семинар 8

Семинар 7 Сэдэв: Функцийн дифференциал. Тухайн уламжлалууд Функцийн тухайн уламжлал lim∆x->0∆xz∆x =∂fx0,y0∂x Мөн үүний адилаар fx,y функцийн М0( х0, у0) цэг дээр у – ээр авсан тухайн уламжлалыг тодорхойлбол, lim∆y->0∆yz∆y = lim∆y->0fx0, y0+∆у- f(x0,y0)∆y = ∂fx0,y0∂x Санамж: fx,y функцийн M(x,y) цэг дээрх тухайн уламжлалууд нь М – цэгийн координатаас хамаарах тул мөн хоёр хувьсагчийн функц болно. Олон хувьсагчийн функцээс аль нэг хувьсагчаар нь авсан тухайн уламжлалыг олохдоо, бусад хувьсагчдыг тогтмол гэж тооцоод ердийн уламжлалын дүрэм ба томъёог ашиглана. Жишээ fx,y= x2y-3y2+5x функцийн тухайн уламжлалуудыг ол. Бодолт. Тухайн уласжлал fx'x,y-г олохдоо y - хувьсагчийг тогтмол гэж үзэж (y=const), fx,y функцээс х – ээр ердийн уламжлал авна. Иймд, fx'x,y=x2y-3y2+5xx'=2xy-0+5=2xy+5 Үүнтэй төсөөтэйгээр fx'x,y-г олбол: fy'x,y=x2y-3y2+5xy'= x2-6y+0=x2-6y Жишээ fx,y=x+y-x2+y2 бол fx'3,4-г ол. Бодолт. fx'x,y= ∂fx,y∂x=x+y-x2+y2x'=x+yx'-x2+y2x'=1+0-12x2+y2 x2+y2x' =1+хx2+y2, Одоо x=3 , y=4 үед тухайн уламжлалын утгыг олбол: fy'3,4=1+хx2+y2 x=3 y=4 =1-332+42=25 Жишээ fx,y=x3cos2y бол тухайн уламжлалуудыг ол. Бодолт. fx'x,y=3x2cos2y, fy'x,y=-2x3cosy∙siny Функцийн бүтэн дифференциал Функцийг бүтэн дифференциалыг ∆z=∂fx,y∂xdx+∂fx,y∂ydy гэж тодорхойлно. Үүнтэй төсөөтэйгээр u=f(x1,x2,…xn) гэвэл n-хувьсагчийн функцийн бүтэн дифференциал du=∂fdx1dx1+∂fdx2dx2+…+∂fdxndxn хэлбэртэй байна. Жишээ: z=x2 cos(xy) функцийн бүтэн дифференциалыг ол. Бодолт: ∂z∂x=2xcos(xy)-yx2sin(xy),∂z∂y=-yx2sin(xy) dz dz=2xcosxy-yx2sinxydx-yx2sinxydy Жишээ. u=x+yz функцийн бүтэн дифференциалын утгыг x=1, y=-2, z=-1, ∆x=0,1, ∆y=0,2, ∆z=0,5 үед олъё. Бодолт. Функцийн тухайн уламжлалуудыг олбол : ∂u∂x=1z , ∂u∂y=1z, ∂u∂z=-x+yz2 Функцийн бүтэн дифференциал нь: du=1z∆x+1z∆y-x+yz2∆z болох ба үүнийг тухайн x=1, y=-2, z=-1, ∆x=0,1, ∆y=0,2, ∆z=0,5 утгууд дээр бодвол du=1-1∙0.1+1-1∙0.2-1-2-12∙0.5=0.2 Бүтэн диференциалыг ойролцоо тоололд хэрэглэх z= fx,y функц дифференциалчлагддаг болог. Тэгвэл функцийн бүтэн өөрчлөлтийг дараах хэлбэрт шилжүүлэн тавьж болдог. ∆z=dz+ε∙∆ρ буюу fx+∆x,y+y-fx,y=∂fx,y∂x∆x+∂fx,y∂y∆y+ ε∙∆ρ Нөгөө талаар lim∆ρ->0ε∙∆ρ=0 тул ∆x ба ∆y-ийн бага өөрчлөлтөнд функцийн бүтэн өөрчлөлтийг түүний бүтэн дифференциалаар ойролцоогоор сольж болдог. Өөрөөр хэлбэл, ∆z≈dz буюу fx+∆x,y+y-fx,y≈∂fx,y∂x∆x+∂fx,y∂y∆y Эндээс fx+∆x,y+y≈fx,y+∂fx,y∂x∆x+∂fx,y∂y∆y гэж гарна. Жишээ. 1,023,01 утгыг ойролцоогоор бод. Бодолт. z=xy функц сонгон авбал, олох гэж буй утга нь энэхүү функцийн 1, 3 цэг дээрх ∆x=0,02, ∆y=0,01 гэсэн аргументийн өөрчлөлттэй үеийн утга болно. Тэгвэл томъёо ёсоор (x+∆x)y+∆y≈xy+y∙xy-1∙∆x+xy∙lnx∙∆y болох харгалзах утгуудыг орлуулбал: 1,023,01≈13+3∙12∙0.02+13∙ln1∙0.01=1.06 Давхар функцийн уламжлал ба дифференциал z=Fu, υ функцийн u, υ хувьсагчууд нь x ба y -ээс хамаарсан функцүүд u=φx, y, υ=ψx, y гэж үзье. ∂z∂x=∂F∂u∙∂u∂x+∂F∂υ∙∂υ∂x Мөн үүнтэй төстэйгээр ∂z∂y=∂F∂u∙∂u∂y+∂F∂υ∙∂υ∂y Жишээ. z=sinu2-υ3, u=2x+y, υ=3x2y бол ∂z∂x ба ∂z∂y -ийг ол. Бодолт. ∂z∂u=2ucosu2-υ3, ∂u∂x=2, ∂u∂y=1 ∂z∂υ=-3υ2cosu2-υ3, ∂υ∂x=6xy, ∂υ∂y=3x2 Иймд, ∂z∂x=4ucosu2-υ3-18υ2xycosu2-υ3 ∂z∂y=2ucosu2-υ3-9υ2x2xycosu2-υ3 Жишээ. z=x2+y , y=sinx бол z' -ийг ол. Бодолт. ∂z∂x=2x , ∂z∂y=12y , ∂y∂x=cosx тул z'=∂z∂x=∂z∂x+∂z∂y∂y∂x=2x+12sinxcosx ,[object Object],y=yx тасралтгүй дифференциалчлагдах функц Fx,y=0 гэсэн хэлбэрээр далд өгөгдсөн болог. Тэгвэл y'=∂y∂x - г олох зорилго тавья. lim∆x->0∆y∆x=-lim∆x->0∂F∂x+α∂F∂y+β=--lim∆x->0∂F∂x+α-lim∆x->0∂F∂y+β=-Fx'x,yFy'x,y Иймд y'=Fx'x,yFy'x,y болно. Дасгал ба бодлого Өгөгдсөн функцуудын тухайн утгуудыг ол. ,[object Object]

Хэрэв z=xy+xeyx бол x∙∂z∂x+ y∙∂z∂y=xy+z болохыг харуул.

z=lnx2+xy+y2 бол x∙∂z∂x+ y∙∂z∂y=2 нөхцөл биелэхийг харуул.

семинар 8

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (11)

семинар 8