Хэрэглээний математик

1. 1
БИЕ ДААЛТ: ЛЕКЦ № 1. Дифференциал тоолол.
Функцийн уламжлал.
);
(x
f
y = функцийн тодорхойлогдох мужаас ;
, x
x
x 
+ авч үзье. x
 -ийг
аргументийн өөрчлөлт гэнэ. Уг аргументийн өөрчлөлтөд харгалзах функцийн
өөрчлөлт );
(
)
( x
f
x
x
f
y −

+
=
 байна. (Зураг 1).
Зураг 1.
Тодорхойлолт: );
(x
f
y = функцийн x цэг дээрх аргументийн өөрчлөлт тэг рүү
тэмүүлж )
0
( →
x байх үед
x
y


харьцааны хязгаарыг );
(x
f
y = функцийн x цэг
дээрх уламжлал гэж нэрлээд )
(
' x
y ба )
(
' x
f гэж тэмдэглэнэ.
Ө.х. ;
)
(
)
(
lim
lim
)
(
'
'
0
0 x
x
f
x
x
f
x
y
x
f
y
x
x 
−

+
=


=
=
→

→

Жишээ 10: ;
2
x
y = функцийн уламжлалыг ол.
;
2
2
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
f
y

+


=
−

+


+
=
=
−

+
=
−

+
=

;
2
)
2
(
lim
2
lim
lim
'
0
2
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
y
y
x
x
x
=

+
=


+


=


=
→

→

→

Жишээ 11: ;
sin x
y = функцийн уламжлалыг ол.
;
2
2
cos
2
sin
2
2
)
(
cos
2
)
(
sin
2
sin
)
sin(
)
(
)
(





 
+





 
=
=





 +

+





 −

+
=
=
−

+
=
−

+
=

x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
f
y
;
cos
2
0
2
cos
2
2
cos
2
2
sin
lim
2
2
cos
2
sin
2
lim
lim
'
0
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
y
x
x
x
=





 +
=





 
+






 
=
=






 
+





 
=


=
→

→

→


2. 2
Уламжлалын дүрэм.
);
(
),
( x
v
v
x
u
u =
= нь уламжлалтай функцүүд ба c=const; бол
1. (c)’=0
2. x’=1
3. '
)'
( u
c
u
c 
=

4. '
'
)'
( v
u
v
u 
=

5. '
'
)'
( v
u
v
u
v
u 
+

=

6. 2
'
'
'
v
v
u
v
u
v
u 
−

=






7. )
(
),
( x
u
u
f
y 
=
= бол ;
'
'
'
'
' x
u
x
u u
y
f
y 
=

=  байна.
8. )
(
),
( y
x
x
f
y 
=
= нь харилцан урвуу функцүүд бол ;
'
1
'
y
x
f

= буюу
;
'
1
'
y
x
x
y = байна.
Жишээ 12: ;
sin
3
2
x
x
y = функцийн уламжлалыг ол.
;
sin
2
cos
3
2
sin
cos
3
)
(
)'
(
sin
)'
(sin
3
sin
3
sin
3
'
3
4
2
2
2
2
2
'
2
'
2





 −
=







 
−

=
=







 
−

=






=






=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
Жишээ 13: );
sin( 2
x
y = функцийн уламжлалыг ол.
;
),
sin( 2
x
u
u
y =
= гэвэл );
cos(
2
2
)
cos(
)'
(
))'
(sin(
'
'
' 2
2
x
x
x
u
x
u
u
y
y x
u
x
u =

=

=

=
Жишээ 14: ;
arcsin x
y = функцийн уламжлалыг ол.
;
arcsin x
y = ба ;
sin y
x = нь харилцан урвуу функцууд учир
;
1
1
sin
1
1
cos
1
'
1
'
2
2
x
y
y
x
y
y
x
−
=
−
=
=
= болно.
Элементар функцүүдийн уламжлалын таблиц.
1. ;
)'
( 1
−

= 

 x
x ( ,
R

 )
2. ;
)'
( x
x
e
e =
3. ;
ln
)'
( a
a
a x
x
=
4. ;
1
)'
(ln
x
x =
5. ;
ln
1
)'
(log
a
x
x
a =
6. ;
cos
)'
(sin x
x =
7. ;
sin
)'
(cos x
x −
=
8. ;
cos
1
)'
( 2
x
tgx =
9. ;
sin
1
)'
( 2
x
ctgx −
=

3. 3
10. ;
1
1
)'
(arcsin
2
x
x
−
=
11. ;
1
1
)'
(arccos
2
x
x
−
−
=
12. ;
1
1
)'
( 2
x
arctgx
+
=
13. ;
1
1
)'
( 2
x
arcctgx
+
−
=
Дээд эрэмбийн уламжлал.
);
(x
f
y = функц уламжлалтай бол )
(
' x
f нь мөн x -ээс хамаарсан функц байна.
)
(
' x
f функцээс дахин авсан уламжлалыг )
(x
f функцийн II эрэмбийн уламжлал
гээд ;
))'
(
'
(
)
(
'
'
'
' x
f
x
f
y =
= гэж тэмдэглэнэ. Гэх мэтчилэн )
(
)
1
(
x
f n−
функцээс авсан
уламжлалыг )
(x
f функцийн n-р эрэмбийн уламжлал гээд
;
))'
(
(
)
( )
1
(
)
(
)
(
x
f
x
f
y n
n
n −
=
= гэж тэмдэглэнэ.
Жишээ 15: ;
2x
y = функцийн n-р эрэмбийн уламжлалыг ол.
;
2
ln
2
' 
= x
y ;
2
ln
2
;
2
ln
2
'
' )
(
2 n
x
n
x
y
y 
=

= 
Функцийн дифференциал.
Тодорхойлолт: x цэг дээрх функцийн өөрчлөлтийн гол хэсэг x
y 

' -ийг );
(x
f
y =
функцийн дифференциал гэж нэрлээд ;
)
(
'
'
)
( x
x
f
x
y
x
df
dy 

=


=
= гэж
тэмдэглэнэ.
Жишээ 16: ;
x
y = функцийн дифференциалыг ол.
;
' x
x
x
dx
dy 
=


=
= буюу ;
x
dx 
= болно. Иймээс функцийн дифференциалыг
;
)
(
'
'
)
( dx
x
f
dx
y
x
df
dy 
=

=
= гэж бичиж болно. Мөн ;
'
dx
dy
y = байна.
;
dy
y 
 ба ;
)
(
' x
x
f
dy 

= гэдгээс ;
)
(
'
)
(
)
( x
x
f
x
f
x
x
f 

+


+ байна. Yүнийг
функцийн утгыг ойролцоогоор олох томъёо гэнэ.
Жишээ 16: 122 -ыг ойролцоо бод.
;
2
1
)
(
'
;
)
(
x
x
f
x
x
f =

= ;
1
;
121 =

= x
x гэвэл
;
22
1
11
1
121
2
1
121
1
)
121
(
'
)
121
(
1
121
122
)
1
121
(
+
=

+
=
=

+

+
=
=
+ f
f
f