1. Алгоритмын хугацааны хүндрэлийг (time complexity) багасгах боломж
Ж.Дашдэмбэрэл
МУБИС-ийн КМТС-ийн Программчлалийн тэнхэм
Үндэслэл. Мэдээлэл зүйн олимпиадад,
уралдаан тэмцээнд оролцогчдын ихэнх нь
амжилт үзүүлэхгүй байх хэд хэдэн шалтгаан
байна. Энэ нь
1. Алгоритмын програмчлалын онолын мэдлэг
аргуудыг сайтар эзэмшээгүй. Графын онол,
сонгодог алгоритмууд, өгөгдлийн бүтэц г.м
2. Програмчлалын хэлний нэмэлт боломж,
класс, сан, өгөгдлийн төрөл функцүүдийг
бодлого бодоход ашиглахгүй байна
3. ЕБДС-ийн математикийн онолын мэдлэгийг
алгоритмд хэрэглэх талаар учир дутагдалтай
яаж хэрэглэх арга технологи эзэмшээгүй байна
4. Програмчлалын хэлний мэдлэг эзэмшихдээ
тухайн ойлголтод тохирсон бодлого жишээг л
эзэмшдэг. Эдгээрийг энэ бодлогын үр дүнг
олох цорын ганц алгоритм гэсэн ойлголт авдаг.
Иймд өгөгдлийн хэмжээ ихсэх үед яаж шийдэх
вэ гэдэг асуудал орхигдсоноос заасан
хугацаанд тухайн алгоритм биелэхгүйд хүрдэг.
Ингээд суралцагчид зөв бодсон боловч
(ялангуяа JudgeOnline дээр) бодлогын үр дүн
гардаггүйгээс шантарч эхэлдэг байна.
Зорилго. Бодлогыг бодохдоо өөрсдийн
математикийн мэдлэг, чадвар дээрээ
тулгуурлан бодлогын алгоритмыг хялбарчлах
арга зарим аргуудыг хялбар жишээгээр
үзүүлэх
Мөн 50 гаруй бодлогын ердийн аргаар (brute
force гэж нэрлэдэг) бодсон бодлогын хугацааг
математик хувиргалт хийж олсон хугацаатай
харьцуулж үр дүнг тооцох
Алгоритмыг тодорхой төгсгөлөг алхамын
дараа биелэж дуусдаг төгсгөлөг, алхам бүр
нэгэн утгатай тодорхой, оролтын өгөдлийг
зөв боловсруулан баталгаатай зөв үр дүн
гаргаж байхаар оролт гаралттай, хурдан
биелдэг үр ашигтай (efficient) байх ёстой.
Алгоритмыг суралцагчдад эзэмшүүлэхдээ үр
ашигтай байх чанарыг онцгой анхаарах
хэрэгтэй. Энэ чанар нь хоёр үндсэн
шалгууртай байна. Тухайн алгоритмыг
ашиглан бичсэн програм компьютерт хэр
хурдан хугацаанд биелэхийг илэрхийлэх
хугацааны шалгуур (time complexity), оролтын
янз бүрийн хугацаанд хамгийн ихдээ ямар
хэмжээний санах ой шаардахыг илэрхийлэх
санах ойн (space complexity) шинжилгээний
шалгууруудыг биелүүлсэн тохиолдолд
алгоритм үр ашигтай байна. Эдгээр
шалгууруудыг хамтад нь алгоритмын
тооцооны хүндрэл (computational complexity)
гэнэ.
Орчин үеийн компьютерийн хүчин чадал
хэдийгээр их болсон ч дунджаар 1 секундад 25
сая үйлдэл хийх боломжтой гэж үзвэл аливаа
алгоритмын давталтын тоо үүнээс хэтрэхгүй
байх шаардлагатай.
Алгоритмын биелэх хугацааг дээд хязгаараар
нь тооцох O(f(n)) - Big-O, доод хязгаараар нь
тооцох Ω(f(n)) -Big-Omega, O ба Θ -тэй
төстэй Ω (f(n))-Big-Theta, яг дээгүүрээ
зааглагдсан o(f(n))-Little-o зэрэг тэмдэглэгээ,
төрлүүд байна.
Ерөнхийд нь тухайн алгоритм биелэж дуусах
хүртлээ оролтын өгөгдлийн тоо (n)-оос
хамааран хичнээн давталт хийж байгааг
алгоритмын хүндрэл гэж үзээд болох ба
O(f(n)) гэж тэмдэглэдэг.
