1. Chapter 3 Vectors in 2-Space and 3-Space

2. Chapter 3 3.1. Introduction to Vectors 3.2. Norm of a Vector; Vector Arithmetic 3.3. Dot Products; Projections 3.4. Cross Product 3.5. Lines and Planes in 3-Space

3. A B v vektor v = AB A disebut titik awal/inisial B disebut titik akhir/terminal Vektor-vektor ekivalen dianggap sama jika panjang dan arahnya sama

4. Negasi vektor v = –v secara geometrik v – v = (–1) v Panjang sama, arah berlawanan

5. Penjumlahan dua vektor: w = u + v secara geometrik u v w u w u u u u u u v v v v v

6. Selisih dua vektor: w = u – v sama dengan w = u + (–v) u – v w v u w

8. Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata / real number ) w = k v ; k = skalar v 3v – 2v v secara geometrik:

9. Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata / real number ) w = k v ; k = skalar Cara analitik: Di Ruang-2: w = k v = ( k v 1 , k v 2 ) (w 1 , w 2 ) = ( k v 1 , k v 2 ) w 1 = k v 1 w 2 = k v 2

11. Vektor-vektor di ruang-3 Aturan tangan kanan Aturan tangan-kiri x y y z z x x : 4 jari y : telapak tangan z : ibu jari Lihat Gambar 3.1.12

12. Translasi (0, 0) (k, l) sumbu-x sumbu-y sumbu-y’ sumbu-x’ (x, y) (x’, y’) P x’ = x – k y’ = y – l y l x x’ k y’ (0, 0) x = x’ + k y = y’ + l

14. Chapter 3 3.1. Introduction to Vectors 3.2. Norm of a Vector; Vector Arithmetic 3.3. Dot Products; Projections 3.4. Cross Product 3.5. Lines and Planes in 3-Space

17. k ( l u) = k ( l u 1 , l u 2 , l u 3 ) k ( u + v ) = k ((u 1 , u 2 , u 3 ) + (v 1 , v 2 , v 3 )) = ( kl u 1 , kl u 2 , kl u 3 ) = k (u 1 + v 1 , u 2 + v 2 , u 3 + v 3 ) = kl (u 1 , u 2 , u 3 ) = ( k u 1 + k v 1 , k u 2 + k v 2 , k u 3 + k v 3 ) = kl u = ( k u 1 , k u 2 , k u 3 ) + ( k v 1 , k v 2 , k v 3 ) = k u + k v ( k + l ) u = (( k + l ) u 1 , ( k + l ) u 2 , ( k + l ) u 3 ) = ( k u 1 , k u 2 , k u 3 ) + ( l u 1 , l u 2 , l u 3 ) = k (u 1 , u 2 , u 3 ) + l (u 1 , u 2 , u 3 ) = k u + l u

18. Norma sebuah vektor: (Untuk sementara norma bisa dianggap sebagai “ panjang” vektor ) u = (u 1 , u 2 ) vektor di ruang-2 norma vektor u = || u || =  (u 1 2 + u 2 2 ) u = (u 1 , u 2 , u 3 ) vektor di ruang-3 norma vektor u = || u || =  ( u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 ) Vektor Satuan ( unit Vector ) : suatu vektor dengan norma 1

19. Jarak antara dua titik: Ruang-2: vektor P 1 P 2 = (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 ) jarak antara P 1 (x 1 , y 1 ) dan P 2 (x 2 , y 2 ) =  (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 Ruang-3: vektor P 1 P 2 = (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1 ) jarak antara P 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) dan P 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) =  (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 + (z 2 – z 1 ) 2 Contoh: jarak antara P 1 (2, –1, –5) dan P 2 (4, –3, 1) =  (4 – 2) 2 + (–3 + 1) 2 + (1 + 5) 2 =  44

20. Jika u adalah vektor dan k adalah skalar, maka norma k u = | k | || u ||

21. Chapter 3 3.1. Introduction to Vectors 3.2. Norm of a Vector; Vector Arithmetic 3.3. Dot Products; Projections 3.4. Cross Product 3.5. Lines and Planes in 3-Space

22. Sudut apit antara dua vektor u dan v     u u u u v v v v

23. Perkalian titik: u . v = skalar Vektor u dan v di Ruang-2 atau di Ruang-3, dengan  = sudut apit antara u dan v || u || || v || cos  jika u  0 dan v  0 u . v = 0 jika u = 0 atau v = 0 Catatan: u dan v saling tegak lurus (  = 90 o & cos  = 0)  u . v = 0 Vektor-vektor yang saling tegak lurus disebut vektor-vektor ortogonal

24. Perkalian titik: u . v = skalar Vektor u dan v di Ruang-2 atau di Ruang-3, dengan  sudut apit antara u dan v Catatan: u , v  Ruang-2  u = (u 1 , u 2 ), v = (v 1 , v 2 ) u , v  Ruang-3  u = (u 1 , u 2 , u 3 ), v = (v 1 , v 2 , v 3 ) Formula lain untuk u . v : Ruang-2: u . v = 1 u 1 v 1 + 1 u 2 v 2 Ruang-3: u . v = 1 u 1 v 1 + 1 u 2 v 2 + 1 u 3 v 3

