Dokumen tersebut membahas tentang vektor di ruang dimensi 2 dan 3. Terdapat penjelasan tentang pendefinisian vektor, operasi-operasi dasar vektor seperti penjumlahan dan perkalian vektor dengan skalar, norma vektor, serta perkalian titik vektor.

1. Bagian V Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3

9. Jika vektor v dan k skalar, maka kv = ( kv 1 , kv 2 ) v + w = ( v 1 + w 1 , v 2 + w 2 ) Selanjutnya suatu operasi penjumlahan vektor atau perkalian dengan bilangan skalar, dapat ditunjukkan sebagai berikut, y x ( v 1 , v 2 ) v kv ( kv 1 , k v 2 ) kv 1 kv 2 v 1 ( v 1 , v 2 ) v w v + w ( w 1 , w 2 ) ( v 1 + w 1 , v 2 + w 2 ) x y v 2 w 1 w 2

10. Contoh : Diketahui, v = (1, –2) dan w = (7, 6) maka, v + w = (1, – 2) + (7, 6) = (1 + 7 , –2 + 6) = 8, 4 dan 4v = 4(1, – 2) = (4(1), 4(– 2)) = (4, –8) selanjutnya, v – w = v + ( – 1 ) w Jadi, v – w = ( v 1 – w 1 ,v 2 – w 2 )

15. Bukti secara Geometri : misalkan u = ( u 1 , u 2 , u 3 ), v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) dan w = ( w 1 , w 2 , w 3 ), diwakili oleh PQ, QR, RS, maka, P Q R S u v w u + v v + w u + ( v + w ) ( u + v ) + w v + w = QS dan u + ( v + w ) = PS Juga, u + v = PR dan ( u + v ) + w = PS Maka, u + ( v + w ) = ( u + v ) + w , terbukti.

17. Maka, Sebuah vektor norma 1 disebut vektor unit . Jika P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) dan P 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) merupakan dua titik dalam ruang dimensi 3, maka jarak antara titik dalam bentuk norma vektor P 1 P 2 : P 1 P 2 = ( x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1 ) Pada perkalian ku, maka panjang vektor ku adalah  k  kali panjang u , yang dapat dirumuskan sebagai  ku  =  k   u  z y P 2 x O P 1

20. Contoh, Diketahui vektor u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2) Tentukan u.v serta sudut antara u dan v. Penyelesaian, u.v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = (2)(1) + ( -1 )( 1 )+(1)(2)=3. dan, sehingga,

21. dan, sehingga, Jadi,  = 60 0 . Carilah sudut antara diagonal sebuah kubus dengan salah satu pinggir tiang kubus itu.

22. Diketahui u 1 = ( k, 0, 0 ), u 2 = ( 0, k, 0 ) dan u 3 = ( 0, 0, k ) Maka vektor d = ( k, k, k ) = u 1 + u 2 + u 3 merupakan diagonal kubiknya, Sehingga sudut  dan pinggirnya adalah z y (0, 0, k) x u 1 u 2 u 3 (0, k, 0) (k, 0, 0) (k, k, k)  d

24. Contoh : Tunjukkan bahwa dalam ruang dimensi 2, vektor n = ( a,b ) tegak lurus terhadap garis ax + by + c = 0. Penyelesaian, Misalkan P 1 ( x 1 , y 1 ) dan P 2 ( x 2 , y 2 ) merupakan dua titik yang berbeda pada garis, maka ax 1 + by 1 + c = 0 ax 2 + by 2 + c = 0 Sehingga vektor = ( x 2 – x 1 ,, y 2 – y 1 ) jadi yang dibutuhkan n dan yang Saling tegak lurus. y x P 1 ( x 1 , y 1 ) ax + by + c = 0 P 2 ( x 2 , y 2 ) P 1 P 2 P 1 P 2

25. Beberapa Aturan yang berlaku pada perkalian titik pada Vektor. Jika u, v dan w vektor dalam ruang dimensi 2 dan 3 dan k skalar, maka ( a ). u. v = v. u ( b ). u. ( v + w ) = u.v + u. w (c) . k ( u.v ) = ( ku ). v = u. ( k.v ) ( d ). v. v > 0 jika v  0, dan v. v > 0 jika v = 0 Sehingga dapat ditulis kembali sebagai, a ( x 2 – x 1 ) + b ( y 2 – y 1 ) = 0 dapat dibuat menjadi, ( a. b ) . ( x 2 – x 1 , y 2 – y 1 ) = 0 atau n . = 0 dimana n dan saling tegak lurus. P 1 P 2 P 1 P 2

