Slide Presentasi Matriks kelas x, cocok buat guru maupun pelajar silahkan didownload, di share di edit, jika ada pertayaan dan kritik silahkan memberi komentar atau kirim via email.
2. PETA KONSEP
MATRIKS
Pengertian,
Notasi, Ordo
dan Jenis
matriks
Pengertian
dan notasi
suatu matriks
Ordo dari
jenis matriks
Operasi Matriks
dan Sifat-Sifat
Operasi Matriks
Determinasi
Matriks
Penjumlahan
dua matriks
Pengurangan
dua matriks
Perkalian
matriks dengan
skalar (k)
Perkalian dua
matriks
Invers Matriks
Persegi
Determinasi
matriks
persegi 2x2
Determinasi
matriks
persegi 3x3
Sifat-sifat
determinasi
matriks
persegi
Adjoin dari matriks
persegi
Rumus invers
matriks persegi
berordo 2 dan 3
Sifat-sifat invers
matriks persegi
Persamaan
matriks berbentuk
AX = B dan XA=B
Dua matriks saling
invers
3. 4.1 Pengertian, Notasi, Ordo, dan Jenis Matriks
4.1.1 Pengertian dan Notasi Suatu Matriks
Definisi matriks
Matriks adalah suatu susunan elemen-elemen (bilangan atau huruf)
berbentuk persegi atau persegi panjang yang diatur pada baris dan
kolom serta ditempatkan dalam tanda kurung (kurung biasa atau kurung
siku)
Bentuk umum matriks
A =
๐11 ๐12
๐21 ๐22
โฏ
๐1๐
๐2๐
โฎ โฎ โฎ โฎ
๐1๐ ๐๐2 โฏ ๐๐๐
baris ke-1
baris ke-2
baris ke-i
kolom ke-1 kolom ke-2 kolom ke-j
4. Jika kitaperhatikanbentukumum di atas, makadapatdisimpulkanbahwa:
(i) ๐11 , ๐12,โฆ,๐๐๐merupakanelemen-elemenmatriksA.
(ii) BanyakbarispadamatriksAdan๐ buah, danbanyakkolompadamatriksAdanjbuah.
(iii) BentukmatriksAdapat pula ditulissebagaiA=(๐๐๐),
dengan๐menunjukkanletakbarisdan๐menunjukkanletakkolom.
Contoh 3
Diberikan matriksA=
2 1 3
4 5 6
0 1 2
.
Hitunglah:
a. ๐11 + ๐22+ ๐33 c. ๐12 + ๐13+ ๐23
b. ๐31 + ๐22+ ๐13 d. ๐21 + ๐31+ ๐32
Jawab:
a. ๐11 + ๐22+ ๐33 = 2+5+2=9
b. ๐31 + ๐22+ ๐13= 0+5+3=8
c. ๐12 + ๐13+ ๐23 = 1+3+6=10
d. ๐21 + ๐31+ ๐32= 4+0+1=5
5. 4.1.2 Ordo dan Jenis Matriks
A. Ordo suatu matriks
Ordo matriks= Banyak baris x Banyak kolom.
Contoh 4
Tentukan ordodanbanyakelemendarisetiapmatriksberikut.
a. A=
0 4
2 10
Jawab :
A=
0 4
2 10
๏ฑ BanyakbarispadamatriksAadalah 2
danbanyakkolompadamatriksAadalah 2,
haliniberartiordoatauukuranmatriksAadalah 2x2 (dibaca โdua kali
duaโ). MatriksA yang berordo 2x2, ditulissebagaiA2x2 atauA2.
๏ฑ BanyakelemenmatriksA2adalah 4 buah.
6. B. Jenis matriks
1. Matriks baris
Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu
baris.
โข A =(2 1) merupakan matriks baris dengan dua elemen dan
ditulis sebagai A1x2 = (2 1):
2. Matriks kolom dan matriks lajur
Matriks kolomadalahmatriks yang hanyamempunyaisatukolom.
