1. A. OPERASI MATRIKS
1. Penjumlahan Matriks
Jika matriks A dan B memiliki ordo yang sama, maka jumlah matriks A dan B adalah
matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan setiap elemen matriks A dengan elemen
matriks B yang bersesuaian (seletak). Jumlah matriks A dan B dinotasikan dengan A + B.
Contoh : Diketahui : π΄ = [
1 0 β1
2 β3 5
], π΅ = [
β1 1 0
4 3 β2
], πΆ = [
β2 1
5 0
], dan
π· = [
1 β2
β4 3
]
Tentukanlah :
a. A + B b. B + A c. C + D d. D + C e. A + C
Pembahasan : a. π΄ + π΅ = [
1 0 β1
2 β3 5
] + [
β1 1 0
4 3 β2
]
= [
1 + (β1) 0 + 1 β1 + 0
2 + 4 β3 + 3 5 + (β2)
] = [
0 1 β1
6 0 3
]
b. π΅ + π΄ = [
β1 1 0
4 3 β2
] + [
1 0 β1
2 β3 5
]
= [
β1 + 1 1 + 0 0 + (β1)
4 + 2 3 + (β3) β2 + 5
] = [
0 1 β1
6 0 3
]
c. πΆ + π· = [
β2 1
5 0
] + [
1 β2
β4 3
] = [
β1 β1
1 3
]
d. π· + πΆ = [
1 β2
β4 3
] + [
β2 1
5 0
] = [
β1 β1
1 3
]
e. Karena ordo A β ordo C maka A + C dikatakan tidak terdefinisi.
Dari contoh terlihat oleh kita bahwa matriks A + B = B + A, dimana matriks A dan B
memiliki ordo yang sama. Dengan demikian, pada penjumlahan matriks berlaku sifat
komutatif.
Bukti : Misalkan = (πππ )
πΓπ
, π΅ = (πππ)
πΓπ
,dan π΄ + π΅ = πΆ = (πππ)
πΓπ
, dengan
πππ = πππ + πππ. Oleh karena elemen-elemen matriks A maupun matriks B adalah
bilangan real yang mengikuti pada hokum komutatif,
maka πππ = πππ + πππ = πππ + πππ . Sehingga dapat dikatakan A + B = B + A
(terbukti).
Dua matriks A dan B dapat dijumlahkan menjadi matriks C (ditulis C = A + B) jika dan hanya
jika:
1) Ordo C = ordo A = ordo B
2) πππ = π ππ + πππ untuk semua π β baris dan π β kolom
Apabila A dan B adalah dua matriks yang berordo sama maka A + B = B + A. Sifat
tersebut dinamakan sifat komutatif penjumlahan dua matriks.
2. Lalu, apakah sifat asosiatif berlaku dalam penjumlahan matriks? Untuk dapat menjawab
pertanyaan itu coba simaklah contoh berikut.
Contoh : Diketahui : π΄ = [
β1 0
3 2
], π΅ = [
β2 4
1 β5
] , dan πΆ = [
3 β3
β1 4
]
Tentukanlah : a. A + B + C b. (A + B) + C c. A + (B + C)
Pembahasan : a. π΄ + π΅ + πΆ = [
β1 0
3 2
] + [
β2 4
1 β3
] + [
3 β3
β1 4
]
= [
β1 + (β2) + 3 0 + 4 + (β3)
3 + 1 + (β1) 2 + (β5) + 4
] = [
0 1
3 1
]
b. ( π΄ + π΅) + πΆ = [[
β1 0
3 2
] + [
β2 4
1 β5
]] + [
3 β3
β1 4
]
= [
β1 + (β2) 0 + 4
3 + 1 2 + (β5)
] + [
3 β3
β1 4
]
= [
β3 4
4 β3
] + [
3 β6
β1 4
] = [
0 1
1 3
]
c. π΄ + ( π΅ + πΆ) = [
β1 0
3 2
] + [[
β2 4
1 β5
] + [
3 β3
β1 4
]]
= [
β1 0
3 2
] + [
1 1
0 β1
] = [
0 1
3 1
]
Dari Contoh di atas dapat kita ketahui bahwa pada penjumlahan matriks berlaku sifat
asosiatif.
Bukti : Misalkan π΄ = (πππ )
πΓπ
, π΅ = (πππ)
πΓπ
, dan πΆ = (πππ)
πΓ π
. Oleh karena
elemen-elemen matriks A, B, dan C merupakan bilangan real yang mengikuti
pada hukum assosiatif, maka berlaku hubungan-hubungan:
πππ + πππ + πππ = πππ + (πππ + πππ) = (πππ + πππ) + πππ,sehingga dapat
dikatakan π΄ + π΅ + πΆ = π΄ + ( π΅ + πΆ) = ( π΄ + π΅) + πΆ (terbukti).