26. F. Proyeksi Orthogonal Jika u dan a mempunyai posisi titik awal yang sama pada Q , maka dekomposisi vektor u terhadap garis a dapat dibuat dari vektor w 1 tegak lurus w 2 , dengan titik acuan, dapat ditunjukkan sebagai, w 2 = u – w 1 dimana vektor w 1 paralel dengan a, dan vektor w 1 juga tegaklurus terhadap a. a w 2 a Q w 1 u w 2 w 1 Q a u w 2 w 1 Q u

27. Vektor w 1 disebut proyeksi orthogonal dari u pada a atau vektor komponen u terhadap a. dinotasikan sebagai, proj a u vektor w 2 disebut vektor komponen u orthogonal pada a . Dapat ditulis sebagai, w 2 = u – proj a u Jika u dan a vektor dalam ruang dimensi 2 atau 3 dengan a  0, maka, (Vektor komponen u terhadap a ) w 2 a Q w 1 u

28. (Vektor komponen dari u orthogonal terhadap a ) Bukti : Misalkan w 1 = proj a u dan w = u – proj a u . Karena w 1 paralel terhadap a , maka ada bilangan skalar dikali a, yang dapat ditulis sebagai, w 1 = ka. u = w 1 + w 2 = ka + w 2 Dengan mengalikan kedua ruas dengan a, maka, u . a = ( ka + w 2 ) . a = k  a  2 + w 2 .a Karena w 2 . a = 0, maka w 2 tegaklurus terhadap a, sehingga,

29. Contoh : Misalkan u = ( 2, – 1, 3 ) dan a = ( 4, –1, 2 ). Carilah komponen vektor u terhadap a dan vektor komponen u orthogonal terhadap a. Penyelesaian : Diketahui u . a = (2)(4) – (-1)(-1) + (3)(2) = 15  u  2 = 4 2 + (-1) 2 + 2 2 = 21 Selanjutnya proj a u = w 1 = ka, terbukti.

30. Vektor komponen u terhadap a adalah : Vektor komponen u orthogonal terhadap a adalah : Panjang vektor komponen u terhadap a dapat dirumuskan sebagai berikut : :

31. Jika  dinotasikan sebagai sudut antara u dan a, maka u . a =  u   a  cos  sehingga persamaan itu menjadi : Contoh : Carilah rumus untuk jarak D antara titik P 0 (x 0 , y 0 ) dan garis ax + by + c = 0. Penyelesaian Misalkan Q ( x 1 , y 1 ) titik sebarang pada garis dan vektor posisi n = (a, b)  u  a  u  cos   u u  u  a –  u  cos   P 0 ( x 0 ,y 0 ) Q(x 1 ,y 1 ) D ax + by + c = 0 x n ( a,b ) D y

32. Jadi titik awalnya ( initial ) pada titik Q sehingga , vektor n tegaklurus terhadap garis ( ax + by + c = 0 ) Sehingga jarak D sama dengan panjang proyeksi orthogonal dari QP 0 terhadap n maka, Q(x 1 ,y 1 ) D ax + by + c = 0 x n ( a,b ) D P 0 ( x 0 ,y 0 ) Jadi,

33. Jika titik Q ( x 1 , y 1 ) pada garis maka persamaan menjadi, ax 1 + by 1 + C = 0 sehingga Diketahui jarak D dari titik (1, –2) ke garis 3x + 4y – 6 = 0 adalah :

34. Bentuk tersebut di atas dapat juga digunakan untuk mencari jarak titik dengan bidang pada ruang dimensi 3 berikut : Jika jarak D antara titik P 0 ( x 0 ,y 0 ,z 0 ) dan bidang ax + by + cz + d = 0 Maka berlaku, Diketahui jarak D dari titik ( 1, –4, –3 ) ke garis 2x –3y + 6z = –1 adalah :

35. G. Perkalian Silang (Cross Product) Jika u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) dan v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) vektor dalam runng dimensi 3, maka perkalian silang vektor u x v didefinisikan sebagai, u x v = ( u 2 v 3 – u 3 v 2 , u 3 v 1 – u 1 v 3 , u 1 v 2 – u 2 v 1 ) atau dalam bentuk notasi matriks, Contoh : Carilah u x v, dimana u = ( 1, 2, –2 ) dan v = ( 3, 0, 1 ) Penyelsaian :