Жишээ нь алгоритм n ширхэг давталт хийгээд
биелэж байвал O(n) гэж тэмдэглээд шугаман
хүндрэлтэй алгоритм гэж нэрлэдэг билээ.
f(n) функцийн хэлбэрээс хамааруулан тухайн
алгоритмын хүндрэлийг нэрлэдэг.
O(nlogn) болон түүнээс бага зэргийн
хүндрэлтэй алгоритмаар бодогддог бодлогыг
хялбар (tractable) P ангийн, хялбар биш бол NP
(untractable) ангийн бодлого гэж ангилдаг.
Тухайлбал O(n!) бол биелэх боломжгүй юм.
Иймээс бодлогын зарим алгоритмыг шинжилж
хялбар алгоритм руу шилжүүлэх, эсвэл эрэмбэ
МУБИС-ийн КМТС-ийн Эрдэм шинжилгээний
бага хурлын илтгэлүүдийн эмхэтгэл (2012 он)

2. бууруулах зарим математик аргуудын талаар
тодорхой жишээн дээр авч үзье.
Өргөн хэрэглэгддэг хүндрэлүүд
1. Шугаман аргаар шийдэх
Жишээ. N хүртэлх 3 эсвэл 5-д хуваагддаг
тоонуудыг ол.
sum=0
for i=1 to n
if (i mod 3==0) or (i mod 5)=0
then sum=sum+i
output sum
Хугацаа: O(n)
учир
Function Div(n)
p=t/n
return n*(p*(p+1))/2
Output Div(3)+Div(5)-Div(15)
Хугацаа: O(n) → O(1)
Ямар нэг зүй тогтолтой тоонуудын хувьд
эхний гишүүдийн олсон зүй тогтол дээр
тулгуурлан ерөнхий томъёо гишүүний томъёо
гарган авч (O(1) хугацаанд биелнэ), индукцээр
батлаж ашиглах
Бодлого 3. Натурал тооны квадратуудын
нийлбэр ба нийлбэрийн квадратын ялгаврыг
ол.
FOR i=1 to n
S1=s1+i;
S2=s2+i*i;
Output s1*s1-s2
Хугацаа: O(n)
Бодолт. (1+2+3+…+n)2
-(12
+22
+…+n2
)
олохын тулд
томъёонуудыг ашиглавал бодлогын шийд S1-S2
болно.
Хугацаа: O(n) → O(1)
Тоон дарааллын элементүүдийг олох ерөнхий
аргыг олсон бол энэ аргаар олсон дарааллын
гишүүд дээр дахин анализ хийх зүй тогтолыг
ажиглах
Фибоничийн тооны n-р гишүүнийг ол.
Рекурсив функц ашиглан
Function Fib(n)
if n = 0 then return 0
if n = 1 then return 1
return fib(n−1)+fib(n−2)
гэж олдог. Энэ нь алгоритмын рекурсив функц
гэдэг ойлголтыг эзэмшихэд авч үздэг чухал
жишээ боловч NP алгоритм юм. n=100 үед
O(n) = O(n − 1) + O(n − 2) + 3 ≈ 1.6n
болох ба
n=200 үед O(200) ≥ 2139
болох юм.
Хугацаа: O(2n
)
2

3. Тэгвэл 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...
дараалалын 4 дэх тоо бүр нь нийлбэр тэгш
байна гэдгээс
F(n) = F(n-1) + F(n-2)= F(n-2)+F(n-3)+F(n-2)=
=2 F(n-2) + F(n-3)= 2(F(n-3)+F(n-4))+F(n-3))=
=3F(n-3) + 2 F(n-4)= 3 F(n-3) + F(n-4) + F(n-5)
гэж хувиргавал F(n) = 4 F(n-3) + F(n-6) болно.
A[1]=1 A[2]=1 A[3]=2
A[4]=3 A[5]=5 A[6]=8
for i=7 to n step 3
A[i]= 4*A[i-3]+A[i-6]
output A[n]
Хугацаа O(2n
) → O(n/3)
Олох утгуудын заримыг бусад утгаас нь
хамааруулж олоход тэнцэтгэл биш ашиглан
хязгаар олох буюу хязгаар тогтоох.
Жишээ . нь зөв бутархай бол хүртвэр нь q–
ээс хэтрэхгүй хуваарьтай бүх бутархайн хувьд
зүүн талаасаа хэд дүгээрт орших вэ.