2. Pengurangan Matriks
Telah kita ketahui bahwa jika a dan b dua bilangan real, maka berlaku :
π β π = π + (βπ) dengan β π adalah lawan dari b.
karena setiap matriks mempunyai matriks lawan, maka sama seperti pada bilangan real,
pada matriks pun berlaku:
Dengan kata lain, pengurangan matriks A oleh matriks B dilakukan dengan cara
menjumlahkan amtriks A dengan lawan dari matriks B.
Contoh : Diketahui matriks π΄ = [
2 β1
β3 4
] dan π΅ = [
β5 β2
2 6
]
Tentukanlah matriks π΄ β π΅ !
Pembahasan : π΄ β π΅ = [
2 β1
β3 4
] β [
β5 β2
2 6
] = [
2 β1
β3 4
] + [
5 2
β2 β6
] = [
7 1
β5 β2
]
Apabila A, B, dan C adalah tiga matriks yang berordo sama, maka A + B + C = A + (B + C)
= (A + B) + C . Sifat tersebut dinamakan sifat asosiatif penumlahan matriks.
π΄ β π΅ = π΄ + (βπ΅)
3. Contoh : Diketahui matriks π΄ = [
1 β3
2 β1
] , π΅ = [
2 β1
1 3
], dan πΆ = [
β1 3
4 β2
].
Tentukanlah: a. π΄ β π΅ c. (π΄ β π΅) β πΆ
b. π΅ β π΄ d. π΄ β (π΅ β πΆ)
Pembahasan : a. π΄ β π΅ = [
1 β3
2 β1
] β [
2 β1
1 3
] = [
1 + (β2) β3 + 1
2 + (β1) β1 + (β3)
] = [
β1 β2
1 β4
]
b. π΅ β π΄ = [
2 β1
1 3
] β [
1 β3
2 β1
] = [
2 + (β1) β1 + 3
1 + (β2) 3 + 1
] = [
1 2
β1 4
]
c. ( π΄ β π΅) β πΆ = [(
1 β3
2 β1
) β (
2 β1
1 3
)] β [
β1 3
4 β2
]
= [(
β1 β2
1 β4
) β (
β1 3
4 β2
)] = [
0 β5
β3 β2
]
d. π΄ β ( π΅ β πΆ) = [
1 β3
2 β1
] β [(
2 β1
1 3
) β (
β1 3
4 β2
)]
= [
1 β3
2 β1
] β [
3 β4
β3 5
] = [
β2 1
5 β6
]
Dari Contoh di atas dapat kita ketahui bahwa dalam pengurangan matriks tidak berlaku
sifat komutatif dan asosiatif.
Contoh : Apabila A adalah matriks persegi berordo 2, selesaikanlah tiap persamaan
berikut!
a. π΄ + [
3 2
β1 4
] = [
5 β1
1 6
]
b. [
β1 3
0 β2
] + π΄ = [
2 β1
1 4
]
Pembahasan : a. π΄ + [
3 2
β1 4
] = [
5 β1
1 6
] β π΄ = [
5 β1
1 6
] β [
3 2
β1 4
] = [
2 β3
2 2
]
b. [
β1 3
0 β2
] + π΄ = [
2 β1
1 4
] β π΄ = [
2 β1
1 4
] β [
β1 3
0 β2
] = [
3 β1
1 6
]
3. Perkalian Matriks
a. Perkalian Matriks dengan Bilangan Real
Perkalian bilangan real k dengan matriks A ditulis kA adalah suatu matriks yang
elemen-elemennya diperoleh dengan cara mengalikan setiap elemen matriks A dengan
bilangan real k.
Dengan demikian, jika π΄ = [ π π
π π
], maka ππ΄ = [ ππ ππ
ππ ππ
].
Telah kita ketahui bahwa untuk sembarang bilangan real a berlaku:
π΄ β π΅ β π΅ β π΄
( π΄ β π΅) β πΆ β π΄ β (π΅ β πΆ)
Dua matriks A dan C dapat memenuhi persamaan C = kA jika dan hanya jika:
1. k bilangan real, A dan C matriks berordo sama.
2. πππ = ππ ππ untuk semua π β baris dan π β kolom.
4. π + π = 2π
π + π + π = 3π
Lalu, apakah pada matriks berlaku bahwa A + A = 2A, A + A + A = 3A, dan
seterusnya? Untuk mengetahuinya, simaklah uraian berikut.
Matriks π΄ = [
1 2
3 5
], maka berdasarkan definisi penjumlahan matriks diperoleh:
π΄ + π΄ = [
1 2
3 5
] + [
1 2
3 5
] = [
1 + 1 2 + 2
3 + 3 5 + 5
] = [
2.1 2.2
2.3 2.5
] = 2 [
1 2
3 5
] = 2π΄
π΄ + π΄ + π΄ = [
1 2
3 5
] + [
1 2
3 5
] + [
1 2
3 5
]
= [
1 + 1 + 1 2 + 2 + 2
3 + 3 + 3 5 + 5 + 5
] = [
3.1 3.2
3.3 3.5
] = 3[
1 2
3 5
] = 3π΄
Dengan demikian pada matriks berlaku A + A + β¦ + A = kA sebanyak k.
