Документ представляет собой мини-учебник по решению задач с параметрами, включая показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения. Обсуждаются теоретические основы, основные виды заданий, а также анализ школьных учебников по алгебре, выявляющий недостаточное внимание к данной теме. Цель работы — углубить знания учащихся и подготовить их к вступительным экзаменам в вузы.

1. Міністерство освіти і науки України
Всеукраїнська Мала академія наук
Донецьке територіальне відділення Малої академії наук України
Відділ освіти Волноваської райдержадміністрації
Новотроїцька загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №4
Секція: Математика
Базова дисципліна: математика
Завдання з параметрами:
показникові, логарифмічні, тригонометричні
АВТОР РОБОТИ:
Криворучко Джемма Валеріївна
Учениця 11 класу
Новотроїцької загальноосвітньої
школи І-ІІІ ступенів №4
Домашня адреса: с. Новотроїцьке,
пров. Центральний, буд. 4
Науковий керівник
Грішко Олена Володимирівна
ВОЛНОВАХА-2012

2. ЗМІСТ
ВСТУП……..……………………………………..………………………………….3
РОЗДІЛ I. Теоретичні основи розв’язання завдань з параметрами…..……….…6
РОЗДІЛ ІІ. Аналіз шкільних підручників з алгебри…………………..……....….9
РОЗДІЛ ІІІ. Основні види завдань з параметрами………….…………………...11
3.1 Показникові рівняння….………….…………........................................11
3.2 Логарифмічні рівняння………………………………….…………......12
3.3 Тригонометричні рівняння……………………..………………….......13
РОЗДІЛ IV. Аналітичні методи розв’язання завдань з параметрами……...15
4.1 Пошук розв’язань рівнянь, що містять параметр
Метод «ветвления»…………………………………………..................15
4.2 Параметр та кількість розв’язань рівнянь,
що містять параметр…………………………………………………....18
4.3 Параметр та властивості розв’язань рівнянь,
що містять параметр…………………………………………………....21
4.4 Параметр як рівноправна змінна............................................................22
4.5 Методи пошуку необхідних умов.
Використання симетрії аналітичних виразів........................................23
4.6 Властивості функцій в задачах, що містять
параметр. Функціональний підхід.........................................................24
4.6.1 Найбільше та найменше значення............................................25
4.6.2 Парність. Періодичність. Зворотність......................................27
ВИСНОВКИ………………..………………………………………………….…...28
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ……………………………………….29
ДОДАТКИ
2

3. ВСТУП
В самом начале знакомства с параметром у учащихся возникает некий
психологический барьер, который обусловлен противоречивыми
характеристиками параметра.
С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной
известной, а с другой – конкретное значение параметра не известно. С одной
стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой – он может
принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении – это
неизвестная известная, переменная постоянная величина. Этот «каламбур»
очень точно отражает существо тех сложностей, которые нужно преодолеть.
Изучение многих физических процессов и геометрических
закономерностей часто приводит к решению уравнений, содержащих параметр.
Как известно, решению задач с параметрами в школе уделяется очень мало
внимания. Решение задач с параметрами вызывает большие трудности у
учащихся, так как их изучение не является отдельной составляющей школьного
курса математики, и рассматривается только на немногочисленных
факультативных занятиях.
Интерес к теме объясняется тем, что уравнения с параметрами
предлагаются на вступительных экзаменах в ВУЗы. Поэтому очень трудно
рассчитывать на то, что учащиеся, подготовка которых не содержала
"параметрическую терапию", смогут в жесткой атмосфере конкурсного
экзамена успешно справиться с подобными задачами.
Даже если бы эти задачи не предлагались на вступительных экзаменах, то
все равно в школьной математике, особенно в специализированных классах и
школах, задачам с параметрами должно уделяться большое внимание. В этом
мы глубоко убеждены: ведь известно, какую роль играют данные задачи в
формировании логического мышления и математической культуры у
школьников. Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с
параметрами, успешно справляются (и опыт это подтверждает) с другими
3

4. задачами. Этот факт позволяет автору надеяться на широкую возможность
использования настоящего пособия в работе школьного учителя.
Трудности при изучении данного вида заданий связаны со следующими их
особенностями:
• Обилие формул и методов, используемых при решении уравнений
данного вида;
• Возможность решения одного и того же уравнения, содержащего
параметр различными методами.
Совершенно очевидно, что к "встрече" с такими заданиями надо
специально готовиться.
Мы поставили себе цель: создать мини-учебник по обучению решать
задания с параметрами. Часть работы была проделана в предыдущие два года
(были рассмотрены основные методы решений уравнений с параметрами
следующих типов: линейные уравнения; квадратные уравнения; дробно-
рациональные уравнения; линейные неравенства; системы линейных и
квадратных уравнений и иррациональные уравнения).
Данная работа является логическим продолжением предыдущей работы.
Главной целью создания этого мини-учебника являются расширение и
углубление знаний, теоретических основ решения уравнений с параметрами,
основными их видами и рекомендациями к решению, развитие интереса
учащихся к предмету, развитие их математических способностей. Процесс
обучения строится как совместная исследовательская деятельность учащихся.
Актуальность темы данной работы определяется необходимостью уметь
решать задания с параметрами на вступительных экзаменах в высшие учебные
заведения, при подготовке к независимому внешнему тестированию.
Цель данной работы: рассказать о решении заданий с параметрами
(показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения).
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие
задачи:
• дать определения понятиям уравнение (неравенство) с параметрами;
4