36. Beberapa hubungan antara perkalian titik dan Perkalian silang Pada vektor : Jika u, v, dan w adalah vektor dalam ruang dimensi 3, maka (a) u . ( u x v ) = 0 ( u x v orthogonal terhadap u ) (b) v . ( u x v ) = 0 ( u x v orthogonal terhadap v ) (c)  u x v  2 =  u  2  v  2 – ( u .v ) 2 (identitas Lagrange) (d) u x ( v x w ) = ( u . w ) v – ( u . v ) w (hubungan antara perkalian (e) ( u x v ) x w = ( u . w ) v – ( u . w ) u titik & silang)

37. Jika u = (u 1 , u 2 , u 3 ) v = ( v 1 ,v 2 ,v 3 ), maka ( a ) u. ( u x v ) = (u 1 , u 2 , u 3 ) . ( u 2 v 3 – u 3 v 2 , u 3 v 1 – u 1 v 3 , u 1 v 2 – u 2 v 1 ) = u 1 ( u 2 v 3 – u 3 v 2 ) + u 2 ( u 3 v 1 – u 1 v 3 ) + u 3 ( u 1 v 2 – u 2 v 1 ) = 0 ( b ) v. ( u x v ) = (v 1 , v 2 , v 3 ) . ( u 2 v 3 – u 3 v 2 , u 3 v 1 – u 1 v 3 , u 1 v 2 – u 2 v 1 ) = v 1 (u 2 v 3 – u 3 v 2 ) + v 2 ( u 3 v 1 – u 1 v 3 ) + v 3 ( u 1 v 2 – u 2 v 1 ) = 0 ( c )  u x v  2 =  u  2  v  2 – ( u .v ) 2 (identitas Lagrange)  u x v  2 = ( u 2 v 3 – u 3 v 2 ) 2 + ( u 3 v 1 – u 1 v 3 ) 2 + ( u 1 v 2 – u 2 v 1 ) 2 dan  u  2  v  2 – ( u .v ) 2 = ( u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 )( v 1 2 +v 2 2 +v 3 2 ) – ( u 1 v 2 +u 2 v 2 +u 3 v 3 ) 2 Contoh : Diketahui u = ( 1, 2, –2 ) dan v = ( 3, 0, 1 ) tunjukkan bahwa u.(u x v) = 0 berlaku .

38. Beberapa aturan yang berlaku pada perkalian silang : Jika u , v, dan w adalah vektor dalam ruang dimensi 3 dan k skalar, maka ( a ) u x v = – ( v x u ) ( b ) u x ( v + w ) = ( u x v ) + ( u x w ) ( c ) ( u + v ) x w = ( u x w ) + ( v x w ) ( d ) k ( u x v ) = ( ku ) x v = u x ( kv ) ( e ) u x 0 = 0 x u = 0 ( f ) u x u = 0

39. Vektor Unit Standar : Diketahui, i = ( 1, 0, 0 ), j = ( 0, 1, 0 ) , dan k = ( 0, 0, 1 ). Vektor ini panjangnya satu dan terletak pada koordinat sumbu, yang disebut dengan vektor unit standar dalam ruang dimensi 3. Setiap vektor v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) dalam ruang dimensi 3 dapat diekspresikan dalam bentuk i, j, k. v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) = v 1 ( 1, 0, 0 )+ v 2 ( 1, 0, 0 )+ v 3 ( 0, 0, 1 ) = v 1 i +v 2 j +v 3 k Contoh : Misalkan ( 2, –3 , 4 ) = 2i – 3j + 4k Dari perkalian silang diketahui (lihat Gambar): z y (0, 0, 1) x i j k (0, 1, 0) (1, 0, 0)

40. Sehingga i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0 i x j = k j x k = i k x i = j j x i = –k k x j = –i i x k = –j Bentuk Determinan Perkalian Silang : Perkalian silang dapat juga ditunjukkan dalam bentuk determinan 3 x 3 : Contoh : Misalkan u = ( 1, 2, -2 ) dan v = (3, 0, 1), maka, k j i

41. Jika u dan v dalam ruang dimensi 3 maka, u x v dapat ditunjukkan dari identitas Lagrange bahwa :  u x v  2 =  u  2  v  2 – ( u .v ) 2 Jika  , sudut antara u dan v , maka u . v =  u   v  cos  , sehingga  u x v  2 =  u  2  v  2 – ( u .v ) 2 =  u  2  v  2 –  u  2 .  v  2 cos 2  =  u  2  v  2 ( 1 – cos 2  ) =  u  2  v  2 sin 2  Untuk 0     berlaku  u x v  =  u   v  sin   v  u  v  sin   v  u 