1. УЛАМЖЛАЛ ОЛОХ ҮНДСЭН ДҮРЭМ
D муж дээр тодорхойлогдсон y = функц авч х€D байх х-ийн хувьд =lim
Хязгаар үршин байвал түүнийг х цэг дээр улатжлал гэж нэрлээд
тэмдэглэдэг тухай 10-р ангид үзсэн билээ.
Функцийн улатжлалын талаар 10-р ангид үзсэн үндсэн тэдлэгээ сэргээн саная.
1.Зарим элетентар функцийн уламжлал
№ Функц Уламжлал Тайлбар
1 у=С у’=0 Зэрэгт функцийн уламжлал,
2 у=х у’= αxα-1 α-тогтмол тоо.
3 у=sinх у’=cos х
4 у=cosх у’=-sinх
5 у=tgх 1
у’= —— тригометр функцийн
cos2х уламжлал
6 у=ctgх 1
у’= - ——
sin2 х
2. Уламжлал олох дүрмүүд
№ Дүрэм Тайлбар
1 [c·ƒ(X)]’=c·ƒ(X) Тогтмол үржигдэхүүнийг уламжлалын
тэмдгийн гадна гаргах
2 [ƒ(x)±g(x)] =ƒ (x) ±g (x) Нийлбэр , ялгаврын уламжлал
3 [ƒ(x)· g(x)] =ƒ (x)g(x)+± g (x)ƒ (x) Үржвэрийн уламжлал
4 ƒ(x) ƒ (x)g(x)-g (x)ƒ(x)
[ —— ] = ————————— Ноогдворын уламжлал
g(x [g(x)]²
5 [ƒ(φ(x))] =ƒ (φ(x))φ (x) Давхар функцийн уламжлал

2. 1-р жишээ. Дараах функцүүдийн уламжлалыг олоорой.
1 4 1
а) у=3х3-7х+10 б) у=—3√x²- —— +—
4
2 √х3 3
1
в) у=5 cos х +8tgх-√3 г) у= - — sinх-ctg х+5
√2
1 4х²– 1
д) у=(√х+— ) cos х е) у=———
√x sinх
ж) у=(5х–8)9 з) у=3√2007х3–5х
а) у=3х3-7х+10
У =(3х3-7х+10) = (3х3) -( 7х) + (10) = (3х3) -( 7х) +0=9х²-7.
1 4 1
б) у=—3√x²- — + —
4
2 √х3 3
1 1 1 3 1 1
У = — (х) -4·(х) + (—)= — х3-4·(- —)х= —— + ——
2 3 3 4 33√x х4√х3
в) у=cosх+8tgх+ -√3
1 1
у =5(sinх)+8(———) – 0 = - 5sinх+ ———
cos2х cos2х
1
г) у=- — sinх – ctgх+5
√2

3. 1 1 1 1
У = - — cosх - ( - ——— ) = - ——cosх + ———
√2 sin2х √2 sin2х
1
д) у=( √х+ —— ) cosх
√х
1 1 1 1 1
У =( √х+ —— ) cosх+( √х+ —— )( cosх) = ( —— - —— ) socх - ( √х+ —— )sinх =
√х √х 2√х 2√х √х
х–1 х+1
——— cosх+ ———sinх
2х√х √х
4х2-1
е) У= ———
sinх
(4х2-1) sinх - (4х2-1)( sinх) 8х sinх - (4х2-1) cosх
У =———————————— = ————————————
sin²х sin²х
ж) у=(5х - 8)9
у=9(5х - 8)8·(5х - 8) =45(5х - 8)8
у=³√2007х³-5х=(2007х³-5х)
1 6021х² - 5
у= —(2007х³-5х) (2007х³-5х) = ————————
3 3³√(2007х³-5х)²
Мэдлэг
Давхар функцийн уламжлал:
[ƒ(φ(x))] =ƒ (φ(x))·φ (x)
(sin³x) =3sin²x·(sinx)