5. • показать принцип решения данных уравнений на общих случаях;
• рассмотреть случаи решения заданий с параметрами (показательные,
логарифмические и тригонометрические уравнения);
• рассмотреть аналитические методы решения неравенств, уравнений с
параметрами;
• познакомить учащихся с некоторыми методами решения заданий,
содержащих параметр;
• показать применение различных методов при решении заданий одного
типа;
• показать принцип решения данных уравнений на общих случаях;
• показать решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами
показательной, логарифмической и тригонометрической функциями;
• формировать умение видеть рациональный метод для решения
конкретных типов заданий, содержащих параметр;
• формировать логическое мышление;
• формировать настойчивость, целеустремленность, трудолюбие через
решение сложных задач;
• развивать математическую речь с присущей ей краткостью, точностью
и лаконичностью;
• подготовить учащихся к поступлению в вузы.
Объектом исследовательской работы было аналитическое решение
заданий с параметрами (показательные, логарифмические и
тригонометрические уравнения).
Структура данной работы включает в себя теорию, практическую часть,
заключение, библиографический список.
Курс рассчитан на систематизацию методов решения заданий, содержащих
параметр и их классификацию. Необходимо рассмотреть основные методы
решения заданий с параметрами (показательные, логарифмические и
5

6. тригонометрические уравнения), аналитический метод решения уравнений,
неравенств.
6

7. РОЗДІЛ I. Теоретичні основи розв’язання завдань з параметрами
Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического
мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает
у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение
(неравенство) с параметрами представляет собой целый класс обычных
уравнений (неравенств), для каждого из которых должно быть получено
решение. Такие задачи предлагаются на вступительных экзаменах в вузы.
Большинство пособий адресовано абитуриентам, однако начинать
знакомиться с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с
соответствующими разделами школьной программы по математике.
Если в уравнении (неравенстве) некоторые коэффициенты заданы не
конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они
называются параметрами, а уравнение (неравенство) параметрическим.
Иногда уравнения (неравенства), кроме букв, обозначающих неизвестное
(X, Y, Z), содержат другие буквы, называемые параметрами (a, b, c). Тогда мы
имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений (неравенств).
Известно, что в программах по математике для неспециализированных
школ этим задачам отводится незначительное место. Поэтому, в первую
очередь укажем разделы общеобразовательной математики, в которых вообще
присутствует сама идея параметра.
Так, с параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых
понятий. Не приводя подробных определений, рассмотрим в качестве примеров
следующие объекты:
• функция прямая пропорциональность: у = кх (х и у – переменные; к –
параметр, к ≠ 0);
• линейная функция: у = кх+b (х и у — переменные; к и b –
параметры);
7

8. • линейное уравнение: ах + b = 0 (х – переменная; а и b – параметры);
• уравнение первой степени: ах + b = 0 (х – переменная; а и b –
параметры, а ≠ 0);
• квадратное уравнение: ах2
+ bх + с = 0 (х – переменная; а, b и с –
параметры, а ≠ 0);
• система линейных уравнений:
а1 х + в1 у = с1;
а2 х + в2 у = с2 (х, у – переменные, а1, а2, в1, в2, с1, с2 – параметры);
• система уравнений
а1 х2
+ в1 у2
= с1;
а2 х + в2 у = с2 (х, у – переменные, а1, а2, в1, в2, с1, с2 – параметры);
• линейное неравенство: ах < (>) b (х – переменная, а, в – параметры);
• квадратичное неравенство ах2
+ вх + с < (>) 0 (х – переменная, а, в, с
– параметры);
• параметр встречается при изучении арккосинуса, арксинуса,
арктангенса, арккотангенса и решении уравнений вида at =cos ,
at =sin , ax =tg , ax =ctg . Рассматривается решение этих уравнений в
общем виде, и в зависимости от значения а рассматриваются
частные случаи, причем ставится ограничение на множество
значений переменной а ( 1≤a , для первых двух уравнений);
• показательная функция у = ах
, где а > 0 и а ≠ 1;
• показательное уравнение ах
= в, где а > 0 и а ≠ 1;
• логарифмическая функция у = log a x, а > 0 и а ≠ 1;
• логарифмическое уравнение log a x = в, а > 0 и а ≠ 1.
Для уравнений (неравенств), в решении которых рассматривается
различные значения параметра, будем пользоваться следующим алгоритмом
решения.
Алгоритм.
8

9. 1. Находим область значений параметра.
2. Для тех значений параметра, которые входят в область:
a) Находим особые значения параметра, при которых, содержащее
параметр выражение, на которое происходит деление,
обращается в 0. Для них рассматриваем уравнения (неравенства),
которые получились при подстановке значений параметра.
b) Решаем уравнение (неравенство), исключая эти значения.
3. Для тех значений параметра, которые не входят в область – корней нет.
4. Собираем все значения параметра и соответствующие им значения
неизвестной записываем ответ.
Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения заданий с
параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам,
где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В
подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных
результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы
решения.
Итак, подведем итог. При решении заданий, содержащих параметр,
существуют особые способы решения. Главным отличием является то, что при
решении происходит перебор значений параметра и рассмотрения для этих
значений соответствующего значения неизвестной.
9

10. РОЗДІЛ II. Аналіз шкільних підручників з алгебри
Проанализируем действующие учебники курса алгебры и начала анализа,
чтобы выяснить, насколько в них представлены задания, использующие
понятие «параметр», и методы решения уравнений, содержащих параметр.
Шкиль М.И. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 класса
общеобразовательных учебных заведений, 2003.
Задания с параметрами встречаются в теме:
а) «Показательные уравнения и неравенства» - №№ 174 (9, 15, 16, 17, 36,
38, 41);
б) «Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и
неравенства» - №№ 187, 188 (5, 6, 7, 8), 199, 200, 201, 207,208, 212, 21, 214,, 299
(5), 230 (13);
в) при объяснении нового материала по теме «Тригонометрические
функции. Тригонометрические уравнения и неравенства» используются
параметры, не называя самого термина.
Все задания из уровня В.
В новых учебниках:
1) Бурда М.И. Математика: учебник для 10 класса общеобразовательных
учебных заведений: уровень стандарта, 2010;
2) Г.П. Бевз, В.Г. Бевз Математика: учебник для 11 класса
общеобразовательных учебных заведений: уровень стандарта, 2010;
заданий с параметрами не представлено. При повторении курса алгебры
и начала анализа 10 и 11 классов в системе задач не встречается заданий с
параметром и можно утверждать, что в системе изучения этого курса авторы не
уделяют внимания к параметру как таковому.
10

