Двогранний, тригранний і многогранний кути

2. Мета
Сформувати уявлення про многогранні кути у
просторі.
Вивчити означення двогранного та тригранного
кутів.
Навчитися будувати зображення двогранних та
тригранних кутів.
Навчитися розв'язувати задачі з використанням
многогранних кутів.

3. Двогранним кутом називається фігура,
утворена двома півплощинами із спільною
прямою, що їх обмежує.
Півплощини називаються гранями, а пряма,
що їх обмежує, - ребром двогранного кута.

4. Задача 1. З точок А і В, які лежать на гранях двогранного кута, опущено
перпендикуляри АА1 і ВВ1 на ребро кута. Знайдіть довжину відрізка АВ,
якщо АА1=а, ВВ1=b, А1В1=с і двогранний кут дорівнює а.
Дано: двогранний кут дорівнює а, А і В – точки, які лежать на
гранях двогранного кута, А1В1 - відрізок, лежить на ребрі
кута, АА1┴ А1В1, ВВ1┴А1В1, АА1=а, ВВ1=b, А1В1=с
Знайти: АВ.
Розв'язок.
Проведемо прямі А1С та ВС такі, що А1С// ВВ1, ВС//А1В1, тоді А1В1ВС - паралелограм,
отже А1С=ВВ1=b.
А1В1 ┴ АА1, А1В1 ┴ СА1, тоА1В1┴(АА1С). Так як А1В1 //ВС, то ВС ┴(АА1С), отже ∆АВС –
прямокутний, ∟С = 900
.
За т. косинусів АС2
= АА1
2
+ А1С2
- 2АА1А1Сcosα = а2
+ b2
– 2а b cosα.
За т. Піфагора АВ =
Відповідь:
22222
cos2 cabbаВСАС +−+=+ α
222
cos2 cabbа +−+ α

5. Задача 2
Відповідь: 7 см.
З точок M і N, які лежать на гранях
двогранного кута, опущено
перпендикуляри MM1 і NN1 на ребро кута.
Знайдіть довжину відрізка АВ,
якщо MM1= 4см, NN1= 3см, M1N1= 6см
і двогранний кут дорівнює 600
.

6. Тригранним кутом (abc)- називається фігура,
яка складається з трьох плоских кутів (ab), (bc) i
(ac) .
Ці кути називаються гранями тригранного кута,
а їх сторони – ребрами. Спільна вершина плоских
кутів називається вершиною тригранного кута.

7. Многогранний кут

8. Задача 3. У тригранному куті (abc) двогранний кут при ребрі с прямий, двогранний кут при
ребрі b дорівнює κ (κ< ), а плоский кут (bc) дорівнює γ (γ < ). Знайдіть два інших
плоских кути: α=‫(ے‬ab), β=‫(ے‬ac).
Дано: (abc)–тригранний кут, ‫ے‬АСВ= 900
, АС┴с,
АВ┴b, ‫ے‬АВС= κ, ‫ے‬ СОВ= γ.
Знайти: ‫ے‬АОВ, ‫ے‬ АОС.
Розв'язок.
АС┴с, АВ┴b, ‫ے‬АСВ=900
, то за теоремою про три
перпендикуляри СВ┴ b.
Отже ∆ОАВ, ∆ОСВ, ∆АОС і ∆АВС – прямокутні, звідси:
Відповідь: , .

9. Що таке двогранний кут (грань кута,
ребро кута)?
Що таке лінійний кут двогранного кута?
Поясніть, що таке тригранний кут (грані
та ребра тригранного кута)?
Поясніть, що таке плоскі та двогранні
кути тригранного кута?

10. Що таке двогранний кут (грань кута,
ребро кута)?
Що таке лінійний кут двогранного кута?
Поясніть, що таке тригранний кут (грані
та ребра тригранного кута)?
Поясніть, що таке плоскі та двогранні
кути тригранного кута?