4. ТРИГОНОМЕТР УРВУУ ФУНКЦҮҮДИЙН УЛАМЖЛАЛ
а) У=arcsin х функцүүдийн уламжлал
ƒ(u)=sin u,φ(x)=arcsin гэж тэмдэглэвэл ƒ(φ(x))=sin(arcsinx)=x гэсэн адитгал биелнэ
ƒ (u)=cos u байдгийг тооцож ƒ(φ(x)) =х адитгалын хоѐр талаас уламжлал аваарай.
[ƒ(φ(x)) ] =х буюу ƒ (φ(x))φ( x)=1.эндээс φ (x)=(arcsinх) уламжлалийг олоорой
1 1 1
(arcsinх) φ (x) = ———— = —————————— = ————
ƒ(φ(x)) √1-sin²(arcsinх) √1-х²
Дүгнэлт 1.У=ƒ(x) ба У= φ(x)
Функцүүд харилцан урвуу буюу
1
ƒ(φ(x))=х бол φ (x)=———
ƒ(φ(x))
1
2.( arcsinх) ———
√- x²
Мэдлэг
У=φ (x),У=ƒ(x) функцүүд
харилцан урвуу бол
1
φ (x)=———— (А)
ƒ (φ(x))
Энэ дүгнэлтийг ашиглан б) У=arcsinх; в) У=arctgх; г) У= arcctgх фүнкцүүдийн
уламжлалыг олоорой.
б)ƒ(x)=cosх, φ(x)=arccosх гэсэн харилцан урвуу функцүүд
1 1 1
ƒ (x)=sinх ба (А) томѐогоор: (arccosх) = φ (x)= ——— = —————— = ——————
ƒ (φ(x)) -sin( arccosх) -√1-
cos²(arccosх)

5. 1
= - ———
√1-x²
1 1
ƒ(x)=tgх, φ(x)=arctg х бол ƒ (x)= ——— тул (А) томѐогоор( arctg х)=φ( x)= ———=
cos²х ƒ (φ(x))
1 1 1
= —————— = cos² ( arctg х)= ——————— = ———
1 1+tg²( arctg х) 1+х²
——————
cos²( arctg х)
1
г) ƒ(x)= ctg х, φ(x)= arcctg х гэж авбал ƒ(x)= ——— тул (А) томѐогоор( arctg х) = φ (x)
sin²х
1 1 1
= - —————— = sin²( arctg х)= - ——————— = - ——— болно.▲
1 1+ctg² (arcctgx) 1+ х²
- (————)
sin²( arcctg х)
Ийнхүү тригонометр урвуу функцийн уламжлалыг эмхэтгэн бичвэл:
1 1
( arcsinх) = ———; ( arctg х)`= ———
√1- х² 1+ х²
1 1
(arccosх)= - ———; (arcctgx)= - ———
√1- х² 1+ х²

6. 2-р жишээ. Дараах функцүүдийн уламжлалыг олоорой
а) У=sinх+3 arcsinх б) У=arccos2х + х²
arcsinх
в) У= arctg(3х - 1)+ arcctgx(1- 2х) г) У=4tgx + ————
arccosх
д) У=(3 х² - 2х + 1) arccosх
3
▲. а) У= sinх+3 arcsinх; У`=(sinх)` +3 (arcsinх)`= cosх+————
√1- х²
б)У=arccos2х+ х². Уламжлал авах дүрэм ба давхар функцийн уламжлал
ашиглан

7. 1. +k+1 ) - -k-1)
A) 120 B)130 C) 140 D) 150 E) 160
2. F(x)=2x ба f(x0)=3f(2) бол х0 уртыг ол .
А )4+ log23 B) 2+log32 C) 2+log23 D) 3+log23 E) 0
3. =?
a)5 B) c) D) 15 E)1
4. =(1; -2), b=(-2;2) бол - )=?
a) 18 b)13 B) 14 C) 16 E) 17
5. Кубын гол диагональ 10см бол эзэлхүүнийг ол?
a) 1000 b) c) 1000 d) e)
6. b1 , b2, b3 , b4 тоонууд геомемр прогрессын дараалсан гишүүд ба харгалзан 6,7,6,1-г нэмбэл
арифметик прогресс үүснэ b1+b2+b3+b4 нийлбэрийг ол.
a) 30 b) 40 c) 50 d)60 e) 100
7. A, B, C цэгүүд бөмбөрцөг дээр байрлах ба төвөөс (ABC хавтгай хүрэх зай 12м, А,В 6м, ВС 8м,
АС 18м бол бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайг ол.
a) 676 b) 484
8. 0.5 хувийн давсны 40л ба 2 хувийн 50м уусмалуудаас 1,5 хувийн 30л уусмал гаргаж авахын
тулд тус бүрээс нь хичнээн литрийг авч холих вэ?
a) 10,20 b) 15,15 c) 14,16 d) 25,5 e) 28,2
9. =x+4
a)-6 b) -6,-3 c) -6,-1 d) -1 e) -6,-2
x-1
10. 4 +( тэнцэтгэл биш хэдэн бүхэл тооны шийдтэй вэ?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)15