11. В данных учебниках в разделах Алгебра и начала анализа 10 класса при
изучении уравнения ax =sin рассматривается принадлежность корня
множествам 




− 0;
2
π
, 




2
;0
π
. И это тоже в какой-то степени уравнение с
параметром решаемое методом «ветвлений». Аналогично при рассмотрении
уравнения ax =cos , ax =tg , ax =ctg . Термин «параметр» не употребляется.
Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:
• в каждом рассмотренном учебнике задания, содержащие параметр,
используются для проверки знаний и умений, приобретенных во
время изучения той или иной темы. Предлагаются задания
творческого характера, требующие от учащихся применения
полученных знаний и умений в нестандартных условиях;
• ни в одном из рассмотренных учебников не даётся чёткого
определения параметра;
• во всех учебниках задания однотипны.
11

12. РОЗДІЛ III. Основні види завдань з параметрами
3.1 Показательные уравнения, содержащие параметр
Большинство показательных уравнений с параметрами сводится к
показательным уравнениям вида: а f (x)
= b φ(х)
(*), где а>0, b>0.
Область допустимых значений такого уравнения находится как
пересечение областей допустимых значений функций f(x) и φ (х). Для решения
уравнения (*) необходимо рассмотреть следующие случаи:
1) При а = b = 1 решением уравнения (*) является область его допустимых
значений D.
2) При а = 1, b ≠ 1 решением уравнения (*) служит решение уравнения
φ(х) = 0 на области допустимых значений D.
3) При а ≠ 1, b = 1 решение уравнения (*) находится как решение
уравнения f(х) = 0 на области D.
4) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) уравнение (*) равносильно
уравнению f(х) = φ(х) на области D.
5) При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) уравнение (*) тождественно
уравнению )(
log
)(
log
x
b
c
xf
a
c
ϕ= (c > 0, c ≠ 1) на области D.
Пример. Решить уравнение: а х + 1
= b 3 – х
Решение. ОДЗ уравнения: х ∈ R, а > 0, b >0.
1) При а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла;
2) При а = b = 1, х ∈ R;
3) При а = 1, b ≠ 1 имеем: b 3 – х
= 1 или 3 – х = 0 ⇒ х = 3;
4) При а ≠ 1, b = 1 получим: а х + 1
= 1 или х + 1 = 0 ⇒ х = -1;
5) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х ⇒ х = 1;
6) При b
a
1
= , 0≠b получим: уравнение 31 −=+ xx , которое не имеет
решения;
12

13. 7) При а ≠ b и b
a
1
≠ (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) прологарифмируем
исходное уравнение по основанию а, получим:
x
a
x
a ba −+
= 31
loglog , х + 1 = (3 – х) log a b , 1log
1log3
+
−
=
b
b
x
a
a
.
Ответ: при а ≤ 0, b ≤ 0 или b
a
1
= , 0≠b уравнение не имеет решений;
при а = b = 1, х ∈ R;
при а = 1, b ≠ 1 х = 3;
при а ≠ 1, b = 1 х = -1;
при а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) х = 1;
при а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) 1log
1log3
+
−
=
b
b
x
a
a
.
3.2 Логарифмические уравнения, содержащие параметр
Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к
нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным
моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности
найденных корней ОДЗ исходного уравнения.
Пример. Решить уравнение
2 – log 2
a (1 + х) = 3 log а 1−x - log 2
a (х2
– 1)2
.
Решение. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ≠ 1.
Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного
уравнения:
log а а2
+ log a(х2
- 1) = log а ( 1−x )3
+ log a 1+x ,
log а (а2
(х2
- 1)) = log а (( 1−x )3
1+x ),
а2
(х2
- 1) = (х - 1) )1)(1( +− xx ,
а2
(х - 1) (х + 1) = (х - 1) )1)(1( +− xx .
Так как х ≠ -1 и х ≠ 1, сократим обе части уравнения на (х - 1) и на
1+x . Тогда получим 12
+xa = 1−x .
13

14. Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:
а4
(х + 1) = х – 1 ⇒ а4
х + а4
= х – 1⇒ х( 1 - а4
) = а4
+ 1.
Так как а ≠ -1 и а ≠ 1, то 4
4
1
1
a
a
x
−
+
= .
Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно
выполняться условие х > 1, то есть 1
1
1
4
4
>
−
+
a
a
.
Выясним, при каких значениях параметра а, это неравенство истинно:
01
1
1
4
4
>−
−
+
a
a
, 0
1
2
4
4
>
− a
a
.
Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а4
> 0, то
есть при а < 1.
Итак, при 0 < a < 1 x > 1, значит при 0 < a < 1 х является корнем
исходного уравнения.
Ответ: при а ≤ 0, а = 1 уравнение не имеет смысла;
при а > 1 решений нет;
при 0 < a < 1 4
4
1
1
a
a
x
−
+
= .
3.3 Тригонометрические уравнения, содержащие параметр
Замечание: Тригонометрические уравнения, содержащие параметр, не
рассматриваем, то есть, не рассматриваем теоретические аспекты методов
решения уравнений такого вида, так как существует большое количество
специфических методов решения, именно, тригонометрических уравнений,
содержащих параметр. Для этих методов существует большое количество
материала, исследование которого может рассматриваться, как отдельная тема.
Пример. Найдем наибольшее целое значение параметра а, при котором
уравнение cos2x + asinx = 2a – 7 имеет решение.
Решение.
Преобразуем заданное уравнение:
14

