;1,-1,0;0,1.75,2]; >> Z1 Z1 = 1.2000 0.4000 3.1416 1.0000 -1.0000 0 0 1.7500 2.0000 >> size(Z1) ans = 3 3 >> b) Untuk mendapatkan nilai Z123 >> Z1(2,3) ans = 0 >> c) Jika 2.Z1, maka didapatkan: >> 2*Z1 ans = 2.4000 0.8000 6.2832 2.0000 -2.0000 0 0 3.5000 4.0000 >> Himpunan Semesta adalah himpunan yang terdiri dari sejumlah himpunan bagian dan bersifat universal dalam hal kesamaan status, tempat, karakteristik, dan tujuan. Disimbolkan dengan S atau U. Misalkan diperlihatkan pada Diagram Venn berikut:
  5. 5. 5 maka, S = A1 ∪ A2 dan A1 ∈ S ; A2 ∈ S Himpunan Bagian, merupakan sejumlah anggota kumpulan yang dikelompokkan dalam sifat yang sama dan dituliskan dengan simbol ‘⊂’. Misalkan: A = {-1, 6, గ ଶ , 4.5, -3} , maka yang dimaksud dengan himpunan bagian adalah: { } ⊂ A ; {-1} ⊂ A ; {6} ⊂ A ; { గ ଶ } ⊂ A ; {4.5} ⊂ A ; {-3} ⊂ A ; {-1,6} ⊂ A ; {-1, గ ଶ } ⊂ A ; {-1,4.5} ; {-1,-3} ⊂ A ; {6, గ ଶ } ⊂ A ; {6,4.5} ⊂ A ; {6, -3} ⊂ A ; { గ ଶ ,4.5} ⊂ A ; { గ ଶ ,-3} ⊂ A ; {4.5-,3} ⊂ A ; {-1,6, గ ଶ } ⊂ A ; {-1,6,4.5} ⊂ A ; {-1,6,-3} ⊂ A ; dst. Dirumuskan banyak himpunan bagian A sebanyak: 2n(A) dimana n(A) = jumlah elemen A yakni 5. Sehingga jumlah himpunan bagian dari A = 32 Dalam script Matlab untuk mendapatkan jumlah elemen himpunan dapat dicari sbb: >> A=[-1,6,pi,4.5,-3]; >> A A = -1.0000 6.0000 3.1416 4.5000 -3.0000 >> length(A) %mendapatkan informasi jumlah anggota larik/himpunan ans = 5 >> Jika himpunan bagian sebanyak 3 anggota dari A, maka jumlahnya diketahui sbb: {x,yz} ⇒ ହ! ଷ!ሺହିଷሻ! = ହ! ଷ! = ହ௫ସ௫ଷ ଷ௫ଶ௫ଵ = 10 Dirumuskan: ‫ܣ‬௠ ௡ = ௡! ௠!ሺ௡ି௠ሻ! ; dimana n: jumlah elemen himpunan bagian dan m: jumlah elemen dari himpunan bagian yang dicari/ditetapkan. Contoh lain: Z = {-3,2,4,12} Jumlah elemen = n(Z) = 4 Jumlah himpunan bagian = 24 = 16 Jumlah himpunan Misalkan: A={a,e,i,o,u} digambarkan dalam Diagram Venn sbb:
  6. 6. 6 S merupakan himpunan semesta, dan A merupakan himpunan bagian dari S, dan a,e,i,o,u adalah anggota himpunan dari A. Himpunan Ekivalen, jika jumlah anggota himpunan A sama dengan jumlah anggota himpunan B, dan anggotanya masing-masing sama; maka disebutkan A dan B adalah himpunan ekivalen, dan dapat dituliskan sbb: n(A) = n(B) Contoh: A={x,y,z} B={x|3≤x≤5 ; x∈A} C={x|1≤x≤3 ; x∈ℜ} Maka, n(A) = n(B) → A ≅ B Misalkan A,B,C, dst adalah himpunan; dan a,b,c, ... atau x,y,z... adalah anggotanya, maka: b ∈ A jika b elemen dari A, dan B ∈ A, jika masing-masing A dan B adalah himpunan dan B elemen dari A; dan disebutkan c ∉ A, jika c bukan elemen dari A, dan merupakan ∅ ∈ A atau suatu himpunan. Himpunan Ekivalen memenuhi kriteria apabila n(A) = n(B), misalkan: A = {-1,6,5,4,1.2} dan B = {2x,π,-1,7,x3} Maka, n(A) = n(B) = 5 Jika A, B, dan C adalah himpunan, maka dapat dibangun relasi sbb: (A ∩ B) ∪ C ⇔ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) Misalkan: A = {1,-a,12} B = {-1,12,-a,7} C = {1,-1,3a,8,21,s1,12} maka, z = A ∩ B = {-a,12} dan z ∪ C = {1,-1,3a,8,21,s1,12,-a} z1 = A ∪ C = {1,-a,12,-1,3a,8,21,s1} z2 = B ∪ C = {-1,12,-a,7,1,3a,8,21,s1} sehingga, z1 ∩ z2 = {-a,12,-1,3a,21,s1,1,8} Terbukti! (A ∪ B) ∩ C ⇔ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) Misalkan: A = {1,-a,12,3} B = {-1,12,-a,3,7} C = {1,-1,3a,8,21,s1,12}