8. 1. F(x) =x3+3x2-9x-1 функцийн хамгийн их утгыг {-4;- } загвар дээр ол.
А. 26 Б. 19 В. 30 Г. 15
2. y=x4+x3 функц х-ийн ямар утганд [-1;-0.5] загвар дээр хамгийн бага утгаа олох вэ?
a) -0.5 b) -1 c) - d) -1
3. Тэгш өнцөгтийн талбай 25 см байв. Энэ тэгш өнцөгтийн хамгийн бага байх приметрийг ол.
А) 18cм b) 12.5 см c) 40 см d)20см
4. Адил хажуут гурвалжин приметр 60см байв.Гурвалжин суурьт татсан өндөр ямар байхад
гурвалжны талбай хамгийн их байх вэ?
a) 18 см b) 10 c) 20см d) 12см
5. f(x) =-x2+6x+c функцийн хамгийн бага утга 7, харин с-ийн утга 6-с 25%-р бага бол 6-ийн
эерэг утгыг ол.
а.2 b.4 c. 7 d.3
6. f(x)= функцийн утгын мужийг -1 үед ол.
А. [-1.5; ] b. [- ; ] c. [- ; ] d. [- ; ]
7. f(x)= функцийн хамгийн их уртыг [ ; давхар дээр ол?
a) 1.5 b) d) 2
8. f(x)=-x функц өгөгджээ. Хэрэв max f(a)=5 бол а b -г ол?
a) -2 b) x=0 c) x=1 d) x=2
9. тэгшитгэлийг бод?
А. b.x=0 c. X=1 d. x=2
10. f(x)= функц өгөгджээ. Хэрэв {min f(x)=-0.3 бол a- г ол.
a) -3 b) -2 c) -2.5 d) -3

9. Илтгэгч, логарифм функцийн уламжлал
I бүлэгт хn =(1+ )n дарааллын хязгаар байдаг тухай авч үзсэн
билээ.Энэ хязгаар нь функцийн хувьд х байх үед мөн
хүчинтэй, =e. Энэ хязгаарыг 2-р гайхамшигт хязгаар гэдэг. Энэ
хязгаарт гэсэн орлуулга хийвэл x үед тул 2-р
гайхамшигт хязгаар =lim =e хэлбэртэй байна.
Логарифм функцийн уламжлал.
F(x)=logax функцийн уламжлалыг тодорхойлолт ашиглана бодвол
F(x)= = =
( )= )= loga(1+ )
x
= = logae= Иймд (logax)/= байна.
Үндсэн элементар функцуудийн уламжлалын хүрд
№ функц уламжлал
1 У= y/=
2 Y=sinx y/=cos x
3 Y=cos x y/=-sin x
4 Y=tg x y/=
5 Y=arcsin x y/=

10. № Функц Уламжлал
6 Y=arcsin x y/=-
7 Y=arcos x y/=-
8 Y=arctg x y/=-
9 Y=arcctg x y/=-
10 Y=logax y/=
11 Y=ax y/=axln a
Y=ex
Уламжлалын зарим хэрэглээ
1 Шүргэгч шулууны тэгшитгэл.
Y=f(x) функцийн графикийн m0(x0;f(x0)) цэгт татсан шүргэгч шулууны өнцгийн
коэффицициент буюу абсцисс тэнхлэгийн эерэг чиглэгтэй үүсэх өнцгийн тангенс
k=tg =f/(x0) нь f(x) функцийн x=x0 цэг дээрх уламжлалтай тэнцүү.
2 уламжлалыг ойролцоо тоололд хэрэглэх
Y=f(x) функцийн x=x0 цэг дээрх уламжлал f/(x0) оршиж байвал хангалттай бага
/
үед f(x0+ 0)+F (X0) x томьѐо хүчинтэй.
3 уламжлалын физик хэрэглээ
Ямар нэг хөдөлж буй биеийн хугацааны [0,t] завсарт туулсан замын хэмжээг S=S(t)
гэж хугацаанаас хамааран тэмдгэвэл, t агшин дахь хурд u(t) =S/(t) гэж замаас
хугацаагаар авсан уламжлалтай тэнцүү, мөн t агшин дахь хурдатгал a(t) = u/(t)
байдаг билээ.