15. cos2x + asinx = 2a – 7; 1 – 2sin2
х – asinx = 2a – 7; sin2
х - 2
1
asinx + a – 4 = 0;
(sinх – 2) · )








−− 2
2
sin
a
x = 0.
Решение уравнения (sinх – 2) · )








−− 2
2
sin
a
x = 0 дает:
(sinх – 2) = 0; х принадлежит пустому множеству.
sinх - )


−2
2
а
= 0; х = (-1)n
arcsin )


−2
2
а
+ πn, n ∈ Z при 





−2
2
а
≤ 1.
Неравенство 





−2
2
а
≤ 1 имеет решение 2 ≤ а ≤ 6, откуда следует, что
наибольшее целое значение параметра а равно 6.
Ответ. 6.
15

16. РОЗДІЛ IV. Аналітичні методи розв’язання завдань з параметрами
4.1 Поиск решений уравнений, содержащих параметр. Метод
«ветвления»
С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной
известной, а с другой – он может принимать различные значения. Получается,
что параметр в уравнении – это неизвестная известная, переменная постоянная
величина.
Именно этот факт и позволяет нам решать уравнения с параметром таким
методом («ветвления»).
Пример. Решить уравнение axxx
−=+⋅− 21264 .
Решение. Пусть t2x
= . Тогда



−=+−
>
.16
,0
2
attt
t
Переходим к равносильной системе





+−=+−
≥
>
222
216
,
,0
aatttt
at
t
⇒





−=−
≥
>
.1)3(2
,
,0
2
aat
at
t
Очевидно, при 3=a уравнение системы не имеет решения.
Если 3≠a , то тогда







−
−
=
≥
>
.
3
1
,
,0
2
a
a
t
at
t
Следовательно, нужно проверить условия 0>t и at ≥ . То есть






≥
−
−
>
−
−
a
a
a
a
a
)3(2
1
,0
)3(2
1
2
2
⇔






≥
−
−+−
>
−
−
.0
)3(2
16
,0
)3(2
1
2
2
a
aa
a
a
решая из системы первое неравенство, получаем что ( ) ( )+∞∪−∈ ;31;1a .
16

17. Решением второго есть ] ( )223;3223;( +∪−−∞ . Решением системы будет
пересечение интервалов, а, именно, ( ] ( )223;3223;1 +∪−−∈a .
Ответ. Если ( ] ( )223;3223;1 +∪−−∈a , то )3(2
1
log
2
2
−
−
=
a
a
x ;
при остальных значениях параметра a уравнение решений не имеет.
Пример. Решить уравнение xtgmmxxxm 22222
53cos)cos5(sin +=− .
Решение. Имеем xtgxmxxm 222
53cos)cos5(sin +=− .
Достаточно рассмотреть три случая:
1. Ζ∈








=∈⇒= + kRDxm kf ,/0
2
π
π
.
2. 0>m .
xtgxxx 222
53coscos5sin +=− .
.02cos5cos18
,cos25)cos61(
,sin5cos3)cos5(sin
24
222
22222
=−−
−=−
+=−
xx
xx
xxxx
Делая замену 10,cos2
≤≤= ttx , получаем, что
2
1
cos2
=x или
2
2
cos ±=x . То
есть Ζ∈+±= nnx ,2
4
3
π
π
или Ζ∈+±= nnx ,2
4
π
π
. Проверим, являются ли найденные
значения переменной корнями. Подставляя значения переменной в уравнение,
получаем, что Ζ∈+±= nnx ,2
4
π
π
не подходит, тогда корнями являются значения
Ζ∈+±= nnx ,2
4
3
π
π
.
3. 0<m
,53coscos5sin 222
xtgxxx +=+−
.011sin31sin18
,sin23)sin65(
22
222
=+−
+=−
xx
xx
Делая замену 10,sin2
≤≤= ttx , получаем
2
1
sin2
=x или
2
2
sin ±=x .
Аналогично, как и при 0>m , проверкой устанавливаем, что только
17

18. Ζ∈+−= mmx ,2
4
π
π
и Ζ∈+±= mmx ,2
4
3
π
π
не являются корнями. Тогда
Ζ∈+= mmx ,2
4
π
π
является корнем. Итак,
Ответ. При 0<m , Ζ∈+= mmx ,2
4
π
π
;
при Ζ∈








=∈= + kRDxm kf
,/,0
2
π
π
;
при 0>m , Ζ∈+±= nnx ,2
4
3
π
π
.
Пример. Найти наименьшее целое значение параметра а, при котором
уравнение a
xx
=+
cos
1
sin
1
(0 < х < 2
π
) имеет решение.
Решение.
По условию 1 > sinx > 0 ⇔ 1 < xsin
1
< + ∞ ,
1 > cosx > 0⇔ 1 < xcos
1
< + ∞ ,
Следовательно, 2 < а < + ∞ .
Возводя обе части заданного уравнения в квадрат, имеем:
2
cos
1
sin
1






+
xx
= а2 ⇔
xxxx 22
cos
1
cossin
2
sin
1
+
⋅
+ = а2 ⇔
⇔
xxxx cossin
2
cossin
1
22
⋅
+
⋅
= а2
.
Введем переменную z = xx cossin
1
⋅
. Тогда исходное уравнение примет
вид:
z2
+ 2z – а2
= 0. Оно имеет решение при любом а, поскольку его
дискриминант
D = 1 + а2
положителен при любом а.
Учитывая, что 2 < а < + ∞ , заключаем, что наименьшее целое значение
параметра а, при котором заданное уравнение имеет решение равно 3.
Ответ. 3.
18