  7. 7. 7 maka, z = A ∪ B = {1,-1,-a,12,3,7} dan z ∩ C = {1,-1,12} z1 = A ∩ C = {1,12} z2 = B ∩ C = {-1,12} sehingga, z1 ∪ z2 = {1,12,-1} Terbukti! Pernyataan Notasi Misalkan: {x|x adalah Bilangan Asli dan x<8} maka dapat disebutkan dan dibaca sbb: “untuk semua himpunan x, disebutkan bahwa x adalah Bilangan Asli dan x<8” Contoh lain: {x|x adalah karakter dari alpabetikal Jawa} maka dapat disebutkan dan dibaca sbb: “untuk semua himpunan x, disebutkan bahwa x adalah karakter dari alpabetikal Jawa” Contoh yang lain: {y|y adalah seorang mahasiswa UNIBBA dan y berumur lebih muda 25 th.} maka dapat disebutkan dan dibaca sbb: “untuk semua himpunan y, disebutkan bahwa y adalah seorang mahasiswa UNIBBA dan y berumur lebih muda 25 th.” Oleh sebab itu jika dinyatakan dalam sebuah kasus sbb: Asumsi bahwa y1 menyatakan umur dan y2 menyatakan mahasiswa UNIBBA dimana angka 25 merepresentasikan ‘mahasiswa UNIBBA’. Maka jika dituliskan dalam script MATLAB dapat ditunjukkan sbb: y1=30; y2=25; %asumsi nilai 25 menyatakan mhs UNIBBA if(y1<=25&&y2==25) disp('Himpunan y'); else disp('Bukan himpunan y'); end Hasilnya: Bukan himpunan y Jika diganti y1=20, maka hasilnya: Himpunan y Hint: Tuliskan dalam M-files (editor Matlab), dan jalankan dengan meng-klik: Run pada M-files, dan hasilnya ditampilkan pada command-line pada Matlab. Aturan recursive Misalkan Himpunan E beranggotakan bilangan genap lebih besar dari 3, maka dapat disebutkan bahwa: a) 4 ∈ E b) Jika x ∈ E, maka x+2 ∈ E c) Tidak ada satupun nilai anggota E Artinya: Statement a merupakan aturan pokok yang telah terdefinisikan sesuai dengan rules; statement b merupakan derivatif dari a untuk pokok turunan berikutnya
  8. 8. 8 dari rules pokok yang telah terdefinisi; sedangkan statement c merupakan kriteria dan nilai lain di luar a dan b. Oleh sebab itu dapat disimpulkan bahwa himpunan pokok hasil adalah tiga luaran, yakni: pokok uraian, turunan dari pokok uraian, dan nilai di luar pokok uraian dan turunan dari pokok uraian. Power sets Seperti telah disebutkan sebelumnya, bahwa jika disebutkan Himpunan A={a,b} maka: Power sets A, atau jumlah himpunan bagian A adalah dinotasikan dengan ℘(A) atau dituliskan juga dengan 2n(A). Sehingga dapat disebutkan bahwa: n(A) = 2, sehingga ℘(A) = 4, dibuktikan sbb: Himpunan Bagian A, dituliskan ‘⊂’. Bedakan ‘member-of’ dan ‘subset of’. A={a,b} ℘(A) = {∅,{a},{b},{a,b}} Sehingga: a∈A ; {a}∈℘(A) ; {a}⊂A ; ∅⊂A ; ∅∉A ; ∅∈℘(A) ; ∅⊂℘(A) Mendapatkan selisih Jika A1 dan A2 masing-masing himpunan, maka: A1 – A2 = {x|x∈A1 dan x∉A2} sehingga, apabila diketahui masing-masing himpunan tsb adalah sbb: A1 = {k,o,e} A2 = {k,o,l,0,t} maka, A1 – A2 = {e} dan n(A1 – A2) = n(A1) – n(A1∩A2) ; n(A1∩A2) = 2 = 3 – 2 = 1 ∴jika X ⊂ Y dan Y ⊂ Z, maka X ⊂ Z Komplemen (Negasi) Jika Z={-2,3,0,9,b2,z1,33} dan A={3,0,9} maka A ∈ Z dan sekaligus A ⊂ Z, sehingga ‫ܣ‬̅ = {-2,b2,z1,33} A ∪ ‫ܣ‬̅ = Z ; dan A ∩ ‫ܣ‬̅ = ∅ Oleh sebab itu: A – ‫ܣ‬̅ = ‫ܣ‬̅ – A= ∅ Sehingga, n(A) + n(‫ܣ‬̅) = n(Z) n(A), n(‫ܣ‬̅), n(Z) disebut Bilangan Kardinal Kasus-1 Apabila X1={2,4} ; X2={2,4,11} ; X3={2,4,11,12,14} maka, (X1∪X2)∩X3 adalah sbb: Jika X = X1∪X2 = {2,4,11} ; X∩X3 = {2,4,11} Kasus-2 Jika X1={x|-2 < x <10} dan X2={x|5 ≤ x ≤12} ; x∈ℜ maka: X1 = {-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ; X2 = {5,6,7,8,9,10,11,12} a) X1 – X2 = {-1,0,1,2,3,4}