โข Q
=
3
1
0
merupakanmatrikskolomdengantigaelemendanditulisseba
gaiQ Q3x1 danditulissebagaiQ 3x1 =
3
1
0
12. 9. Matriks nol
Matriks noladalahsuatumatriks yang semuaelemennya nol.
Contohmatrikssegitigaatas.
03x3 = 03=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
10. Lawan suatu matriks
Lawan suatuamatriksadalahmatriks yang elemen-
elemennyamerupakanlawantandadarimatriksawal. Lawanmatriksawal.
LawanmatriksAdinotasikansebagai โA.
A3x2 =
2 1
4 โ5
โ3 0
, makalawanA = -A = =
โ2 โ1
โ4 5
3 0
11. Transpose matriks (At)
Transpose matriks A sering ditulis sebagai . At atau Aโ . Trnaspose
matriks yang diperoleh dengan cara menukar elemen pada setiap baris
matriks A menjadi elemen pada setiap kolom matriks transposenya.
Amxn= (๐๐๐), makaAt
mxn = (๐๐๐)
dengan๐ โ ๐.
13. 12. Matriks simetris atau matriks setangkup
Matriks persegi A berordo n disebut matriks simetris ataau matriks
setangkap jika dan hanya jika elemen-elemen yang letaknya simetris
terhadap diagonal utama bernilai sama, secara matematis ditulis:
๐๐๐ = ๐๐๐ untuk ๐ โ ๐.
Contoh 6
Diketahui A =
2 1 3
1 5 7
3 7 6
. ApakakahmatriksA simetris?
Jawab:
Dari matriksAdiperoleh:
At=
2 1 3
1 5 7
3 7 6
Hal iniberartiA=At , sehinggamatriksAdisebutsimetrisatausetangkup.
14. 4.1 Kesamaan Dua Matriks
Dua matriksA = ๐๐๐ danB= ๐๐๐ dikatakansama (A = B),
jikadanhanyajikakeduamatriksitumempunyaiordo yang
samadanelemen-elemen yang
seletakdarikeduamatriksitujugasama.
Contoh 8
Tentukan nilai๐ dan ๐ yang
memenuhikesamaanmatriksberikutini!
2๐ โ 1 โ3
1 2 โ 3๐
. =
3 โ3
1 โ7
.
Jawab:
Berdasarkanketentuankesamaanduamatriks, diperoleh:
2๐ โ 1= 3, maka๐= 2
2 โ 3๐= -7, maka๐= 3
Jadi, nilai๐ dan ๐berturut-berturutadalah 2 dan 3
15. 4.3 Operasi Matriks dan Sifat-Sifat Operasi
Matriks
4.3.1 Penjumlahan Dua Matriks
Dua buahmatriksA = ๐๐๐ berordo
๐ x ๐danmatriksB= (๐ ๐๐)
berordo๐ x๐กdapatdijumlahkanapabila :
(i) OrdomatriksA = ordomatriksB, haliniberarti๐ = s
dan ๐ = t.
(ii) A + B = ๐๐๐ + (๐ ๐๐), untuksetiap๐ = ๐ dan ๐ = ๐
16. Contoh 11
Diberikan A=
4 2 1
3 2 1
, B=
3 5 2
1 2 3
, danC =
2 0
1 0
. Tentukan:
a. A + B b. A + C c. B + C
Jawab:
a. A + B =
4 2 1
3 2 1
+
3 5 2
1 2 3
=
4 + 3 2 + 5 1 + 2
3 + 1 2 + 2 1 + 3
โดA + B =
7 7 3
4 4 4
b. Berdasarkan memo, ordo (A) โ ordo (C) sehinggaA + C
tidakterdefinisi.
c. Berdasarkanmemo, ordo(B) โ ordo (C) sehinggaB + C
tidakterdefinisi
17. Sifat-Sifat Penjumlahan Matriks
Misalkan A, B, C dan O adalah matriks-matriks
yang berordo sama, maka dalam penjumlahan
matriks selalu berlaku sifat-sifat berikut.