19. 4.2 Параметр и количество решений уравнений, содержащих параметр
Выделим класс задач, где за счет параметра на переменную накладывается
какие-либо ограничения. Для таких задач характерны следующие
формулировки:
• «При каком значении параметра уравнение имеет одно решение, два
решения, бесконечно много, ни одного»;
• Решением уравнения (неравенства, системы) является какое-то
подмножество множества действительных чисел и другие.
Пример. Найти количество различных решений уравнения 05225 =+⋅− axx
.
Решение. Данное уравнение – показательное. Обозначим через m
количество различных решений уравнения. Сделаем замену неизвестной,
обозначив 0,5 >= tt x
. Тогда уравнение примет вид 022
=+− att . Решение
данного квадратного уравнения зависит от знака дискриминанта aD 44 −= .
Рассмотрим возможные случаи:
1) Если 044 >−= aD , т.е. 1<a то уравнение имеет два различных корня
at −−= 111 и at −+= 112 , причем оба корня должны быть положительными.
Найдем такие значения a, при которых корни положительны, учитывая условие
1<a , и решим уравнение x
t 5= при таких a:
а) 01 >t ⇔



<
>−−
.1
,011
a
a
⇔ 10 << a .
Таким образом, при 10 << a уравнение примет вид: ax
−−= 115 . Тогда
)11(log5 ax −−= .
б) 02
>t ⇔



<
>−+
.1
,011
a
a
⇔ 1<a
Таким образом, при 1<a уравнение примет вид: ax
−+= 115 . Тогда
)11(log5
ax −+= .
2) Если 044 =−= aD , т.е. 1=a то уравнение имеет одно решение 01 >=t .
Сделав обратную замену 15 =x
найдем решение 0=x .
3) Если 044 <−= aD , т.е. 1>a то уравнение не имеет решений.
19

20. Ответ. Если 1>a то 0=m , если ( ]0,∞−∈a или 1=a , то 1=m , если
( )1,0∈a , то 1=m .
Пример. При каких значениях параметра a уравнение
)12(log2)32(log 2
42
2
42
++=+− ++
xxxx axax .
имеет единственное решение?
Решение. Запишем равносильное уравнение.
)12(log)32(log 2
42
2
42
++=+− ++
xxxx axax .
Теперь перейдем к следствию 1232 22
++=+− xxxx . Откуда 11
=x , 22
=x .
Возникла ситуация, которая дает нам возможность воспользоваться
механизмом отсеивания корней.
Область определения исходного уравнения найдем из условий







≠+
>+
>++
>+−
.142
,042
,012
,012
2
2
ax
ax
xx
xx
Очевидно, 1x и 2x удовлетворяют первым двум условиям. Тогда для
единственности решения достаточно потребовать










=+
≤+
≠+
>+










=+
≤+
≠+
>+
.142
,042
,142
,042
.142
,042
,142
,042
1
1
2
2
2
2
1
1
ax
ax
ax
ax
или
ax
ax
ax
ax
Найдем решение первой системы, преобразуем ее.












−=
−≤
−≠
−>
.
4
3
,1
,
2
3
,2
a
a
a
a
Имеем, что решением первой системы является объединение интервалов






−∪




−−∪





−−
4
3
1;
2
3
2
3
;2 .
Вторая система решения не имеет.
20

21. Ответ.






−∪




−−∪





−−∈
4
3
1;
2
3
2
3
;2a .
Пример. Указать целое значение параметра p, при котором уравнение
р cosx – 2sinx = 2 + р−2 имеет решение.
Решение: р ≥ 0; 2 – р ≥ 0 ⇔ р ≤ 2; объединяя допустимые значения
параметра р, имеем:
0 ≤ р ≤ 2.
При р = 0 исходное уравнение принимает вид – 2sinх = 2 2 ⇔ х
принадлежит пустому множеству ( в силу ограниченности синуса).
При р = 1 исходное уравнение принимает вид:
cosx-2sinx = 2 +1.
Максимальное значение разности (cosx-2sinx) составляет
( )[ xx sin2cos5 − = (- sinx – 2cosx) = 0 ⇔ tgx = -2, при этом sinx =
sin (arctg(-2)) = 5
2−
, cosx – 2sinx = ]5 , что меньше 2 +1.
Следовательно, при р = 1 уравнение решений не имеет.
При р = 2 исходное уравнение принимает вид
2sin2cos2 =− xx .
Максимальное значение разности xx sin2cos2 − составляет 6 при х =
arctg(- 2 ) (при этом sinx =
3
2−
, cosx = 3
1
). Поскольку 6 > 2 +1, то
уравнение xx sin2cos2 − = 2 будет иметь решение.
Ответ: 2.
4.3 Параметр и свойства решений уравнений, содержащих параметр
В этом пункте мы рассмотрим задачи, в которых условие требует, чтобы
ответ был каким-либо наперед заданным подмножеством или идут ограничения
на множество значений переменной х.
21