Бүх бутархайг олоход хугацаа O((n+1)/2*n2
)
Бодолт.
Эдгээр нь натурал тоонууд учир тэнцэтгэлийн
баруун гар талын ихэсгэе.
Тэгвэл бидний олох бутархайн хүртвэр нь
байна.
for q = n; q > 2; step-1
p = (a * q - 1) / b;
if p * s > r * q
s = q; r = p;
endif
output q;
Хугацаа O((n+1)*n2
→ O(n)
Өөр өөр зүй тогтолтой тоонуудын огтлолцлыг
олохдоо орлуулга хийх, шийдийг олох
Бодлого 5 (73). N –ээс хэтрэхгүй хуваарьтай
хичнээн зөв бутархай байх вэ.
Бодолт. Дараах томъёогоор олж болно.
Мёбиусийн функц
Хугацаа - O(N)
Бодлого 6 (45). Тоон дарааллуудын ерөнхий
гишүүний томъёо өгөгдсөн бол ижилхэн
гишүүдийг ол. Олонлогийг огтлолцлыг ол
Triangle Tn=t (t+1)/2
1, 3, 6, 10, 15, …
Pentagonal Pn=p(3p-1)/2
1, 5, 12, 22, 35, …
Hexagonal Hn=h(2h-1)
1, 6, 15, 28, 45, …
Жишээ. T285 = P165 = H143 = 40755
For t=1 to n
For p=1 to n
For h=1 to n
k = t * (t + 1) div 2
IF k=p*(3p-1) div 2 and k == h *
(2*h-1) then
output k
Хугацаа O( n3
)
Бодолт. Бодлогын нөхцөл биелэх бүх
боломжит утгуудыг шалгавал хугацаа O(n3
)
болно.
Tn ба Hn –ийн хамаарлыг эхлээд тогтоое.
For k=1 to n
h=k*(2*k-1)
p=(1+sqrt(1+24*k))/6
if p=int(p) then output k
бүхэл шийд болж байна
Хугацаа O( n3
) O(n)-ээс хэтрэхгүй болно.
Практик судалгаа. Ингээд төрөл бүрийн
шинж чанартай тоо, дараалал, нийлбэрүүдийг
олох зэрэг 50 гаруй бодлогын ердийн аргаар
(brute force гэж нэрлэдэг) бодсон бодлогын
хугацааг математик хувиргалт хийж олсон
хугацаатай харьцуулж гаргалаа. Эдгээр
бодлогуудын хувьд дундажаар 25 дахин бага
хугацаа орсон байна.
.Дүгнэлт
3

4. Алгоритмын анхан шатны мэдлэг олгоход
хэрэглэдэг зарим жишээ бол зөвхөн тухайн
шинэ мэдлэг олгоход зориулсан шийдэл
гэдгийг анхаарч өөр хялбар алгоритм бий
гэдгийг суралцагчдад ойлгуулах бага ч гэсэн
санаа авах хэрэгтэй гэж үзэж байна.
Мөн алгоритмын үр ашигтай байх (efficient)
чанарыг онцгой анхаарч тэдэнд биелэх
хугацааг байнга тооцдог, хэрвээ биелэх
боломжгүй алгоритм болж байвал шинжилгээ
хийж зарим утгуудыг математик хувиргалтаар
олох буюу зүй тогтол, хязгаарыг тогтоох
боломж байгаа эсэхийг судлан үзэж
шийдвэрлэж brute force төрлийн стандарт
алгоритмуудыг байнга сайжруулж байх чадвар,
дадал эзэмшүүлэх шаардлага тавигдаж байна.
Алгоритмыг суралцагчдад
эзэмшүүлэхдээ алгоритмын үр ашигтай байх
(efficient) чанарыг онцгой анхаарч тэдэнд
биелэх хугацааг байнга тооцдог, хэрвээ NP
төрлийн алгоритм болж байвал шинжилгээ
хийж зарим утгуудыг математик хувиргалтаар
олох буюу зүй тогтол, хязгаарыг тогтоох
боломж байгаа эсэхийг судлан үзэж
шийдвэрлэж brute force төрлийн стандарт
алгоритмуудыг байнга сайжруулж байх
чадвар, дадал эзэмшүүлэх шаардлага тавигдаж
байна.
Ашигласан материал
4