Contoh : Dikethaui: π΄ = [
1 2
3 5
] dan π΅ = [
3 1
4 6
]
Tentukanlah bentuk yang paling sederhana dari matriks:
a. 3A b. A + 2B c. 2π΄ β 3π΅
Pembahasan : a. 3π΄ = 3 [
1 2
3 5
] = [
3.1 3.2
3.3 3.5
] = [
3 6
9 15
]
b. π΄ + 2π΅ = [
1 2
3 5
] + 2 [
3 1
4 6
] = [
1 2
3 5
] + [
6 2
8 12
] = [
7 4
11 17
]
c. 2π΄ β 3π΅ = 2[
1 2
3 5
] β 3[
3 1
4 6
] = [
2 4
6 10
] β [
9 3
12 18
] = [
β7 β1
β6 β8
]
Sama halnya dengan penjumlahan dan pengurangan matriks, perkalian matriks
dengan bilangan real memenuhi sifat-sifat tertentu, seperti yang tercantum dalam sifat
berikut.
Contoh : Dikethaui π΄ = [
3 0
1 β2
] πππ 3π΄ + 3π΅ = [
6 9
β3 0
]
Tentukan matriks B.
Pembahasan : 3π΄ + 3π΅ = 3(π΄ + π΅) = [
6 9
β3 0
] = 3[
2 3
β1 0
]
Dengan demikian, π΄ + π΅ = [
2 3
β1 0
]
π΄ + π΅ = [
2 3
β1 0
] β [
3 0
1 β2
] + π΅π΄ = [
2 3
β1 0
]
π΅ = [
2 3
β1 0
] β [
3 0
1 β2
] = [
β1 3
0 2
]
Jadi, π΅ = [
β1 3
0 2
]
Apabila k dan l adalah bilangan-bilangan real, A dan B adalah matriks berordo π Γ
π, maka:
1. ( π + π) π΄ = ππ΄ + ππ΄ 4. 1π΄ = π΄
2. π( π΄ + π΅) = ππ΄ + ππ΅ 5. (β1) π΄ = βπ΄
3. π(ππ΄) = ( ππ) π΄
5. B. Perkalian Matriks
Dua buah matriks A dan B sepadan untuk dikalikan, artinya matriks A dapat dikalikan
dengan matriks B, jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak kolom matriks B.
Sementara hasil perkalian matriks A dengan matriks B ditentukan dengan cara
mengalikan baris-baris matriks A dengan kolom-kolom matriks B kemudian
menjumlahkan hasil perkalian antara baris dan kolom tersebut.
Contoh : Di antara matriks-matriks berikut, manakah yang dapat dikalikan?
π΄ = [
1
2
], π΅ = [
β1 2
0 5
], πΆ = [
0 3
1 2
β2 6
] , dan π· = [4 7]
Pembahasan : Diketahui matriks π΄2Γ1, π΅2Γ2, πΆ3Γ2, dan π·1Γ2.
Berdasarkan definisi 3.4, maka matriks-matriks yang dapat dikalikan adalah:
1. π΄2Γ1 . π·1Γ2 4. πΆ3Γ2 . π΅2Γ2
2. π΅2Γ2 . π΄2Γ1 5. π·1Γ2 . π΄2Γ1
3. πΆ3Γ2 . π΄2Γ1 6. π·1Γ2 . π΅2Γ2
a. Perkalian Matriks Berordo ( π Γ π) dengan matriks berordo ( π Γ π)
Apabila A adalah matriks baris berordo 1 Γ π dan B adalah matriks kolom berordo π Γ 1
maka hasil perkalian matriks A dengan matriks B, misal C, adalah matriks baru berordo 1 Γ
1. Matriks πΆ1Γ1 adalah suatu skalar.
Misalkan π΄ = [ π11 π12 π13] dan π΅ = [
π11
π21
π31
]
Maka π΄ . π΅ = [ π11 π12 π13] [
π11
π21
π31
] = [ π11 π11 + π12 π21 + π13 π31 ]
Contoh : Diketahui π΄ = [β1 2 5] dan π΅ = [
3
6
β2
]
Tentukanlah hasil perkalian matriks A dan B !
Pembahasan : π΄ . π΅ = [β1 2 5][
3
6
β2
] = [β1 . 3 + 2 . 6 + 5(β2)] = (β1)
b. Perkalian Matriks Berordo ( π Γ π) dengan Matriks Berordo ( π Γ π)
Apabila A adalah matriks berordo π Γ π dan B adalah matriks berordo π Γ 1, maka hasil
perkalian matriks A dengan matriks B misal C adalah matriks baru berordo ( π Γ 1).
Dua matriks A dan B dapat dikalikan dan menghasilkan matriks C jika dan
hanya jika:
1) πΆ πΓπ = π΄ πΓπ . π΅ πΓπ
2) πππ = π π1 π1π + π π2 π2π + β―+ π ππ π ππ
Definisi :