6. 6
ОзначенняОзначення перпендикулярнперпендикулярнихих
прямої та площинипрямої та площини
αα
ОО
хх11
хх22
хх33
ххnn
aa
Пряма, яка перетинає
площину, називається
перпендикулярною до цієї
площини, якщо вона
перпендикулярна до
довільної прямої, що лежить
на цій площині і проходить
через їхню точку перетину.
9. 9
Означення перпендикулярнОзначення перпендикулярнихих
площинплощин
Дві площини, що перетинаються, називаються
перпендикулярними, якщо третя площина,
перпендикулярна до прямої перетину цих площин,
перетинає їх по перпендикулярних прямих.
ЯкщоЯкщо αα∩∩ββ=с,=с,
γγ∩∩αα=а,=а, γγ∩∩ββ==bb,,
сс ┴┴ γγ іі аа ┴┴ bb, то, то αα
┴┴ ββ
αα
γγ
ββ
сс
аа
bb
10. 10
ОзнакаОзнака
перпендикулярностіперпендикулярності
площинплощинЯкщо одна з двох площин проходить
через пряму, перпендикулярну до другої
площини, то ці площини перпендикулярні.
Дано:Дано: αα, а, а ┴┴ αα;;
аа∩∩αα=О;=О; площинаплощина ββ
проходить черезпроходить через а.а.
Довести:Довести: ββ ┴┴ αα..
αα
ββ
bb
аа
ОО
11. 11
ОзнакаОзнака перпендикулярностіперпендикулярності площинплощин
Дано:Дано: αα, а, а ┴┴ αα; а; а∩∩αα=О;=О;
площинаплощина ββ проходить черезпроходить через а.а.
Довести:Довести: ββ ┴┴ αα..
ДоведенняДоведення
αα
ββ
Побудуємо довільну площину ββ
через пряму аа і деяку точкуі деяку точку КК
поза нею.поза нею. bb
КК
О – спільна точка площин α
і ββ, тому αα∩∩ββ == bb,, ОО∈∈ bb..
Проведемо на площині α деяку пряму с ┴ bb (на площині така
пряма єдина).
Оскільки аа ┴┴ αα і аа∩∩αα=О=О, то аа ┴┴ с(ОО∈∈с,, ОО∈∈bb,, ОО∈∈аа ). Отже,Отже, с
┴┴ аа,, с ┴┴ bb..
γγ
Проведемо площину γ через прямі аа іі с, то γ ┴ bb
(оскільки дві її прямі перпендикулярні до bb).
Тоді за означенням, ββ ┴┴ αα..
сс
аа
ОО
12. 12
ВластивостіВластивості
перпендикулярнперпендикулярнихих площинплощин
Якщо дві площини взаємно перпендикулярні, то
будь-яка пряма, що лежить в одній з них і
перпендикулярна до їхньої лінії, перпендикулярна
до другої площини.
Дано:Дано: аа ┴┴ bb,, αα∩∩ββ=с,=с,
а1 αα і аі а1┴1┴с, сс, с∩∩а1=А.
Довести:Довести: аа11 ┴┴ ββ αα
γγ
ββ
сс
аа
bb
аа11
bb11
АА
⊂
13. 13
ВластивостіВластивості
перпендикулярнперпендикулярнихих площинплощин
Якщо дві площини взаємно перпендикулярні та з
деякої точки однієї з них опущено перпендикуляр
на другу, то цей перпендикуляр лежить у першій
площині.
Дано:Дано: αα ┴┴ β,, αα∩∩ββ=с,=с,
А∈β, ВВ∈∈αα,,
АВ ┴┴ αα.
Довести:Довести: АВАВ ∈∈ ββ
αα
γγ
ββ
сс
аа
bb
ВВ
АА
14. 14
Опорна задачаОпорна задача
З точок P і Q, які лежать на двох взаємно перпендикуляр-
них площинах, проведено перпендикуляри PH і QC на
пряму перетину площин α іβ. Знайдіть довжину відрізка
PQ, якщо PH=6 см, QC =7 см, HC=6 см.
Дано:Дано: αα ┴┴ β,, αα∩∩ββ=с,=с, РН┴┴ с,с, Н∈сс,
QC┴┴ с, Сс, С∈∈сс;; PH=6 см, QC =7 см,
HC=6 см..
Знайти:Знайти: PQ.
αα
ссH
ββ
P
Q
C
ОскількиОскільки αα ┴┴ β,, РН αα ,, РН┴┴сс, то
PH ┴┴ β , звідси, звідси PH┴┴HQ. Тоді ∆PHQ –
прямокутний.
⊂
На площині β ∆QСH – прямокутний, оскільки QC┴┴с, тос, то QC┴┴СH.
Розв’язання
З ∆QСH: HQ2
= QС2
+ HС2
=49+36=85.
З ∆РHQ: РQ2
= РН2
+ HQ2
=36 +85 =121.
Враховуючи, що РQ>0, РQ =11 см.
Відповідь. 11см
А як застосувати ознакуА як застосувати ознаку
перпендикулярності площинперпендикулярності площин
,для знаходження довжини відрізка,для знаходження довжини відрізка
кінці якого лежать накінці якого лежать на
?перпендикулярних прямих?перпендикулярних прямих
15. 15
Підсумки урокуПідсумки уроку
:Контрольні запитання:Контрольні запитання
• Подивіться, чи є на вашу думку, перпендикулярні
площини в класній кімнаті?
• Перерізом куба площиною, перпендикулярною
до його грані є…
• Дано куб ABCDA1B1C1D1 (див. мал. 5.39 ст.169).
Площина ВDD1 ┴ … до площини
C1CD; C1B1B; C1CB; C1D1B1.
квадрат.