26. Teorema 3.3.1 – 3.3.2: Vektor-vektor u , v , w di Ruang-2 atau di Ruang-3; k adalah skalar Buktikan : v . v = || v || 2 , atau || v || = ( v.v ) 1/2 Bukti: v . v = ||v|| ||v|| cos 0 o v . v = v 1 v 1 + v 2 v 2 = || v || || v || (1) = || v || 2 = v 1 2 + v 2 2 = || v || 2 = || v || 2 Buktikan : u . v = v . u Bukti : u . v = ||u|| ||v|| cos  = ||v|| ||u|| cos  = v . u

27. Teorema 3.3.1 – 3.3.2: Vektor-vektor u , v , w di Ruang-2 atau di Ruang-3; k adalah skalar Buktikan : u . (v + w) = u .v + u .w Bukti: u . (v + w) = (u 1 , u 2 , u 3 ) . ( v 1 +w 1 , v 2 +w 2 , v 3 +w 3 ) = u 1 ( v 1 +w 1 ) + u 2 ( v 2 +w 2 ) + u 3 ( v 3 +w 3 ) = (u 1 v 1 +u 1 w 1 ) + (u 2 v 2 +u 2 w 2 ) + (u 3 v 3 +u 3 w 3 ) = (u 1 v 1 +u 2 v 2 + u 3 v 3 ) + (u 1 w 1 + u 2 w 2 +u 3 w 3 ) = u .v + u .w Buktikan : k (u . v) = ( k u) . v = u . ( k v) Bukti: k (u . v) = k (u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 ) …………. = ( k u 1 v 1 + k u 2 v 2 + k u 3 v 3 ) = (u 1 k v 1 + u 2 k v 2 + u 3 k v 3 ) = ( k u 1 )v 1 + ( k u 2 )v 2 + ( k u 3 )v 3 = u 1 ( k v 1 ) + u 2 ( k v 2 ) + u 3 ( k v 3 ) = ( k u) . v = u . ( k v)

28. Teorema 3.3.1 – 3.3.2: Vektor-vektor u , v , w di Ruang-2 atau di Ruang-3; k adalah skalar Buktikan : jika v  0 maka v . v  0 Bukti : v = ( v 1 , v 2 ) sehingga v . v = v 1 v 1 + v 2 v 2  0 karena kwadrat suatu bilangan selalu positif Buktikan : jika v = 0 (vektor) maka v . v = 0 (skalar) Bukti : v = ( 0, 0 ) sehingga v . v = 0 + 0 = 0

31. Proyeksi Ortogonal: u w 1 w 2 a w 1 = proyeksi ortogonal dari vektor u pada vektor a w 2 = komponen vektor u ortogonal terhadap vektor a w 1 = ( u . a / || a || 2 ) a w 2 = u – ( u . a / || a || 2 ) a Bukti: w 1 = ( k ) a  k = ( u . a / || a || 2 ) ? u = w 1 + w 2 = k a + w 2 u . a = ( k a + w 2 ) . a = k a . a + w 2 . a = k || a || 2 + 0 = k || a || 2 k = ( u . a ) / || a || 2 Norm vektor w 1 = || w 1 || = | u . a | || a || / || a || 2 = | u . a | / || a ||

32. Jarak titik P o (x o , y o ) ke garis lurus g : ax +by +c = 0 | ax o + by o + c|  (a 2 + b 2 )

33. Jarak titik P o (x o , y o ) ke garis lurus g : ax +by +c+= 0 g : ax + by + c = 0 n Q (x 1 , y 1 ) Vektor n = (a, b) ortogonal garis g Bukti bahwa n = (a, b) ortogonal garis g R(x 2 , y 2 ) * * Vektor QR = (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 ) Dengan perkalian titik: n . QR = a(x 2 – x 1 ) + b (y 2 – y 1 ) R terletak pada garis g, maka: ax 2 + by 2 + c = 0 Q terletak pada garis g, maka: ax 1 + by 1 + c = 0 a(x 2 – x 1 ) + b (y 2 – y 1 ) + 0 = 0 Jadi, n . QR = a(x 2 – x 1 ) + b (y 2 – y 1 ) = 0 artinya vektor n ortogonal QR, sehingga vektor n ortogonal garis g (terbukti)

34. Jarak titik P o (x o , y o ) ke garis lurus g : ax +by +c+= 0 g : ax + by + c = 0 n o P o (x o , y o ) Q (x 1 , y 1 ) Vektor QP o = (x o – x 1 , y o – y 1 ) ( vektor QP o seperti vektor u ; vektor n seperti vektor a vektor d seperti vektor w 1 ) jarak dari titik P o ke garis g = || d || d || w 1 || = | u . a | / || a || || d || = | QP o . n | / || n || = |(x o – x 1 , y o – y 1 ) . (a, b)| /  (a 2 + b 2 ) = | (x o – x 1 )a +(y o – y 1 )b) | /  (a 2 + b 2 ) = | x o a – x 1 a + y o b – y 1 b | /  (a 2 + b 2 ) tetapi Q terletak di g, maka ax 1 + by 1 + c = 0 atau c = – ax 1 – by 1 Maka || d || = | ax o + by o – ax 1 – by 1 | /  (a 2 + b 2 ) = | ax o + by o + c| /  (a 2 + b 2 )