(i) Sifat komutatif : A + B = B + A
(ii) Sifat asosiatif : (A + B) + C = A + (B + C)
(iii)Sifat identitas : A + O = O + A
(iv) Lawan matriks : A + (-A) = (-A) + A = O
18. 4.3.1 Pengurangan Dua Matriks
Dua buahmatriksA = ๐๐๐ berordo
๐ x ๐danmatriksB= (๐ ๐๐)
berordo๐ x๐กdapatdilakukanoperasipengurangan
(selisih) apabila :
(i) OrdoA = ordoB, (๐ = s dan ๐ = t).
(ii) A - B = ๐๐๐ - (๐ ๐๐), untuksetiap๐ = ๐ dan ๐ = ๐
20. 4.3.3 PerkalianMatriksdenganSkalar (๐)
Jumlahdari๐buahmatriksA adalahsebuahmatriks yang
berordosamadenganA danmasing-masingelemennyaberupa๐ kali
setiapelemendarimatriksA.
Contoh 16
Diketahui matriks-matriks: A=
1 1
1 0
, B=
1 โ1
1 1
, danC =
2 1
1 2
.
Tentukanlah : a. T(A ,B, C)
Jawab:
a. T(A ,B, C) = 2A โ 5B + 3C
=
2 2
2 0
-
5 โ5
5 5
+
6 3
3 6
โด T(A ,B, C) =
3 10
0 1
21. Sifat-Sifat Perkalian Matriks dengan Skalar
JikamatriksAdanB berordom xndanr, s
โbilangan real, maka:
(i) (r+s) A= rA + sA
(ii) r(A+B) = rA + rB
(iii) r(sA) = (r . s)A
(iv) 1 . A = A . 1 = A
(v) (-1) A= A(-1)= -A
24. Contoh 20
Diketahui B=
3
7
, danC =
2 1
6 3
. Tentukanlah:
d. C x B
Jawab:
d. C x B denganordoC= 2 x 2 danordoB = 2 x 1, perkalianmatriksdapatdilakukan,
yaitu:
C x B =
1 2
6 3
.
โ3
7
=
โ3 + 14
โ18 + 21
=
11
3
Contoh 21
Jika A =
2 1
0 3
. Tentukanlah:
a. A2
Jawab:
a. A2 = A + A
=
2 1
0 3
.
2 1
0 3
=
4 + 0 2 + 3
0 + 0 0 + 3
โดA2 =
4 5
0 9
25. 4. Sifat-sifat perkalian matriks
Jika perkalianmatriksterdifinisi,
makaakanmemenuhiketentuanberikutini.
(i) Tidakkomukatif: AB โ BA
(ii) Asosiatif : AB (C) = A(BC)
(iii) Distributifkiri: A(B โ ๐ถ) = AB โ AC
(iv) Distributifkanan: (AยฑB)C = AC โ BC
(v) Identitas: A.I = I . A = A
(vi) ๐ (A.B) = (๐๐ด). B =A . (๐๐ต), dengan๐bilangan real
(vii)A . B = A . C, umumnyaB โ C
(viii)A . O = O . A =O
26. Contoh 23
Tentukan nilai๐ฅ dan ๐ฆpadasetiappersamaanberikut:
b. M=
3 โ1
2 5
sehinggaM2 - ๐ฅ M - ๐ฆ ๐
Jawab:
b. M2 = M x M =
3 โ1
2 5
.
