урок

1. Розв'язування прямокутних трикутників
Задача 1. Один з кутів трапеції дорівнює 30°, а прямі, які містять бічні сторони
трапеції, перетинаються під прямим кутом. Знайдіть довжину меншої бічної сторони,
якщо її середня лінія дорівнює 10 см, а одна з основ — 8 см.
Розв'язання
Нехай у трапеції ABCD (AD || ВС) її бічні сторони при
продовженні перетинаються в точці Q, ∠ Q = 90° за умовою (рис. 4).
Тоді в Δ AQD ∠ D = 90° - ∠ A = 90° - 30° = 60°. Оскільки середня
лінія трапеції дорівнює 2
ADВС +
= 10 (см), то 8 + AD = 20, AD = 12 см.
Проведемо висоти ВК (BК ⊥ AD) і CM (CM ⊥ AD). Нехай AK = x см (х > 0), тоді MD =
(AD – BC) – AK = (12 – – 8) – x = 4 – х. У Δ АКВ (∠ C = 90°) ВК = АК · tg∠ K = x tg 30° =
3
3x
. У Δ CMD (∠ M = = 90°) CM = MD tg∠ D = (4 – x) tg 60° = (4 – х) · 3 . Оскільки
СМ = ВК, то маємо рівняння: 3)4(
3
3
⋅−= х
x
; x 3 = 12 3 – 3 3 x; 4x 3 = 12 3 ; x = 3.
Отже, AK = 3 см; MD = 1 см. Із прямокутного Δ АВК із прямим кутом К маємо: АВ =
A
АК
∠cos
= 
30cos
3
= = 3
6
= 2 3 (см). Із прямокутного Δ MCD (∠ M = = 90°): CD =
D
MD
∠cos
= 
60cos
1
= 2 (см). CD < AB.
Відповідь: 2 см.
Задача 2
Дано: АВ = ВС, ∠ C = α, AD ⊥ BC, AD = h (рис. 5).
Знайти: АВ.
Розв'язання
Оскільки за умовою Δ ABC рівнобедрений з основою АС (рис. 5), то
∠ A = ∠ D = α, отже, ∠ B = 180° – 2∠ D = 180° – 2α. Розглянемо Δ ABD (
∠ D = 90°): AD = = h, ∠ B = 180° – 2α, AB = B
АD
∠sin
= )2180sin( α−
h
.
Відповідь: )2180sin( α−
h
.
Задача 3. У трикутнику ABC ∠ ACB = = 90°, CD ⊥ AB. CM —
медіана, СМ = тс, ∠ DCN = α (рис. 6). Знайдіть S∆AВС і катети
трикутника АСВ.
Розв'язання
Із Δ CDM (∠ D = 90°) CD = CM cos∠ DCM = mc cos α; DM = CM sin∠ DCM =
= mc sin α. Як відомо, CM = 2
1
AB, тоді AB = 2CM = 2mc. Звідси АМ = МВ = тс. Тому
S∆ACB = 2
ABСD ⋅
=
2
2cos cc mm ⋅α
= αcos2
cm . AD = AM – DM = mc – mc sinα.
Із Δ ADC (∠ D = 90°):
AC = 22
CDAD + = ( ) ( )22
cossin αα ccc mmm +− = ( ) αα 22
cossin1 +−cm .
Із Δ ACB (∠ C = 90°):
CB = 22
ACAB − = ( )( )22222
cossin14 αα +−− cc mm =
( )( )222
cossin14 αα +−−cm .
Відповідь: αcos2
cm ; ( ) αα 22
cossin1 +−cm ; ( )( )222
cossin14 αα +−−cm .
Задача 4. У рівнобедреній трапеції ABCD AB = CD = 7 см, BC =

2. 2 см, AD = 8 см. Знайдіть синус і косинус кута CAD.
Розв'язання
Нехай ABCD — дана рівнобічна трапеція (рис. 7), AD || BC. Проведемо висоту ВК
(BK ⊥ AD). Тоді АК = 2
BCAD −
= 2
28 −
= 3 (см). У Δ АВК (∠ K = 90°): ВК = 22
АКАВ −
= 949 − = 102 (см). ВК = СМ (CM ⊥ AD), AM = KM + AK = BC + AK = 2 + 3 = 5 (см).
Із Δ САМ (∠ M = 90°) АС = 22
СМАМ + = 4025 + = 65 , sin∠ CAM = АС
СМ
=
65
102
=
2
13
2
, cos∠ CAM = = АС
АМ
= 65
5
=
65
655⋅
=
13
65
.
Відповідь: 2
13
2
;
13
65
.
Задача 5. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює α, а
радіус кола, вписаного в трикутник, дорівнює r. Визначите бічну
сторону трикутника.
Розв'язання
Нехай ABC (рис. 8) — даний рівнобедрений трикутник з основою
AC, ∠ A = ∠ C = α У прямокутному Δ АКО (∠ K = 90°):
2
α
tg
r
АК =
(∠
KAO = 2
1
∠ A = 2
α
, тому що АО — бісектриса кута А). Із прямокутного Δ ABD (∠ D =
90°, оскільки точка D — точка дотику кола з основою AC) ∠ ABD = 90° – α. Тоді в Δ
ОКВ (∠ K = 90°): ∠ BOK = 90° – (90° – α) = α і BK = r tgα. Отже, АВ = АК + ВК =
α
α
rtg
tg
r
+
2
.
Відповідь:
α
α
rtg
tg
r
+
2
.
Домашнє завдання
§ 21 п. 21.2, виконати № 723, 731.