22. Пример. Найдем значения параметра n, при которых уравнение 15·10 х
– 20
= n – n · 10х + 1
не имеет корней?
Решение.
Преобразуем заданное уравнение:
15·10х
– 20 = n – n · 10х + 1
;
15·10х
+ n· 10х + 1
= n + 20;
10х
·(15 + 10n) = n + 20;
10х
= n
n
1015
20
+
+
.
Уравнение не будет иметь решений при n
n
1015
20
+
+
≤ 0, поскольку 10 х
всегда
положительно.
Решая указанное неравенство методом интервалов,
имеем: n
n
1015
20
+
+
≤ 0; (n + 20)·(15 + 10n) ≤ 0; - 20 ≤ n ≤ - 1,5.
Ответ: [ ]5,1;20 −− .
Пример. Найдем все значения параметра а, при которых уравнение
lg2
(1 + х2
) + (3а – 2)· lg(1 + х2
) + а2
= 0 не имеет решений.
Решение.
Обозначим lg(1 + х2
) = z, z > 0,
тогда исходное уравнение примет вид: z2
+ (3а – 2) · z + а2
= 0.
Это уравнение – квадратное с дискриминантом, равным
D = (3а – 2)2
– 4а2
= 5а2
– 12а + 4.
При дискриминанте меньше 0, то есть
при 5а2
– 12а + 4 < 0 выполняется при 0,4 < а <2.
Ответ: (0,4; 2).
4.4 Параметр как равноправная переменная
Во всех разобранных задач параметр рассматривался как фиксированное,
но неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это
22

23. переменная, причем равноправная с другими. Подобная интерпретация,
естественно, формирует еще один тип (а точнее метод решения) задач с
параметрами.
Пример. Указать все значения параметра a , для которых уравнение
xxaa sinsin =++ имеет решение?
Решение. Обозначим 1sin ≤= ttx . Исходное уравнение ttaa =++ , с
учетом 1≤t , равносильно системе





≥
≤≤
−=+
.
,10
,)(
2
22
at
t
atta
Рассмотрим квадратное уравнение, относительно параметра a
0)12( 422
=−++− tttaa .
Найдем дискриминант рассматриваемого уравнения
2424422
)12(4414444)12( +=+−++=+−+= ttttttttD .
ttaилиtt
tt
a −=++=
+++
= 22
2
1
2
1212
, так как at ≥2
и 10 ≤≤ t , то
012
>++− tat . Поэтому последняя система равносильна



≤≤
−=
.10
,2
t
tta
Рассмотрим функцию tty −= 2
. Вершина параболы – есть точка с
координатами 





−
4
1
;
2
1
. Минимум функции есть значение ординаты вершины
параболы. Поэтому можем утверждать, что параметр a принимает значения в
отрезке 



− 0;
4
1
на отрезке [ ]1;0∈t .
Ответ. .0
4
1
≤≤− a
4.5 Методы поиска необходимых условий. Использование симметрии
аналитических выражений
23

24. В тех случаях, когда непосредственный поиск значений переменной
затруднен, можно сначала выделить необходимые условия, а затем от
необходимых условий перейти к достаточным условиям.
Будем называть задачи, решаемые таким методом, задачами с поиском
необходимых условий.
Необходимые условия задач этого пункта:
1) В каждой задаче обязательно фигурирует аналитическое выражение,
геометрический образ которого имеет ось или плоскость симметрии.
2) Во всех задачах в той или иной форме присутствует требование
единственности решения.
Если описываемые задачи имеют решением координаты точки М, то
найдется симметричная точка М1, координаты которой тоже являются
решением, тогда точка М должна лежать (в силу единственности решения) на
оси симметрии, но заметим, что это требование не является достаточным.
Высказанные соображения и составляют основу одного из метода поиска
необходимых условий, о котором будет идти речь в следующих задачах.
Пример. При каких a уравнение
0)33arcsin()122(log 22
2 =+−+++−+ azyxzyx имеет одно решение.
Решение. При замене x на y (и наоборот) уравнение не меняет смысла,
поэтому если точка с координатами );( 00
yx – решение то и );( 00
xy – решение.
А так как в условии необходимо единственность решения, то yx = .
Тогда 0)6arcsin()14(log 2
2 =+−++− azxzx . Так как 0)6arcsin( ≥+− azx , то
11400)14(log 22
2
≤+−≤⇒≤+− zxzx , что возможно только для случая равенства
и при 2
4xz = . Тогда получаем 046 2
=−− axx . Откуда находим два корня
уравнения, а в силу единственности, дискриминант приравниваем к нулю и
получаем
4
9
=a .
Ответ. При
4
9
=a уравнение имеет одно решение.
24

25. 4.6 Свойства функций в задачах, содержащих параметр.
Функциональный подход
Учащиеся не всегда умеют сознательно использовать информацию о
свойствах функций, например, о ее множестве значений, непрерывности,
экстремумах и так далее.
Многие школьники лишь формально усваивают понятие производной, не
понимают ее геометрического смысла. Есть проблемы и при изучении понятий
первообразной и интеграла. Задачи, которые приведены ниже, призваны
пояснить школьнику смысл всех этих понятий и показать возможности их
применения.
Предложенные задачи классифицированы в зависимости от того, какое
свойство функции является основным в решении.
4.6.1 Наибольшее и наименьшее значения
При решении задач весьма полезным оказывается следующее
обстоятельство. Если в уравнении )()( xgxf = , где Xx∈ , axf ≥)( , а axg ≤)(
для всех Xx∈ , то можно перейти к равносильной системе уравнений



=
=
.)(
,)(
axg
axf
Пример. Решить уравнение ( ) ( ) 564
9
log23
2
log
22
−−+=++ aaxax
.
Решение. Произведем преобразование правой части.
( ) ( ) 563
2
log564
9
log
2222
−−+−=−−+ aaxaax
. Тогда наше уравнение будет иметь вид
( ) ( ) 563
2
log23
2
log
22
−−+−=++ aaxax
.
25

26. Оценим левую и правую части уравнения ( ) ( ) 1563
2
log23
2
log1
22
≤−−+−=++≤ aaxax
.
Тогда заключаем, что обе части уравнения должны быть равны единице и это
нас приводит к системе



=−−+
=++
.056
,02
22
aax
ax
Запишем равносильную систему



=−−+
=++
.056
,02
22
aax
ax
Выразим х из первого уравнения системы и подставим во второе
уравнение.