3 โ1
2 5
=
7 2
โ4 23
M2 - ๐ฅ M - ๐ฆ ๐ = O M2 = ๐ฅ M +๐ฆ ๐
7 2
โ4 23
=
3๐ฅ + ๐ฆ โ๐ฅ
2๐ฅ โ5๐ฅ + ๐ฆ
Berdasarkankesamaan di atas, diperoleh:
(i) 2= - ๐ฅ , maka๐ฅ = -2
(ii) 7= 3๐ฅ + ๐ฆ, maka๐ฆ = 7- 3๐ฅ
๐ฆ = 7+6 = 13
Jadi,
M2 - ๐ฅ M - ๐ฆ ๐ = O berlakuuntuknilai๐ฅ = -2dan๐ฆ = 13
28. 4.4.2 Determinan Matriks Persegi Berordo 3x3
Jika matriksA =
๐11 ๐12 ๐13
๐21 ๐22 ๐23
๐31 ๐32 ๐33
,
makadeterminandarimatriksAditentukanoleh:
1. Cara Sarrus
2. Cara ekspansikofaktor
1. Cara Sarrus
Dasar cara Sarrus ini mengikuti aturan berikut.
(i) Tuliskan kolom pertama dan kolom kedua dari determinan awal
di sebelah kanan setelah kolom ketiga.
(ii) Kalikan unsur-unsur pada keenam diagonal, yaitu tiga diagonal
utama (dari kiri ke kanan) dan tiga diagonal pendamping (dari
kanan ke kiri). Hasil kali dari diagonal pendamping dikurangkan
35. 4.4.2 Sifat-Sifat Determinan Matriks Persegi
(i) Determinan suatu matriks akan bernilai tetap, apabila dilakukan
operasi transpose pada suatu matriks.
(ii) Nilai suatu determinan akan berubah tanda, apabila dua baris atau
dua kolom saling bertukar tempat.
(iii) Determinan suatu matriks akan bernilai nol, apabila ada dua baris
atau dua kolom memiliki unsur-unsur yang sama.
(iv) Determinan suatu matriks akan bernilai nol, apabila unsur-unsur
dalam satu baris atau satu kolom semuanya bernilai nol.
(v) Jika masing-masing unsur di dalam suatu baris atau di dalam suatu
kolom dikalikan suatu bilangan yang sama, maka detrminannya
dikalikan dengan bilangan tersebut.
(vi) Jika setiap unsur pada salah satu baris atau kolom merupakan suatu
penjumlahan dari dua bilangan atau lebih, maka determinannya dapat
ditulis sebagai penjumlahan dari dua determinan atau lebih.
36. 4.5 Invers Matriks Persegi
4.5.1 Dua Matriks Saling Invers
Dua matriks dikatakan saling invers, apabila
hasil perkalian dua matriks itu adalah matriks
identitas.
Jika A dan B matriks persegi berordo sama
sedemikian sehingga: AB = BA = I, maka dapat
dikatakan:
(i) B adalah invers A, ditulis: B = A-I
(ii) A adalah invers B, ditulis: A = B-I
37. Contoh 30
Jika A =
7 2
3 1
danB =
1 โ2
โ3 7
,
tunjukkanbahwaAdanBsaling invers.
Jawab:
HarusditunjukkanbahwaAB = BA = I
AB =
7 2
3 1
1 โ2
โ3 7
=
1 0
0 1
= I
BA=
1 โ2
โ3 7
7 2
3 1
=
1 0
0 1
= I
KarenaAB = BA= I , makaA = B-I danB = A-I
Jadi, A danBsaling invers (tertunjuk).
44. 4.5.6 Persamaan Matriks Berbentuk AX = B dan XA = B
๏ฑ PenentuanmatriksX padapersamaanAX =
BdapatdilakukandengancaramengalikankeduaruasdenganA-1dankiri,
sepertiberikutini:
AX = B
A-1AX = A-1B
(A-1A)X = A-1B
IX = A-1 B
โดX = A-1B
๏ฑ PenentuanmatriksX padapersamaanXA =
BdapatdilakukandengancaramengalikankeduaruasdenganA-1dankanan,
sepertiberikutini:
X A= B
XAA-1 = BA-1
X (AA-1) = BA-1