  9. 9. 9 b) X2 – X1 = {10,11,12} c) X1 + X2 = {-1,0,1,2,3,4,10,11,12} d) X1 ∩ X2 = {5,6,7,8,9} e) n(X1) – n(X2) = 11 – 8 = 3 Kasus-3 A={1,2,3,4,5} B={1,3,5,7,9} C={6,7,8,9} D={2,4,6,8} Maka: A ∩ D = {2,4} Apakah A ∪ C = B ∪ D, dibuktikan sbb: A ∪ C = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} B ∪ D = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Terbukti ☺ Kasus-4 Jika S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} merupakan himpunan semesta X1={x|x∈Bilangan Genap} X2={ x|x∈Bilangan Prima} A={2,3,4,5} ; jika A’ adalah komplemen A Maka: X1 = {2,4,6,8,10} X2 = {2,3,5,7} sehingga, X1 ∩ X2 = bukan himpunan kosong X2 ∩ A’ = {7} (X2 ∪ A) = {2,3,4,5,7} (X2 ∪ A)’ = {6,8,9,10} Kasus-5 Jika diketahui X1={x|0≤x<1} dan X2={y|y<7 ; y∈Bilangan Bulat} Maka: X1∩X2 = {0} dibuktikan sbb: X1 = {0} X2 = {...,-1,0,1,2,3,4,5,6} Kasus-6 Apabila A={x|x2 – 2x – 3 ≤ 0} dan B={x| x2 – 2x > 0}, maka: x2 – 2x – 3 = (x-3)(x+1) ; x=3 ∪ x=-1 ; -1≤ x ≤3 A = {-1,0,1,2,3} x2 – 2x = x(x-2) ; x=0 ∪ x=2 ; x<0 ∪ x>2 B = {...-2,-1,3,4,5,...} A – B = {0,1,2} Kasus-7 Apabila S adalah himpunan Semesta, X1={x|x2 – 3x – 10 <0} dan X2={x||x|>2} dimana B’ menyatakan komplemen B, maka: x2 – 3x – 10 = (x-5)(x+2) ; x=5 ∪ x=-2 ; -2< x <5 X1 = {-1,0,1,2,3,4} |x|>2 ; x<-2 ∪ x>2
  10. 10. 10 X2 = {...,-5,-4,-3,3,4,5,...} X2’ = {-2,-1,0,1,2} X1 ∩ X2’ = {-1,0,1,2} Bisa dinyatakan dengan: a) -1 ≤ x ≤ 2 b) -2 < x ≤ 2 c) -2 < x < 3 d) -1 ≤ x < 3 Kasus-8 P = {0,1,2,3} Q = {0,1,-1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6} Maka: a) P ⊂ Q dan P ≠ Q b) P ∪ Q ≠ P c) P ∩ Q ≠ Q d) Q ⊄ (P ∩ Q) Kasus-9 Jika X dan Y masing-masing adalah himpunan, dan X – Y = ∅, maka: a) Kemungkinan X = Y b) X ⊂ Y atau Y ⊃ X Misalkan: X = {-1,0,1,2,3} dan Y = {-3,-2,-1,0,1,2,3} Maka: X – Y = ∅ dan X ⊂ Y Namun jika: X = {-3,-2,-1,0,1,2,3} dan Y = {-3,-2,-1,0,1,2,3} Maka: X – Y = ∅ dan X ⊂ Y atau Y ⊃ X Kasus-10 Apabila X1 dan X2 adalah dua himpunan bagian dari suatu himpunan semesta S, dimana X1’ dan X2’ adalah komplemen X1 dan X2, maka: [X1’∩(X1∪X2)]∪(X1∩X2) = X2 Misalkan: S = {-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} X1 = {-2,-1,2,3} X2 = {2,3,4,5,6} Maka: X1’ = {-7,-6,-5,-4,-3,0,1,4,5,6,7,8,9} dan X2’ = {-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,7,8,9} A = X1∩X2 = {2,3} B = X1∪X2 = {-2,-1,2,3,4,5,6} C = X1’∩B = {4,5,6} Sehingga C ∪ A = A ∪ C = {2,3,4,5,6} adalah X2 ... ☺ terbukti! Kasus-11 Apabila Himpunan semesta S={0,1,2,3,4,5,6,7,8}, X={1,3,5}, dan Y={2,4,6,8}, maka: X’ = {0,2,4,6,7,8} Y’ = {0,1,3,5,7} Y’ – X = {0,7} (X ∩ Y’) + X = ∅ (Y’ – X) ∩ Y = ∅ X’ ∩ Y’ = {0,7}

×