=−−
−−=
⇔



=−−+++
−−=
.0122
,2
,05644
,2
222
aa
ax
aaaa
ax
Решением последней системы будут






−−
=
+
=
,
2
35
,
2
31
x
a
и






+−
=
−
=
2
35
,
2
31
x
a
.
Тогда
Ответ. Если
2
31+
=a , то ,
2
35 −−
=x
Если
2
31−
=a , то
2
35 +−
=x .
Пример. Найти все действительные значения a , при которых область
определения функции
)sin4(log)5(log1)( 245245
xaxf aaaa
+−−−= −+−+
совпадает с множеством всех действительных чисел.
Решение. Область определения будет все действительные числа, если
функция будет определена, то есть задача состоит в нахождении значений
параметра a .
Для этого необходимо решить систему
26

27. 






≥





+
+
>−
≠−+
>−+
−+
.0
sin4
1
log
,05
,145
,045
245
2
2
x
a
a
aa
aa
aa
Учитывая условие 5<a , решением последнего неравенства будет являться
интервал ( )5;222 + .
Ответ. При ∈a ( )5;222 + условие выполняется.
4.6.2 Четность. Периодичность. Обратимость
Пример. Указать все значения параметра a , для которых уравнение
xxaa sinsin =++ имеет решения.
Решение. Пользуясь тем, что эта задача уже была решена, рассмотрим
сразу систему



≤≤
−=+
.10
,2
t
atta
Рассмотрим функцию aty −= 2
при 10 ≤≤ t . Отметим, что эта функция
обратима и обратной к ней является aty += . Так как функция возрастающая,
то общие точки лежат на прямой ty = . Получаем



≤≤
=−
10
2
t
tat
. Решение которой
нам известно.
Ответ. 0
4
1
≤≤− a .
Выскажем два соображения по поводу роли параметра в приведенных
примерах. Во-первых, искомые значения х выступали в роли зависимой
переменной, а параметр – независимой. Отсюда и возникло "расслоение"
решения с учетом определенных значений параметра. Во-вторых, условие задач
27

28. отводило параметру скромное место, – не ясно было, повлияет ли его
присутствие на ход решения.
Надеемся, что самостоятельное решение упражнений создаст неплохой
задел для дальнейшей работы.
28

29. ВИСНОВКИ
При решении приведенных выше задач с параметрами происходит
повторение и, как следствие, более глубокое прочное усвоение программных
вопросов. Ученики расширяют свой математический кругозор, тренируют
интеллект, при этом происходит развитие математического, логического
мышления, умения анализировать, сравнивать и обобщать. Решение задач с
параметрами – это помощь при подготовке к экзаменам. Происходит
формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность,
усидчивость, сила воли и точность.
При проведении исследования были решены следующие задачи:
1) проведен анализ действующих школьных учебников по алгебре с
целью выявления использования параметра и методов решения
уравнений с параметром. Проведенный анализ позволяет сделать
следующие выводы, что в каждом проанализированном учебнике
задания, содержащие параметр, используется для проверки знаний и
умений, приобретенных во время изучения той или иной темы.
Предлагаются задания творческого характера, требующие от
учащихся применения полученных знаний и умений в нестандартных
условиях;
2) выделены классы уравнений, содержащих параметр, и общие их
методы решения;
3) показано, что методы, изложенные в данной работе, применимы для
решения всех видов уравнений, содержащих параметр;
По завершению работы мы пришли к выводу, что эта тема должна
изучаться не только на дополнительных занятиях, но и в школьной программе,
так как она формирует логическое мышление и математическую культуру у
школьников. Учащимся знания по этой теме помогут подготовиться и сдать
внешнее независимое тестирование и вступительные экзамены в ВУЗы.
29

30. СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир «Задачи с параметрами». –
Москва – Харьков: "Илекса", "Гимназия", 2002 г.
2. Н.Ю. Глаголева «Задачи по математике для поступающих в вузы». – М.:
Просвещение, 1994 г.
3. В.В. Локоть «Задачи с параметрами». – Москва – Харьков: "Илекса",
"Гимназия", 2003 г.
4. Г.А. Ястребинецкий «Уравнения и неравенства, содержащие параметры».
– К.: Рад. шк., 1972 г.
5. Гусев В.А., Мордкович А.Г. «Математика: справ. материалы: Кн. для
учащихся. – М.: Просвещение, 1988 г.
6. В.С. Крамов «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и
начала анализа», М.: Просвещение, 1994 г.
7. «Математика. Решение задач повышенной сложности». – М.:
Просвещение, 2004 г.
8. А.П. Карп «Даю уроки математики…». – К.: Рад. шк., 1992 г.
9. Гайштут О. Г., Литвиненко Г. М. Розв’язування алгебраїчних задач. – К.:
Рад. шк., 1991.
10. Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных
экзаменов по математике. – М.: Наука, Главная редакция физико-
математической литературы, 1980.
11. Письменный Д. Т. Готовимся к экзамену по математике. – М.: Айрис,
1996.
12. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Учеб. пособие/
В. К. Егерев, Б. А. Кордемский, В. В. Зайцев и др.; Под ред. М. И. Сканави.
– 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1988.
13. Сборник конкурсных задач по математике с методическими указаниями и
решениями для поступающих в Харьковский авиационный институт.
Книга 2 / И. В. Брысина, А. В. Головченко, А. Г. Николаев, В. А. Рвачев,
30

31. Е.П. Томилова, Е. Г. Ушакова, В. В. Хоменко. – Харьков: Харьк. авиац. ин-
т, 1996.
14. Уравнения с параметрами. http://www.ref.by/refs/49/10079/1.html
15. Бурда М.И. Математика: учебник для 10 класса общеобразовательных
учебных заведений: уровень стандарта, 2010.
16. Г.П. Бевз, В.Г. Бевз Математика: учебник для 11 класса
общеобразовательных учебных заведений: уровень стандарта, 2010.
17. Шкиль М.И. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 класса
общеобразовательных учебных заведений, 2003.
31

32. ДОДАТКИ
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Решить уравнения с параметром. В ответе указать количество
различных решений их значения.
11
22525 −−
⋅+=+⋅ xx
aa
2. При каких значениях а уравнение 3 .
4(х – 2)
+ 27 = а + а .
4(х – 2)
имеет
решение?
3. Решить уравнение хаха
а 1
)2(
1
2
3
4322 =⋅ ++
+
(рассмотреть при всех
действительных значениях а).
РЕШЕНИЯ
2. 3 .
4(х – 2)
+ 27 = а + а .
4(х – 2)
3 .
4(х – 2)
– а.
4(х – 2)
= а – 27
4(х – 2)
(3 – а)= а – 27
Если 3 – а = 0, тогда а = 3 и уравнение принимает вид
4(х – 2)
= 3 – 27 или 4(х – 2)
= – 24, очевидно, что это уравнение не имеет
решений. Если а ≠ 3, тогда 4(х – 2)
= а
а
−
−
3
27
.
Это уравнение имеет решение при условии, что а
а
−
−
3
27
> 0 или 3 < a < 27.
Отсюда, х – 2 = log4
а
а
−
−
3
27
или х = 2 + log4
а
а
−
−
3
27
.
3. Решаем данное уравнение как обыкновенное показательное уравнение.
Областью определения будут являться хаха
а 1
)2(
1
2
3
4322 =⋅ ++
+
хаха
а 2
)2(
5
2
3
222 =⋅ ++
+
; хаха
а 2
)2(
5
2
3
22 =+
+
+
+
; хаха
а 2
)2(
5
2
3
=
+
+
+
+
;
0
)2(
)2(25)3(
=
+
+−++
ах
аах
;
Ответы
32

33. 1. 2 + log4
а
а
−
−
3
27
, где 3 < a < 27.
2. 3
12
+
−
а
а
при а ≠ – 2, а ≠ – 3, а ≠
2
1
; нет корней при а= – 2, а= – 3 и а = 2
1
.
33

34. ДОДАТКИ
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
При каждом значении параметра а указать, для каких х выполняется
неравенство:
а) а2
– 9х + 1
– 8.
3х .
а > 0;
б) а2
– 2.
4х + 1
– а.
2х + 1
> 0;
в) 4 2х + 1
– 65.
4х – 1 .
а + 1 > 0;
г) 4 х + 1 .
а2
– 33.
2х .
а + 8 > 0.
ОТВЕТЫ
а) При а = 0 неравенство не выполняется ни для одного х; при а > 0
неравенство выполняется для х < – 2 + log 3 a; при а > 0 неравенство
выполняется для х < log 3 ( – a).
б) При а > 0 неравенство справедливо при всех х < log2 a – 2; при а > 0
неравенство справедливо при всех х < log2 ( – a) – 1; при а = 0 неравенство
невозможно ни при каких х.
в) При а ≤ 0 неравенство справедливо при всех х; при а > 0 неравенство
справедливо при всех х > log4 а
1
; а также при всех х < log4 а16
1
.
г) При а ≤ 0 неравенство справедливо при всех х; при а > 0 неравенство
справедливо при всех х >3 – log2 а; а также при всех х < – 2 – log2 а.
34

35. ДОДАТКИ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
1. Решить уравнение loga х+4 + 3 log 2
а (4 – x) – 3 log 4
а (16 – x2
)2
=2. При
каких значениях а уравнение имеет решение?
2. При каких значениях р уравнение lg (х2
+ 2рх) – lg (8х – 6р – 3) = 0 имеет
единственный корень?
3. При каких значениях параметра а уравнение ( 2х – а )log2х = 0 имеетровно
один корень?
4. При каких значениях а уравнение 2 lg (х + 3) = lg (ах) имеет единственный
корень?
5. lg 2х + lg (2 –х) = lg lg р. При каких значениях р уравнение имеет
решение?
6. Решить уравнения с параметром. В ответе указать количество различных
решений их значения axx ln)2ln(2ln =−+
7. Решить уравнения с параметром. В ответе указать количество различных
решений их значения 1)6ln(ln2
=−− xx
a
8. Определить, при каких значениях параметра а уравнение имеет ровно два
решения.
а) log3(9х
+ 9а3
) = х;
б) log2(4х
–а) = х;
в) 0)4(log 3
2
1 =++ aх x
;
г) 0)29(log
3
1 =−+ aх x
Ответы.
1. х = 4 – а2
при 0 < a < 1 и 1 < a < 2 2 .
2. При р = 1 и при р 





−−∈
22
3
;
2
1
.
3. При а = 2 или при а ≤ 0
4. При а = 12 и при а ( )0;∞−∈ .
35

36. 5. 1 – plg5,01 − ; 1 + plg5,01 − , где 1 < p ≤ 100.
8. а) 0 < a < 3
36
1
; б) – 4
1
< a < 0; в) 0 < a < 3
4
1
; д) – 8
1
< a < 0.
36

37. ДОДАТКИ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
1. При каких значениях параметра a уравнение 3 sin x − 4 cos x = a имеет
корни?
2. Найдите все значения a, при которых уравнение 7 sin x + 3 cos x = a
имеет решения.
3. При каких значениях параметра a уравнения sin6 x + cos6 x = a имеет
корни?
37